《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二部分 題型研究 題型五 幾何探究題 類型五 類比、拓展探究問題針對(duì)演練》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二部分 題型研究 題型五 幾何探究題 類型五 類比、拓展探究問題針對(duì)演練（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二部分 題型研究 題型五　 幾何探究題 類型五　類比、拓展探究問題 1. (2017紹興)已知△ABC，AB＝AC，D為直線BC上一點(diǎn)，E為直線AC上一點(diǎn)，AD＝AE，設(shè)∠BAD＝α，∠CDE＝β. (1)如圖，若點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在線段AC上： ①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________°，β＝________°； ②求α、β之間的關(guān)系式； (2)是否存在不同于以上②中的α、β之間的關(guān)系式？若存在，求出這個(gè)關(guān)系式(求出一個(gè)即可)；若不存在，說明理由． 第1題圖 2. (2017樂山)在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，對(duì)角線AC

2、平分∠BAD. (1)如圖①，若∠BAD＝120°，且∠B＝90°，試探究邊AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由； (2)如圖②，若將(1)中的條件“∠B＝90°”去掉，(1)中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由； (3)如圖③，若∠BAD＝90°，探究邊AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由． 第2題圖 3. (2017臨沂)數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖①，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，則線段BC、CD、AC三者之間有何等量關(guān)系？ 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖②，延長CB到E，使BE＝CD，連接AE

3、，證得△ABE≌△ADC，從而容易證明△ACE是等邊三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC＋CD. 小亮展示了另一種正確的思路：如圖③，將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AD重合，從而容易證明△ACF是等邊三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC＋CD. 第3題圖 在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們做了進(jìn)一步的研究： (1)小穎提出：如圖④，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改為“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其它條件不變，那么線段BC、CD、AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小穎提出的問題，請(qǐng)你寫出結(jié)論，并給出證明； (2)小華提出：如圖⑤，如果把“∠

4、ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改為“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝α”，其它條件不變，那么線段BC、CD、AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小華提出的問題，請(qǐng)你寫出結(jié)論，不用證明． 第3題圖 4. (2017衢州)問題背景 如圖①，在正方形ABCD的內(nèi)部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形EFGH是正方形． 類比探究 如圖②，在正△ABC的內(nèi)部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)(D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不重合)． (1)△ABD，△BCE，

5、△CAF是否全等？如果是，請(qǐng)選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明； (2)△DEF是否為正三角形？請(qǐng)說明理由； (3)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系，設(shè)BD＝a，AD＝b，AB＝c，請(qǐng)?zhí)剿鱝，b，c滿足的等量關(guān)系． 第4題圖 5. (2017岳陽)問題背景：已知∠EDF的頂點(diǎn)D在△ABC的邊AB所在直線上(不與A，B重合)．DE交AC所在直線于點(diǎn)M，DF交BC所在直線于點(diǎn)N，記△ADM的面積為S1，△BND的面積為S2. (1)初步嘗試：如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形，AB＝6，∠EDF＝∠A，且DE∥BC，AD＝2時(shí)，則S1·S2＝________； (2)類比探究

6、：在(1)的條件下，先將點(diǎn)D沿AB平移，使AD＝4，再將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置，求S1·S2的值； (3)延伸拓展：當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，設(shè)∠B＝∠A＝∠EDF＝α. (Ⅰ)如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 設(shè)AD＝a，BD＝b，求S1·S2的表達(dá)式(結(jié)果用a，b和α的三角函數(shù)表示)； (Ⅱ)如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AD＝a，BD＝b，直接寫出S1·S2的表達(dá)式，不必寫出解答過程． 第5題圖 答案 1. 解：(1)①20，10； ②設(shè)∠ABC＝x，∠ADE＝y(tǒng)，則∠ACB＝x，∠AED＝y(tǒng)， 在△DEC中，y＝β＋x， 在△ABD中，

7、α＋x＝y(tǒng)＋β， ∴α＝2β； (2)如解圖，點(diǎn)E在CA延長線上，點(diǎn)D在線段BC上， 設(shè)∠ABC＝x，∠ADE＝y(tǒng)，則∠ACB＝x，∠AED＝y(tǒng)， 在△ABD中，x＋α＝β－y， 在△DEC中，x＋y＋β＝180°， ∴α＝2β－180°. (注：求其它關(guān)系式，相應(yīng)給分，如點(diǎn)E在CA的延長線上，點(diǎn)D在CB的延長線上，可得α＝180°－2β.) 第1題解圖 2. 解：(1)AC＝AD＋AB.理由如下： 由題意知∠B＝90°， ∴∠D＝90°， ∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝∠ACD＝30°， ∴AB

