《蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第3章 勾股定理 同步練習(xí)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第3章 勾股定理 同步練習(xí)（26頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、勾股定理及其應(yīng)用 練習(xí)1 1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，若BC＝12，AD＝8，則DE的長(zhǎng)為　?。? 第1題第2題第4題 2．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若a＝4，b＝3，則大正方形的面積是　?。? 3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，則AB＝　　． 4．2002年8月，在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形

2、與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b．如果將四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為　?。? 5．閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且a是最長(zhǎng)邊，我們可以利用a，b，c三條邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系來(lái)判斷這個(gè)三角形的形狀：①若a2＝b2+c2，則該三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，則該三角形是鈍角三角形；③若a2＜b2+c2，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是4，5，6，則最長(zhǎng)邊是6，62＝36＜42+52，故由③可知該三角形是銳角

3、三角形，請(qǐng)解答以下問(wèn)題： （1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是7，8，9，則該三角形是　　三角形． （2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，12，x，且這個(gè)三角形是直角三角形，求x的值． 6．我們知道，以3，4，5為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數(shù)組，記為（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同時(shí)8，6，10也為勾股數(shù)組，記為（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．類似的，依次可以得到第三個(gè)勾股數(shù)組（15，8，17）． （1）請(qǐng)你根據(jù)上述勾股數(shù)組規(guī)律，寫出第5個(gè)勾股數(shù)組； （2）若設(shè)勾股數(shù)組中間的數(shù)為2n（n≥2，且n為整數(shù)），根據(jù)上述規(guī)律，

4、請(qǐng)直接寫出這組勾股數(shù)組． 7．一塊木板如圖所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面積． 8．如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點(diǎn)相距20km，C，D為兩村莊，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求AE的長(zhǎng)． 參考答案 1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，若BC＝12，AD＝8，則DE的長(zhǎng)為　5?。? 【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝6， ∴∠ADB＝90°，

5、 ∴AB＝＝＝10， ∵AE＝EB， ∴DE＝AB＝5， 故答案為5． 2．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若a＝4，b＝3，則大正方形的面積是　25?。? 【解答】解：由勾股定理可知大正方形的邊長(zhǎng)＝＝＝5， ∴大正方形的面積為25， 故答案為25． 3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，則AB＝　3?。? 【解答】解：∵∠A＝∠B＝45°， ∴AC＝BC＝3，∠C＝90°， ∴AB＝＝＝3， 故答案為3． 4．2

6、002年8月，在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b．如果將四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為　27?。? 【解答】解：由題意可得在圖1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3， 圖2中大正方形的面積為：（a+b）2， ∵（b﹣a）2＝3 a2﹣2ab+b2＝3， ∴15﹣2ab＝3 2ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，

7、 故答案為：27． 5．閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且a是最長(zhǎng)邊，我們可以利用a，b，c三條邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系來(lái)判斷這個(gè)三角形的形狀：①若a2＝b2+c2，則該三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，則該三角形是鈍角三角形；③若a2＜b2+c2，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是4，5，6，則最長(zhǎng)邊是6，62＝36＜42+52，故由③可知該三角形是銳角三角形，請(qǐng)解答以下問(wèn)題： （1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是7，8，9，則該三角形是　銳角　三角形． （2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，12，x，且這個(gè)三角形是直角三角形，求x的值． 【解答】

8、解：（1）∵72+82＝113，92＝81， ∴92＜72+82， ∴該三角形是銳角三角形， 故答案為：銳角； （2）當(dāng)最長(zhǎng)邊是12時(shí)，x＝＝； 當(dāng)最長(zhǎng)邊是x時(shí)，x＝＝13， 即x＝13或． 6．我們知道，以3，4，5為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數(shù)組，記為（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同時(shí)8，6，10也為勾股數(shù)組，記為（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．類似的，依次可以得到第三個(gè)勾股數(shù)組（15，8，17）． （1）請(qǐng)你根據(jù)上述勾股數(shù)組規(guī)律，寫出第5個(gè)勾股數(shù)組； （2）若設(shè)勾股數(shù)組中間的數(shù)為2n（n≥2，且n

