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集合之間的基本關(guān)系是類比實(shí)數(shù)之間的關(guān)系得到的 同樣類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算 能否得到集合之間的運(yùn)算呢 想一想 實(shí)數(shù)有加法運(yùn)算 那么集合是否也有 加法 呢 下列各個(gè)集合 你能說(shuō)出集合C與集合A B之間的關(guān)系嗎 1 A a b B c d C a b c d 2 A x x是有理數(shù) B x x是無(wú)理數(shù) C x x是實(shí)數(shù) 3 A x 1 x 6 B x 4 x 8 C x 1 x 8 觀察 1 1 3集合的基本運(yùn)算 集合A 集合B 集合C A B C 請(qǐng)觀察A B C這些集合之間是什么關(guān)系 a b c d a b c d x是有理數(shù) x是無(wú)理數(shù) x是實(shí)數(shù) 集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成 一般地 由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合 稱為集合A與B的并集 記作A B 讀作 A并B 即A B x x A 或x B 知識(shí)要點(diǎn) 1 并集 用Venn圖表示 即時(shí)訓(xùn)練 1 兩個(gè)集合的并集中的元素就是將兩個(gè)集合中的元素合在一起 2 A B仍是一個(gè)集合 由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成 3 若集合A和集合B有公共元素 根據(jù)集合元素的互異性 則在A B中僅出現(xiàn)一次 例1設(shè)A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 求A B 解 A B 4 5 6 8 3 5 7 8 3 4 5 6 7 8 元素全部拿過(guò)來(lái) 重復(fù)的只寫一次 例2設(shè)集合A 1 2 集合B 1 3 求A B 解 A B 1 2 1 3 A B A X 1 3 B 畫數(shù)軸 找端點(diǎn)是關(guān)鍵 例3設(shè)A a b c B a c d f 求A B 解 A B a b c a c d f a b c d f 例4設(shè)集合A x 4 x 2 集合B x 1 x 4 求A B 解 A B x 4 x 2 x 1 x 4 x 4 x 4 注意 求兩個(gè)集合的并集時(shí) 它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次 如 a c 在數(shù)軸上表示并集 A B 總結(jié)提升 兩個(gè)集合求并集 結(jié)果還是一個(gè)集合 由集合A與B的所有元素組成的集合 它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次 對(duì)于表示不等式解集的集合的運(yùn)算 可借助數(shù)軸解題 注意 觀察 下列各個(gè)集合 你能說(shuō)出集合A B與集合C之間的關(guān)系嗎 1 A 2 4 6 8 10 B 2 3 5 8 9 12 C 2 8 2 A x 1 x 6 B x 4 x 8 C x 4 x 6 集合C是由那些既屬于集合A且又屬于集合B的所有元素組成 2 交集 一般地 由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合 稱為A與B的交集 記作A B 讀作 A交B 即A B x x A 且x B 知識(shí)要點(diǎn) 用Venn圖表示 例5新華中學(xué)開運(yùn)動(dòng)會(huì) 設(shè)A x x是新華中學(xué)高一年級(jí)參加百米賽跑的同學(xué) B x x是新華中學(xué)高一年級(jí)參加跳高比賽的同學(xué) 求A B 解 A B就是新華中學(xué)高一年級(jí)中那些既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學(xué)組成的集合 所以 A B x x是新華中學(xué)高一年級(jí)既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學(xué) 例6設(shè)A x x 1 B x x 1 求A B 例7設(shè)A x x是等腰三角形 B x x是直角三角形 求A B 解 