8、＝ AC，AD＝ AC， ∴AC＝AD＋AB； (2)(1)中的結(jié)論成立，理由如下： 如解圖①，以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE＝60°，∠ACE的另一邊交AB的延長線于點(diǎn)E， ∵∠BAC＝∠BAD＝×120°＝60°， ∴△AEC為等邊三角形， ∴AC＝AE＝CE， ∵∠D＋∠B＝180°，∠DAB＝120°， ∴∠DCB＝60°， ∴∠DCA＋∠ACB＝60°， 又∵∠BCE＋∠ACB＝60°， ∴∠DCA＝∠BCE， ∴△DAC≌△BEC(ASA)， ∴AD＝BE， ∴AE＝AB＋BE＝AB＋AD， ∴AC＝AD＋AB； 圖① 　 圖② 第2

9、題解圖 (3)AD＋AB＝AC.理由如下： 如解圖②，過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長線于點(diǎn)E， ∵∠D＋∠ABC＝180°， ∠DAB＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠DCA＝∠BCE. 又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB＝45°，∠E＝45°， ∴AC＝CE. 又∵∠D＋∠B＝180°，∠D＝∠CBE， ∴△CDA≌△CBE(AAS)． ∴AD＝BE， ∴AD＋AB＝AE. 在Rt△ACE中，∠CAB＝45°， ∴AE＝＝AC， ∴AD＋AB＝AC. 3. 解：(1)BC、CD、AC三者之間的關(guān)系為：BC＋CD＝AC. 證明：

10、如解圖①，延長CB至點(diǎn)E，使BE＝DC，連接AE. 第3題解圖① ∵∠ABD＝∠ACD＝45°， ∴∠1＝∠2， ∵∠ABE＝∠1＋∠ACB，∠ADC＝∠ADB＋∠2， 又∵∠ACB＝∠ADB＝45°， ∴∠ABE＝∠ADC， ∵∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴AD＝AB，∠BAD＝90° ∴△ADC≌△ABE(SAS)， ∴∠BAE＝∠DAC，AE＝AC， ∴∠EAC＝90°， ∴EC＝AC， ∴BC＋CD＝AC； (2)BC＋CD＝2cosα·AC. 【解法提示】如解圖②，延長CB至點(diǎn)E，使BE＝DC，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為點(diǎn)F. 第3

11、題解圖② 則可得BC＋CD＝2CF， 在Rt△ACF中， 由cosα＝得，CF＝AC·cosα， 即(BC＋CD)＝cosα·AC， ∴BC＋CD＝2cosα·AC. 4. 解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF. 證明：如解圖①， 第4題解圖① ∵△ABC為正三角形， ∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°， AB＝BC. ∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，而∠2＝∠3， ∴∠ABD＝∠BCE. 又∵∠1＝∠2， ∴△ABD≌△BCE(ASA)； (2)△DEF是正三角形． 理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB＝∠

12、BEC＝∠CFA， ∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD， ∴△DEF是正三角形； (3)如解圖②，作AG⊥BD，交BD延長線于點(diǎn)G， 第4題解圖② 由△DEF是正三角形得到∠ADG＝60°， (或者∠ADG＝∠1＋∠ABD＝∠2＋∠ABD＝60°.) ∴在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b. ∴在Rt△ABG中，c2＝(a＋b)2＋(b)2， ∴c2＝a2＋ab＋b2. 5. 解：(1)12； 【解法提示】如解圖①，過點(diǎn)D分別作DG⊥AC于點(diǎn)G，作DH⊥BC于點(diǎn)H.∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵AB＝6，AD＝2，∴BD＝4， ∴在Rt△ADG和Rt

13、△BDH中，DG＝AD·sin60°＝2×＝，DH＝BD·sin60°＝4×＝2，∵DE∥BC，∠EDF＝∠A＝60°，∴∠AMD＝∠EDF＝∠DNB＝60°，∴△ADM和△BDN均為等邊三角形．∴S1·S2＝×2×××4×2＝12. 第5題解圖① (2)如解圖②，過點(diǎn)D分別作DG⊥AC于點(diǎn)G，作DH⊥BC于點(diǎn)H. 第5題解圖② ∵∠A＝∠EDF＝60°， ∴∠1＋∠2＝∠1＋∠BDF＝120°， ∴∠2＝∠BDF， 又∵∠A＝∠B， ∴△ADM∽△BND， ∴＝，即＝， ∴AM·BN＝8， ∵在Rt△ADG和Rt△BDH中， DG＝AD·sin60°＝4×＝2， DH＝BD·sin60°＝2×＝， ∴S1·S2＝AM·2··BN· ＝·AM·BN ＝×8 ＝12； (3)(Ⅰ)如解圖③，與(2)同理可得， 第5題解圖③ AM·BN＝AD·BD＝ab， DG＝AD·sinα，DH＝BD·sinα， ∴S1·S2＝AM·DG·BN·DH ＝×ab·AD·BD·sin2α ＝a2b2sin2α； (Ⅱ)S1·S2＝a2b2sin2α. 11