9、為整數(shù)），根據(jù)上述規(guī)律，請(qǐng)直接寫出這組勾股數(shù)組． 【解答】解：（1）上述四組勾股數(shù)組的規(guī)律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172， 即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 所以第5個(gè)勾股數(shù)組為（12，35，37）． （2）勾股數(shù)為n2﹣1，2n，n2+1． 7．一塊木板如圖所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面積． 【解答】解：連接AC， ∵在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴AC＝5， ∵在△ACD中，AC＝5，DC＝12，AD＝13， ∴DC2+AC2＝122+52＝169，A

10、D2＝132＝169， ∴DC2+AC2＝AD2， ∴△ACD為直角三角形，AD為斜邊， ∴木板的面積為：S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝24． 答：此木板的面積為24． 8．如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點(diǎn)相距20km，C，D為兩村莊，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求AE的長(zhǎng)． 【解答】解：設(shè)AE＝x，則BE＝20﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2， 在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2， 由題意

11、可知：DE＝CE， 所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3 所以，E應(yīng)建在距A點(diǎn)13.3km． 練習(xí)2 1．圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為　　cm2． 第1題第2題第3題第4題 2．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，在△ABC中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則線段CD的長(zhǎng)為　?。? 3．如圖，池塘邊一棵垂直于水面BM的筆直大樹(shù)AB在點(diǎn)C處折斷，AC部分倒下，點(diǎn)A與水面上的點(diǎn)E重合，部分沉入水中后，點(diǎn)A與水中的點(diǎn)F重合，CF交水面于點(diǎn)D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度為　　m． 4．《九章算

12、術(shù)》第九章勾股篇中記載：“今有開(kāi)門去閫（kun）一尺，不合二寸，問(wèn)門廣幾何？”其大意是：今推開(kāi)雙門，門框到門檻的距離（稱為“去閫”）DF為一尺，雙門之間的縫隙（稱為“不合”）EF即為2寸（注：一尺為10寸），則門寬AB為　　尺． 5．如圖一根竹子長(zhǎng)為16米，折斷后竹子頂端落在離竹子底端8米處，折斷處離地面高度是　　米． 6．如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端9米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約3米，請(qǐng)算出旗桿的高度． 7．勾股定理是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的定理之一，熟練的掌握勾股數(shù)，對(duì)迅速判斷、解答題目有很大幫助，觀察下列幾組勾股數(shù)：

13、（1）你能找出它們的規(guī)律嗎？（填在上面的橫線上） （2）你能發(fā)現(xiàn)a，b，c之間的關(guān)系嗎？ （3）對(duì)于偶數(shù)，這個(gè)關(guān)系　?。ㄌ睢俺闪ⅰ被颉安怀闪ⅰ保? （4）你能用以上結(jié)論解決下題嗎？ 20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2 8．如圖①，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝60°，將一把含有45°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方． （1）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖②的位置，使得∠MOB＝90°，此時(shí)∠CON角度為　　度； （2）將上述直角三角板從圖1繞點(diǎn)O按逆時(shí)

14、針旋轉(zhuǎn)到圖③的位置，當(dāng)ON恰好平分∠AOC時(shí)，求∠AOM的度數(shù)； （3）若這個(gè)直角三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到斜邊ON在∠AOC的內(nèi)部時(shí)（ON與OC、OA不重合），試探究∠AOM與∠CON之間滿足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 9．如圖所示，已知△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm．分別以三邊AB，AC及BC為直徑向外作半圓，求陰影部分的面積． 參考答案 1．圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為　81　cm2． 【解答】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為（cm）， ∴此正方形的面積為92＝81（cm2