A B x x 1 x x 1 x 1 x 1 解 A B x x是等腰三角形 x x是直角三角形 x x是等腰直角三角形 A B 例8設(shè)平面內(nèi)直線l1上點(diǎn)的集合為L(zhǎng)1 直線l2上點(diǎn)的集合為L(zhǎng)2 試用集合的運(yùn)算表示l1 l2的位置關(guān)系 總結(jié)提升 兩個(gè)集合求交集 結(jié)果還是一個(gè)集合 由集合A與B的公共元素組成的集合 當(dāng)兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素時(shí) 兩個(gè)集合的交集是空集 而不能說(shuō)兩個(gè)集合沒(méi)有交集 注意 A B A 思考1如果你所在班級(jí)共有50名同學(xué) 要求你從中選出46名同學(xué)參加體操比賽 你如何完成這件事呢 你不可能直接去找張三 李四 王五 一一確定出誰(shuí)去參加吧 如果按這種方法做這件事情 可就麻煩多了 若確定出4位不參加比賽的同學(xué) 剩下的46名同學(xué)都參加 問(wèn)題可就簡(jiǎn)單多了 不要小看這個(gè)問(wèn)題的解決方法 它可是這節(jié)內(nèi)容補(bǔ)集的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ) 補(bǔ)集 像這樣的集合也正是我們這節(jié)課所要研究的 全集與補(bǔ)集 思考2想一想如下的Venn圖所示陰影部分的集合 如何用描述法表示呢 方程的解集 在有理數(shù)范圍內(nèi)有幾個(gè)解 分別是什么 在不同的范圍內(nèi)研究問(wèn)題 結(jié)果是不同的 為此 需要確定研究對(duì)象的范圍 想一想 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有幾個(gè)解 分別是什么 1個(gè) 1 思考3 在不同范圍內(nèi)研究同一個(gè)問(wèn)題 可能有不同的結(jié)果 我們通常把研究問(wèn)題前給定的范圍所對(duì)應(yīng)的集合稱為全集 如Q R Z等 那么全集的含義如何呢 一般地 如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素 那么就稱這個(gè)集合為全集 通常記作U 通常也把給定的集合作為全集 知識(shí)要點(diǎn) 特別提醒 全集是相對(duì)于所研究問(wèn)題而言的一個(gè)相對(duì)概念 它含有與所研究問(wèn)題有關(guān)的各個(gè)集合的全部元素 因此全集因問(wèn)題而異 思考交流 想一想 全集一定包含任何元素嗎 提示 全集僅包含我們研究問(wèn)題所涉及的集合的全部元素 而非任何元素 觀察下列三個(gè)集合 S 高一年級(jí)的同學(xué) A 高一年級(jí)參加軍訓(xùn)的同學(xué) B 高一年級(jí)沒(méi)有參加軍訓(xùn)的同學(xué) 這三個(gè)集合之間有何關(guān)系 顯然 由所有屬于集合S但不屬于集合A的元素組成的集合就是集合B 如何在全集S中研究相關(guān)集合間的關(guān)系呢 對(duì)于一個(gè)集合A 由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集 complementaryset 簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集 記作 可用Venn圖表示為 補(bǔ)集的概念 注意 補(bǔ)集符號(hào) A有三層含義 1 A是U的一個(gè)子集 即AU 2 A表示一個(gè)集合 且 AU 3 A是U中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合 判斷 1 補(bǔ)集既是集合間的一種關(guān)系 同時(shí)也是集合間的一種運(yùn)算 2 求集合A的補(bǔ)集的前提是 A是全集U的子集 集合A其實(shí)是給定的條件 對(duì)于任意的一個(gè)集合A都有 1 2 3 例1 1 設(shè)U x x是小于9的正整數(shù) A 1 2 3 B 3 4 5 6 求 UA UB 解 1 根據(jù)題意可知 2 設(shè)全集U x x是三角形 A x x是銳角三角形 B x x是鈍角三角形 求A B U A B AB 2 根據(jù)三角形的分類可知 x x是直角三角形 所以 A B x x是銳角三角形或鈍角三角形 設(shè)全集U R 在數(shù)軸上表示出集合A x 2 x 1 的補(bǔ)集 UA 變式練習(xí) 解 畫出數(shù)軸 