《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 基本圖形(一)第19講 特殊三角形 第2課時(shí) 直角三角形講解篇》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 基本圖形(一)第19講 特殊三角形 第2課時(shí) 直角三角形講解篇（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2課時(shí)　直角三角形 直角三角形 考試內(nèi)容 考試 要求 概念 有一個(gè)角是　　　　　　　　的三角形叫做直角三角形． a 性質(zhì) 如圖，在△ABC中，∠C＝90°. 1．邊與邊的關(guān)系(勾股定理)：a2＋b2＝　　　　　　　　； 2．角與角的關(guān)系：∠A＋∠B＝　　　　　　　??； 3．邊與角的關(guān)系： ①若∠A＝30°，則a＝c，b＝c； ②若a＝c，則∠A＝30°； ③若∠A＝45°，則a＝b＝c； ④若a＝c，則∠A＝45°； 4．斜邊上的中線m＝c＝R(其中R為三角形外接圓的半徑)． c 判定 1.有一個(gè)角是　　　　　　　　或兩個(gè)銳角　　　　　

2、　　　的三角形是直角三角形． 2．如果三角形一邊上的中線等于這條邊的　　　　　　　　，那么這個(gè)三角形為直角三角形． 3．勾股定理的逆定理：如果三角形的兩邊的　　　　　　　　等于第三邊的　　　　　　　　，那么這個(gè)三角形是直角三角形． 拓展 1.SRt△ABC＝ch＝ab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高； 2．Rt△ABC內(nèi)切圓半徑r＝；外接圓半徑R＝，即等于斜邊的一半． 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 方法 面積法：用面積法證題是常用的方法之一，使用這種方法時(shí)一般是利用某個(gè)圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到要證明的結(jié)論．如ch＝ab，其

3、中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高； c 1． (2017·紹興)如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為(　　) A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 2．(2017·溫州)四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過各較長直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH.已知AM為Rt△ABM較長直角邊，AM＝2EF，則正方形

4、ABCD的面積為(　　) A．12S B．10S C．9S D．8S 第2題圖 3． (2016·柳州模擬)如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行(　　) 第3題圖 A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 4． (2016·大連模擬)如圖，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則

5、△CDE的周長為(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 5．(2016·安順模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，則sinB＝　　　　　　　　. 【問題】如圖，點(diǎn)D是Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)． (1)你能從圖中得到哪些信息？ (2)若∠A＝40°，則∠DBC＝　　　　　　　　°； (3)若BD＝5，AB＝8，則BC＝　　　　　　　　. 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理直角三角形有關(guān)知識． 類型一　直角三角形的性質(zhì)與判定 　(

6、1)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ①若∠A＝46°，則∠B的度數(shù)為________； ②若∠A＝3∠B，則∠B＝________； ③若∠B＝30°，D為線段AB的中點(diǎn)，CD＝6，則∠ACD＝________；AB＝________；BC＝________． (2) 如圖，已知∠AOD＝30°，點(diǎn)C是射線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，△AOC恰好是直角三角形，則此時(shí)∠A所有可能的度數(shù)為________． 【解后感悟】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、以及斜邊上中線性質(zhì)、含30°角的直角三角形性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意分類討論的運(yùn)用． 1．(1)(2016·

7、黑龍江模擬)已知三組數(shù)據(jù)：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分別以每組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)為三角形的三邊長，構(gòu)成直角三角形的有(　　) A．② B．①② C．①③ D．②③ (2)(2016·牡丹江模擬)如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則∠A等于(　　) A．25° B．30° C．45° D．60° 2．(1)(2017·麗水模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂

8、直平分斜邊AC，交AB于D，E為垂足，連結(jié)CD，若BD＝1，則AC的長是____________________． 第(1)題圖 第(2)題圖 第(3)題圖 (2)(2017·衢州模擬)如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)．若AD＝6，DE＝5，則CD的長等于　　　　　　　　. (3)(2015·福州)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，連結(jié)BM，則BM的長是　　　　　　　　. 類型二　直角三角形的分類討論 　(2016·大連模擬)如

9、圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC＝60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，AP的長為　　　　　　　　. 【解后感悟】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵． 3． (2016·山西模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2－x－2過A、B、C三點(diǎn)，在對稱軸上存在點(diǎn)P，以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形．則點(diǎn)P的坐標(biāo)是　　　　　　　　. 4．(2016·安定模擬)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊以1厘米/秒的速度向