15、）， 故答案為：81． 2．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，在△ABC中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則線段CD的長(zhǎng)為　?。? 【解答】解：∵AC＝2，BC＝3，AB＝， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵AD＝DB， ∴CD＝AB＝， 故答案為． 3．如圖，池塘邊一棵垂直于水面BM的筆直大樹(shù)AB在點(diǎn)C處折斷，AC部分倒下，點(diǎn)A與水面上的點(diǎn)E重合，部分沉入水中后，點(diǎn)A與水中的點(diǎn)F重合，CF交水面于點(diǎn)D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度為　（2+）　m． 【解答】解：設(shè)CB部分的高度為xm． ∵∠BDC＝∠

16、BCD＝45°， ∴BC＝BD＝xm． 在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）． 在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°， ∴CE＝2BC＝2x（m）． ∵CE＝CF＝CD+DF， ∴2x＝x+2， 解得：x＝2+． ∴BC＝（2+）（m）． 答：CB部分的高度約為（2+）m， 故答案為：（2+）． 4．《九章算術(shù)》第九章勾股篇中記載：“今有開(kāi)門去閫（kun）一尺，不合二寸，問(wèn)門廣幾何？”其大意是：今推開(kāi)雙門，門框到門檻的距離（稱為“去閫”）DF為一尺，雙門之間的縫隙（稱為“不合”）EF即為2寸（注：一尺為10寸），則門寬AB為　10.1　尺． 【解答】解：設(shè)單門的

17、寬度是x米，根據(jù)勾股定理，得x2＝1+（x﹣0.1）2， 解得：x＝5.05， 則2x＝10.1尺， 故答案為：10.1． 5．如圖一根竹子長(zhǎng)為16米，折斷后竹子頂端落在離竹子底端8米處，折斷處離地面高度是　6　米． 【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面x米，則斜邊為（16﹣x）米， 根據(jù)勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2 解得：x＝6． ∴折斷處離地面高度是6米， 故答案為：6． 6．如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端9米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約3米，請(qǐng)算出旗桿的高度． 【解答】解：設(shè)旗桿的高度為x米， 根

18、據(jù)勾股定理，得x2+92＝（x+3）2， 解得：x＝12； 答：旗桿的高度為12米 7．勾股定理是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的定理之一，熟練的掌握勾股數(shù)，對(duì)迅速判斷、解答題目有很大幫助，觀察下列幾組勾股數(shù)： a b c 1 3＝1+2 4＝2×1×2 5＝2×2+1 2 5＝2+3 12＝2×2×3 13＝4×3+1 3 7＝3+4 24＝2×3×4 25＝6×4+1 4 9＝4+5 40＝2×4×5 41＝8×5+1 … … … … n a＝　2n+1　 b＝　2n（n+1）　 c＝　2n（n+1）+1　 （1）你能找出它們的規(guī)律嗎？（填在

19、上面的橫線上） （2）你能發(fā)現(xiàn)a，b，c之間的關(guān)系嗎？ （3）對(duì)于偶數(shù)，這個(gè)關(guān)系　不成立?。ㄌ睢俺闪ⅰ被颉安怀闪ⅰ保? （4）你能用以上結(jié)論解決下題嗎？ 20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2 【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1， 故答案為：2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1； （2）a2+b2＝c2，理由是： ∵a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1， ∴a2+b2＝（2n+1）2+[2n（n+1）]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1 c2＝[2n（n+

20、1）+1]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1 ∴a2+b2＝c2； （3）對(duì)于偶數(shù)，這個(gè)關(guān)系不成立， 故答案為：不成立； （4）當(dāng)2n+1＝2019時(shí)，n＝1009， ∴當(dāng)n＝1009時(shí)，a2＝20192，b2＝[2n（n+1）]2＝20202×10092，c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2020×1009+1]2， ∵a2+b2＝c2； ∴20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2 ＝0． 8．如圖①，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝60°，將一把含有45°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下