通過(guò)數(shù)軸上集合的表示可得A的補(bǔ)集 UA x x 2或x 1 注意 求用區(qū)間表示的集合的補(bǔ)集時(shí) 要特別注意區(qū)間端點(diǎn)的歸屬 例2設(shè)全集為R 求 解得 例6設(shè)U x x是小于7的正整數(shù) A 1 2 3 B 3 4 5 6 求CUA CUB 例7設(shè)全集U R M x x 1 N x 0 x 1 則CUM CUN 解 根據(jù)題意可知CUM x x 1 CUN x x 0且x 1 解 根據(jù)題意可知 U 1 2 3 4 5 6 所以CUA 4 5 6 CUB 1 2 注意 用數(shù)軸來(lái)處理比較簡(jiǎn)捷 數(shù)形結(jié)合思想 例3設(shè)集合A 4 2m 1 m2 B 9 m 5 1 m 又A B 9 求A B 解 1 若2m 1 9 得m 5 得A 4 9 25 B 9 0 4 得A B 4 9 不符合題 2 若m2 9 得m 3或m 3 m 3時(shí) A 4 5 9 B 9 2 2 違反互異性 舍去 當(dāng)m 3時(shí) A 4 7 9 B 9 8 4 符合題意 此時(shí)A B 4 7 9 8 4 由 1 2 可知 m 3 A B 4 7 9 8 4 例4已知U R A x x 3 0 B x x 2 x 4 0 求 1 C A B 2 C A B 解 1 C A B 2 C A B x x 3或x 4 課堂小結(jié) 進(jìn)行以不等式描述的或以區(qū)間形式出現(xiàn)的集合間的并 交 補(bǔ)運(yùn)算時(shí) 一定要畫數(shù)軸幫助分析 1 運(yùn)算順序 括號(hào) 補(bǔ) 交并 2 運(yùn)算性質(zhì) 高考鏈接 B 0 2 則集合A B的所有元素之和為 1 2008江西 定義集合運(yùn)算 設(shè)A 1 2 A 0B 2C 3D 6 解 由條件可知A B 0 2 4 所以之和為6 D 2 2009上海 已知集合A x x 1 B x x a 且A B R 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解 A B 1 a R a 1 a 1 A A 3個(gè)B 4個(gè)C 5個(gè)D 6個(gè) 解析 本題目主要考察集合的運(yùn)算 A B 4 7 9 U A B 3 4 5 7 8 9 A B 3 5 8 所以 A B 中的元素共3個(gè) 4 2009廣東 已知全集U R 則正確表示集合M 1 0 1 和N x x 0 關(guān)系的韋恩 Venn 圖是 N M U A B C D B 課堂練習(xí) 1 判斷正誤 1 若U 四邊形 A 梯形 則UA 平行四邊形 2 若U是全集 且A B 則UA CUB 3 若U 1 2 A U 則UA 解 將集合A B在數(shù)軸上表示 如圖 所以 A 6 設(shè)A 2 1 x2 2x 1 B 2y 4 x 1 C 1 4 且A B C 求x y 解 由A B C知4 A 必然x2 2x 1 4得x1 1 x2 3由x 1得x 1 0 C x 1 x 3x 1 4 C此時(shí)2y 1 y 1 2 綜上所述x 3 y 1 2 1 設(shè)集合M x x2 2x 0 x R N x x2 2x 0 x R 則M N A 0 B 0 2 C 2 0 D 2 0 2 D 解析 分析可得 M為方程x2 2x 0的解集 則M 0 2 N為方程x2 2x 0的解集 則N 0 2 故集合M N 2 0 2 動(dòng)筆練一練 2 設(shè)集合A 1 2 3 集合B 2 2 則A B A B 2 C 2 2 D 2 1 2 3 B 解析 因?yàn)榧螦 1 2 3 集合B 2 2 所以A B 2 3 若集合A 1 2 3 B 1 3 4 則A B的子集個(gè)數(shù)為 A 2B 3C 4D 16 解析 因?yàn)锳 1 2 3 B 1 3 4 所以A B 1 3 則A B的子集個(gè)數(shù)為22 4 C 4 設(shè)集合A 1 0 1 B a a2 則使A B A成立的a的值為 解析 因?yàn)锳 B A 所以B A 所以a2 0或a2 1 所以a 0或a 1 但a 0或a 1不符合條件 舍去 故a 1 1 5 設(shè)集合U 1 2 3 4 5 6 M 1 2 4 則 A UB 1 3 5 C 3 5 6 D 2 4 6 C 解析 U中的元素去掉1 2 4得 故選C 6 若全集U 1 2 3 4 5 6 7 8 M 1 3 5 7 N 5 6 7 則 U M N A 5 7 B 2 4 C 2 4 8 D 1 3 5 6 7 解析 借助于Venn圖 如圖所示 M N 1 3 5 6 7 U M N 2 4 8 C 教材習(xí)題答案