10、點(diǎn)B勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C勻速移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．用t(秒)表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤t≤6)． (1)當(dāng)PQ∥AC時(shí)，求t的值； (2)當(dāng)t為何值時(shí)，P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形． 類型三　勾股定理的應(yīng)用 　(2016·孝感)如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周脾算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan∠ADE的值為________． 【解后感悟】此題中沒有具體的數(shù)，故先設(shè)未知數(shù)，根據(jù)正方形以及直角三角形的面

11、積公式求得直角三角形的三邊，進(jìn)一步運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義求解． 5．(1)下列長度的三條線段不能組成直角三角形的是(　　) A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．2，1.5，2.5 (2) (2016·株洲)如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3圖形個(gè)數(shù)有(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (3)如圖，西安路與南京路平行，并且

12、與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直．如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準(zhǔn)備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為(　　) A．600m B．500m C．400m D．300m (4)如圖，四個(gè)全等的直角三角形紙片既可以拼成(內(nèi)角不是直角)的菱形ABCD，也可以拼成正方形EFGH，則菱形ABCD面積和正方形EFGH面積之比為____________________． 類型四　直角三角形的探究問題 　(2016·桂林模擬)如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，且

13、CD＝CE，連結(jié)DE. (1)線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________． (2)如圖2，當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α后，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由． (3)繞點(diǎn)C繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△CDE，當(dāng)90°<α<180°時(shí)，延長DC交AB于點(diǎn)F，請?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并求出當(dāng)AF＝1＋時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)． 【解后感悟】本題主要考查了運(yùn)用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，從而能用(1)(2)中積累的經(jīng)驗(yàn)去解決第(3)題．它是中考的熱點(diǎn)題型． 6．(1)(2016·錦州模擬)

14、如圖，兩塊完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，將三角板A′B′C′繞其頂點(diǎn)C′按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<α≤90°)，有以下四個(gè)結(jié)論： ①當(dāng)α＝30°時(shí)，A′C與AB的交點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn)； ②當(dāng)α＝60°時(shí)，A′B′恰好經(jīng)過點(diǎn)B； ③在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時(shí)刻，使得AA′＝BB′； ④在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在AA′⊥BB′. 其中結(jié)論正確的序號是　　　　　　　　. (2) (2015·宿遷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，4)，直線y＝x－3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM長的最小值為　　　　　　　　.

15、 類型五　直角三角形的綜合運(yùn)用 　(2016·吉林)如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C方向以cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(點(diǎn)M，C位于PQ異側(cè))．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，△PQM與△ADC重疊部分的面積為y(cm2)． (1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，x＝________； (2)當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，x＝________； (3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

16、【解后感悟】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、分段函數(shù)、三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖象，學(xué)會(huì)分類討論． 7． (1)(2016·陜西)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長為(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 (2) (2016·淄博)如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連結(jié)GH，則線段GH的長為(　　) A.

17、 B．2 C. D．10－5 (3)(2016·邵陽模擬)如圖，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，以O(shè)A2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，…則OA2016的長度為　　　　　　　　. 【課本改變題】 教材母題－－浙教版八上第87頁，目標(biāo)與評定第28題． 小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時(shí)，對課本“目標(biāo)與評定”中的一道思考題進(jìn)行了認(rèn)真的探索． 【思考題】如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么

18、點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？ (1)請你將小明對“思考題”的解答補(bǔ)充完整： 解：設(shè)點(diǎn)B將向外移動(dòng)x米，即BB1＝x， 則B1C＝x＋0.7，A1C＝AC－AA1＝－0.4＝2. 而A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B得方程　　　　　　　　， 解方程得x1＝　　　　　　　　，x2＝　　　　　　　　， ∴點(diǎn)B將向外移動(dòng)　　　　　　　　米． (2)解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個(gè)問題： 【問題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會(huì)是0.9米嗎？為什么？ 【問題二】在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距

19、離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等嗎？為什么？請你解答小聰提出的這兩個(gè)問題． 　　　　　　 【方法與對策】這題是探究性問題，通過課本中作業(yè)完成后，進(jìn)行引申，用方程的思想繼續(xù)分析、探究，解決提出的猜想．導(dǎo)向性：一方面要求同學(xué)們作業(yè)之后要反思，另一方面要求老師進(jìn)行變式教學(xué)，這是中考熱點(diǎn)題型． 【忽視直角三角形中直角邊不明確】 (2016·包頭模擬)已知直角三角形的兩邊的長分別是3和4，則第三邊長為________． 參考答案 第2課時(shí)　直角三角形 【考點(diǎn)概要】 直角　c2　90°　直角　互余　一半　平方和　平方 【考題體驗(yàn)】 1．C　2.C　3.B　4.B　5