21、方． （1）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖②的位置，使得∠MOB＝90°，此時(shí)∠CON角度為　75　度； （2）將上述直角三角板從圖1繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖③的位置，當(dāng)ON恰好平分∠AOC時(shí)，求∠AOM的度數(shù)； （3）若這個(gè)直角三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到斜邊ON在∠AOC的內(nèi)部時(shí)（ON與OC、OA不重合），試探究∠AOM與∠CON之間滿足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【解答】解：（1）圖①中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖②的位置， ∵∠MOB＝90°，∠MON＝45° ∠AOC＝60°， ∴∠COM＝30°， ∴∠CON＝∠COM+∠MON＝75°， 所以此

22、時(shí)∠CON角度為75°． 故答案為75； （2）直角三角板從圖1繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖③的位置， ∵ON恰好平分∠AOC時(shí)， ∴∠AON＝∠CON＝AOC＝30°， ∴∠AOM＝∠MON﹣∠AON＝15°． 答：∠AOM的度數(shù)為15°； （3）∠AOM與∠CON之間滿足：∠AOM﹣∠CON＝15°，理由如下： ∵∠CON＝∠AOC﹣∠AON ＝60°﹣∠AON ＝60°﹣（∠MON﹣∠AOM） ＝60°﹣（45°﹣∠AOM） ＝15°+∠AOM 所以∠CON﹣∠AOM＝15°． 9．如圖所示，已知△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm．分別以三邊AB

23、，AC及BC為直徑向外作半圓，求陰影部分的面積． 【解答】解：∵82+62＝102， ∴AB2+AC2＝BC2 ∴∠BAC＝90° ∴以AB為直徑的半圓的面積 以AC為直徑的半圓的面積 以BC為直徑的半圓的面積S3＝＝π（cm2） ∴ 練習(xí)3 1．如圖，已知等腰Rt△ABC的直角邊長(zhǎng)為1，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰Rt△ADE…依此類推直到第n個(gè)等腰直角三角形，則第n個(gè)等腰直角三角形的圖形的面積為　?。╪為正整數(shù)） 第1題第2題第3題第4題 2．圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)是l，若

24、線段EF能與線段AB、CD組成一個(gè)直角三角形，則線段EF的長(zhǎng)度是　　． 3．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB﹣∠PCD＝　　°．（點(diǎn)A，B，C，D，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)） 4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以相同的長(zhǎng)（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．若AC＝3，AB＝5，則DE等于　?。? 5．①在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC、AC、AB所對(duì)的邊分別為a、b、c． （1）a＝3，b＝4，則c＝　?。? （2）a＝7，c＝25，則b＝　　； （3）c＝3，b＝1，則a＝　?。? （4）∠A＝30°，a

25、＝2，則b＝　　； ②若b＝﹣﹣2，則ab＝　　． 6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于點(diǎn)P． （1）求證：PB＝PC． （2）若PB＝5，PH＝3，求AB． 7．如圖為一個(gè)廣告牌支架的示意圖，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求圖中△ABC的周長(zhǎng)和面積． 8．有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行多什么米？ 9．如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，

26、已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到收購(gòu)站E的距離相等，則收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？ 參考答案 1．如圖，已知等腰Rt△ABC的直角邊長(zhǎng)為1，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰Rt△ADE…依此類推直到第n個(gè)等腰直角三角形，則第n個(gè)等腰直角三角形的圖形的面積為　2n﹣2?。╪為正整數(shù)） 【解答】解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形， ∴S△ABC＝×1×1＝＝21﹣2； AC＝＝，AD＝＝2…， ∴S△ACD＝××＝1＝22﹣2

27、； S△ADE＝×2×2＝2＝23﹣2… ∴第n個(gè)等腰直角三角形的面積是2n﹣2． 故答案為：2n﹣2． 2．圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)是l，若線段EF能與線段AB、CD組成一個(gè)直角三角形，則線段EF的長(zhǎng)度是　或?。? 【解答】解：AB＝，CD＝， 當(dāng)EF為斜邊時(shí)，EF＝， 當(dāng)EF是直角邊時(shí)，EF＝， 故答案為：或． 3．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB﹣∠PCD＝　45　°．（點(diǎn)A，B，C，D，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)） 【解答】解：連接AE，PE， 則∠EAB＝∠PCD， 故∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE， 設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為a，則PA＝＝，PE＝

28、，AE＝＝a， ∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2， ∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°， 又∵PA＝PE， ∴∠PAE＝∠PEA＝45°， ∴∠PAB﹣∠PCD＝45°， 故答案為：45． 4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以相同的長(zhǎng)（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．若AC＝3，AB＝5，則DE等于　　． 【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝4， 連接AE， 從作法可知：DE是AB的垂直平分線， 根據(jù)性質(zhì)得出AE＝BE， 在Rt△ACE中，由

29、勾股定理得：AC2+CE2＝AE2， 即32+（4﹣AE）2＝AE2， 解得：AE＝， 在Rt△ADE中，AD＝AB＝，由勾股定理得：DE2+（）2＝（）2， 解得：DE＝． 故答案為：． 5．①在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC、AC、AB所對(duì)的邊分別為a、b、c． （1）a＝3，b＝4，則c＝　5??； （2）a＝7，c＝25，則b＝　24?。? （3）c＝3，b＝1，則a＝　2　； （4）∠A＝30°，a＝2，則b＝　2??； ②若b＝﹣﹣2，則ab＝　?。? 【解答】解：①在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC、AC、AB所對(duì)的邊分別為a、b、c． （1）a＝3，

30、b＝4，則c＝5； （2）a＝7，c＝25，則b＝24； （3）c＝3，b＝1，則a＝2； （4）∠A＝30°，a＝2，則b＝2； ②若b＝﹣﹣2，可得：a＝3，b＝﹣2，則ab＝， 故答案為：①（1）5；（2）24；（3）2；（4）2；② 6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于點(diǎn)P． （1）求證：PB＝PC． （2）若PB＝5，PH＝3，求AB． 【解答】（1）證明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵BH，CM為△ABC的高， ∴∠BMC＝∠CHB＝90°． ∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°． ∴∠BCM

31、＝∠CBH． ∴PB＝PC． （2）解：∵PB＝PC，PB＝5， ∴PC＝5． ∵PH＝3，∠CHB＝90°， ∴CH＝4． 設(shè)AB＝x，則AH＝x﹣4． 在Rt△ABH中， ∵AH2+BH2＝AB2， ∴（x﹣4）2+（5+3）2＝x2． ∴x＝10． 即AB＝10． 7．如圖為一個(gè)廣告牌支架的示意圖，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求圖中△ABC的周長(zhǎng)和面積． 【解答】解：在△ABD中， ∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m， ∴AB2＝AD2+BD2， ∴AD⊥BC， 在Rt△ADC中， ∵AD＝12m，AC＝15

32、m， ∴DC＝＝9（m）， ∴△ABC的周長(zhǎng)為：AB+AC+BC＝13+15+5+9＝42m， △ABC的面積為：×BC×AD＝×14×12＝84m2． 8．有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行多什么米？ 【解答】解：如圖，設(shè)大樹(shù)高為AB＝10m， 小樹(shù)高為CD＝4m， 過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AC， ∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m， 在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m， 故小鳥(niǎo)至少飛行10m． 9．如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25k

33、m，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到收購(gòu)站E的距離相等，則收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？ 【解答】解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等． ∴DE＝CE， ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2， ∴AE2+AD2＝BE2+BC2， 設(shè)AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）， ∵DA＝15km，CB＝10km， ∴x2+152＝（25﹣x）2+102， 解得：x＝10， ∴AE＝10