20、. 【知識引擎】 【解析】(1)如：AB2＋BC2＝AC2，BD＝AC，∠A＝∠ABD等；　(2)50；　(3)6. 【例題精析】 例1　(1)①44°?、?2.5°?、?0°　12　6　(2)60°或90°　 例2　當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)(如圖1)，∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝＝＝2，在直角三角形ABP中，AP＝＝2.當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，分兩種情況討論：情況一，如圖2，∵AO＝BO，∴PO＝BO，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP為等邊三角形，∵AB＝BC＝4，∴AP＝AB·sin60°＝4×＝2；情況二：如圖3，∵AO＝BO，∠APB

21、＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP＝AO＝2，故答案為：2或2或2. 例3　設(shè)小正方形EFGH面積是a2，則大正方形ABCD的面積是13a2，∴小正方形EFGH邊長是a，則大正方形ABCD的面積是a，∵圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，∴AE＝DH，設(shè)AE＝DH＝x，在Rt△AED中，AD2＝AE2＋DE2，即13a2＝x2＋(x＋a)2，解得：x1＝2a，x2＝－3a(舍去)，∴AE＝2a，DE＝3a，∴tan∠ADE＝＝＝，故答案為：.　 例4　(1)∵AC＝BC＝，CD＝CE，∴BE＝AD，∵∠ACB＝90°，∴

22、AC⊥BC，∴BE⊥AD.　(2)仍然成立．如圖2，延長BE交AD于點(diǎn)M.在△BCE和△ACD中，BC＝AC，∠BCE＝∠ACD＝α，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD.∴BE＝AD.∵∠1＝∠2，∠CAD＝∠CBE，∴∠AMB＝∠ACB＝90°.即BE⊥AD.　 (3)如圖3，過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N，∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴CN＝AN＝AB＝1，∠BCN＝45°.∵AF＝1＋，∴FN＝AF－AN＝.在Rt△CNF中，tan∠FCN＝＝，∴∠FCN＝30°.∴∠BCF＝∠BCN－∠FCN＝15°.∵∠FCE＝90°，∴∠BCE＝∠BCF＋∠FCE＝105°.∴當(dāng)AF＝1＋時(shí)，旋轉(zhuǎn)

23、角α為105°.　 圖2 圖3 例5　(1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，四邊形AMQP是正方形，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合，AP＝CP＝4，所以x＝＝4.故答案為4.　 (2)如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，作PE⊥QC于E.∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ＝PQ＝PC，∴DQ＝QE＝EC，∵PE∥AD，∴＝＝，∵AC＝8，∴PA＝，∴x＝÷＝.故答案為.　(3)①當(dāng)0

24、M、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ.∵PQ＝PC＝8－x，∴PM＝16－2x，∴ME＝PM－PE＝16－3x，∴y＝S△PMQ－S△MEG＝(8－x)2－(16－3x)2＝－x2＋32x－64.③當(dāng)

25、AC，∴△PBQ∽△ABC，∴＝，即＝，解得t＝(秒)；　(2)過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，如圖．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝6.∵∠B≠90°，∴P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形情況有兩種：①∠PQB＝90°，即PQ∥AD.∴＝，即＝，解得t＝(秒)；②∠QPB＝90°，而∠ADB＝90°，∠B＝∠B，∴△BPQ∽△BDA，∴＝，即＝，解得t＝(秒)．∴由①、②知，當(dāng)t為秒或秒時(shí)，P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形． 　5.(1)B　(2)D　(3)B　(4) 6．(1)①②④　(2)　7.(1)B　(2)B　(3)21008 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)(x＋0.7)2＋2

26、2＝2.52，0.8，－2.2(舍去)，0.8. (2)①不會(huì)是0.9米，若AA1＝BB1＝0.9，則A1C＝2.4－0.9＝1.5，B1C＝0.7＋0.9＝1.6，1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25.∵B1C2＋A1C2≠A1B，∴該題的答案不會(huì)是0.9米．②有可能．設(shè)梯子頂端從A處下滑x米，點(diǎn)B向外也移動(dòng)x米，則有(x＋0.7)2＋(2.4－x)2＝2.52，解得：x＝1.7或x＝0(舍)∴當(dāng)梯子頂端從A處下滑1.7米時(shí)，點(diǎn)B向外也移動(dòng)1.7米，即梯子頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等． 【錯(cuò)誤警示】①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時(shí)，第三邊的長為：＝；②長為3、4的邊都是直角邊時(shí)，第三邊的長為：＝5；綜上，第三邊的長為：5或.故答案為：5或. 13