34、km， ∴收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)10km處． 練習(xí)4 1．如圖，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射線BA上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，則∠ADC的度數(shù)為　　． 第1題第2題第4題第5題 2．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE為邊AB的垂直平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BC＝3，AB＝5，則CE＝　　． 3．為了迎接新年的到來(lái)，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，小明搬來(lái)一架高為2.5m的木梯，想把拉花桂到2.4m的墻上，則梯角應(yīng)距墻角　　m． 4．如圖所示，一根長(zhǎng)為7cm的吸管放在一個(gè)圓柱形杯中，測(cè)得杯的內(nèi)部底面直徑為3cm，高為4cm，則吸管露出在杯外

35、面的最短長(zhǎng)度為　　cm． 5．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則AD＝　　． 6．探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…請(qǐng)寫出下一數(shù)組：　　． 7．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． （1）用直尺和圓規(guī)在邊BC上找一點(diǎn)D，使D到AB的距離等于CD． （2）計(jì)算（1）中線段CD的長(zhǎng)． 8．如圖，一架25dm長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，梯子底端B到墻的距離BO＝7dm．移動(dòng)梯子使底端B外移至點(diǎn)D，BD＝8dm，求梯

36、子頂端A沿墻下滑的距離AC的長(zhǎng)． 9．如圖，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，點(diǎn)D在AC上．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值． 10．如圖，水渠兩邊AB∥CD，一條矩形竹排EFGH斜放在水渠中，∠AEF＝45°，∠EGD＝105°，竹排寬EF＝2米，求水渠寬． 11．如圖，BF，CG分別是△ABC的高線，點(diǎn)D，E分別是BC，GF的中點(diǎn)，連結(jié)DF，DG，DE． （1）求證：△DFG是等腰三角形； （2）若BC＝10，F(xiàn)G＝6，求DE的長(zhǎng)．

37、 勾股定理及應(yīng)用 參考答案與試題解析 1．如圖，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射線BA上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，則∠ADC的度數(shù)為　80°或140°或10°?。? 【解答】解：如圖，有三種情形： ①當(dāng)AC＝AD時(shí)，∵△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝20°， ∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠DCA＝（180°﹣∠CAB）＝80°； ②當(dāng)CD′＝AD′時(shí)， ∵∠CAB＝20°， ∴∠D′CA＝∠CAB＝20°， ∴∠AD′C＝180°﹣20°﹣20°＝140°． ③當(dāng)AC＝AD″時(shí)，則∠AD″C＝∠ACD″， ∵∠CAB

38、＝20°，∠AD″C+∠ACD″＝∠CAB， ∴∠AD″C＝10°， 故答案為：80°或140°或10°． 2．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE為邊AB的垂直平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BC＝3，AB＝5，則CE＝　?。? 【解答】解：設(shè)CE＝x，連接AE， ∵DE是線段AB的垂直平分線， ∴AE＝BE＝BC+CE＝3+x， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴AC＝4， ∴在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2，即（3+x）2＝42+x2， 解得x＝． 故答案為：． 3．為了迎接新年的到來(lái)，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，小明搬來(lái)一架高為2

39、.5m的木梯，想把拉花桂到2.4m的墻上，則梯角應(yīng)距墻角　0.7　m． 【解答】解：梯腳與墻角距離：＝0.7（m）． 故答案為：0.7 4．如圖所示，一根長(zhǎng)為7cm的吸管放在一個(gè)圓柱形杯中，測(cè)得杯的內(nèi)部底面直徑為3cm，高為4cm，則吸管露出在杯外面的最短長(zhǎng)度為　2　cm． 【解答】解：設(shè)在杯里部分長(zhǎng)為xcm， 則有：x2＝32+42， 解得：x＝5， 所以露在外面最短的長(zhǎng)度為7cm﹣5cm＝2cm， 故吸管露出杯口外的最短長(zhǎng)度是2cm， 故答案為：2． 5．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則AD＝　　． 【

40、解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5， ∴AC＝＝3， 過(guò)D作DE⊥AB于E， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°， ∴CD＝DE， 在Rt△BCD與Rt△BED中， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BE＝BC＝4， ∴AE＝1， ∵AD2＝DE2+AE2， ∴AD2＝（3﹣AD）2+12， ∴AD＝， 故答案為：． 6．探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…請(qǐng)寫出下一數(shù)組：?。?1，60，61）　． 【解答】解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12

41、+2×1，5＝2×12+2×1+1； （5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1； （7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1； （9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1； ∴下一組數(shù)為：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1， 故答案為：（11，60，61）． 7．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． （1）用直尺和圓規(guī)在邊BC上找一點(diǎn)D，使D到AB的距離等于CD． （2）計(jì)算（1）中線段CD的

42、長(zhǎng)． 【解答】解：（1）畫角平分線正確，保留畫圖痕跡 （2）設(shè)CD＝x，作DE⊥AB于E， 則DE＝CD＝x， ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． ∴AB＝10， ∴EB＝10﹣6＝4． ∵DE2+BE2＝DB2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， x＝3， 即CD長(zhǎng)為3． 8．如圖，一架25dm長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，梯子底端B到墻的距離BO＝7dm．移動(dòng)梯子使底端B外移至點(diǎn)D，BD＝8dm，求梯子頂端A沿墻下滑的距離AC的長(zhǎng)． 【解答】解：由題意得：在Rt△AOB中，OB＝7dm，AB＝25dm， ∴OA＝＝24dm， 在Rt△COD中

43、，OD＝8+7＝15dm，CD＝25dm， ∴OC＝＝20dm， ∴AC＝OA﹣OC＝24﹣20＝4dm， 答：梯子頂端A沿墻下滑的距離AC的長(zhǎng)為4dm． 9．如圖，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，點(diǎn)D在AC上．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值． 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠A＝∠ACB＝45°， 同理可得：DB＝BE，∠DBE＝90°，∠BDE＝∠BED＝45°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD與△CBE中， AB＝BC，∠ABD＝∠CB

44、E，DB＝BE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）． （2）∵△BDE是等腰直角三角形， ∴DE＝BD＝， ∵△ABD≌△CBE， ∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE， ∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°， ∴DE2＝DC2+CE2＝AD2+CD2， ∴AD2+CD2＝2． 10．如圖，水渠兩邊AB∥CD，一條矩形竹排EFGH斜放在水渠中，∠AEF＝45°，∠EGD＝105°，竹排寬EF＝2米，求水渠寬． 【解答】解：過(guò)F作FP⊥AB于P，延長(zhǎng)PF交CD于Q， 則FQ⊥CD， ∴∠EPF＝∠FQG＝90°， ∵四邊形EFGH是矩形， ∴∠EFG＝90°，

45、 ∵∠AEF＝45°， ∴∠GFQ＝∠EFP＝45°， ∴∠FGQ＝45°， ∵EF＝2， ∴PF2+PE2＝EF2＝4， ∵PF＝PE， ∴PF＝PE＝， ∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠EGD＝105°， ∵∠AEF＝45°， ∴∠FEG＝60° ∴FG＝EF＝2， ∴FQ2+GQ2＝FG2＝12， ∴FQ＝QG＝， ∴PQ＝PF+FQ＝（）（米）， 答：水渠寬為（）米． 11．如圖，BF，CG分別是△ABC的高線，點(diǎn)D，E分別是BC，GF的中點(diǎn)，連結(jié)DF，DG，DE． （1）求證：△DFG是等腰三角形； （2）若BC＝10，F(xiàn)G＝6，求DE的長(zhǎng)． 【解答】（1）證明：∵BF，CG分別是△ABC的高線， ∴BF⊥AC，CG⊥AB，且點(diǎn)B為BC的中線， ∴DF＝BC，DG＝BC， ∴DF＝DG， ∴△DFG是等腰三角形； （2）解：由（1）知，DF＝DG＝BC＝5． ∵點(diǎn)E為GF的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝6， ∴EF＝GF＝3，且DG⊥GF， ∴在直角△DEF中，由勾股定理知，DE＝＝＝4． 26 / 26