《（江西專用）2019中考數(shù)學總復習 第二部分 專題綜合強化 專題五 幾何探究題 類型1 針對訓練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江西專用）2019中考數(shù)學總復習 第二部分 專題綜合強化 專題五 幾何探究題 類型1 針對訓練（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二部分　專題五 類型一 1．(2018·南昌模擬)我們定義：有一組鄰角相等且對角線相等的凸四邊形叫做鄰對等四邊形． 概念理解 (1)我們所學過的特殊四邊形中的鄰對等四邊形是矩形或正方形； 性質(zhì)探究 (2)如圖1，在鄰對等四邊形ABCD中，∠ABC＝∠DCB ，AC＝DB ，AB>CD，求證：∠BAC與∠CDB互補； 拓展應用 (3)如圖2，在四邊形ABCD中，∠BCD＝2∠B，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4.在BC的延長線上是否存在一點E，使得四邊形ABED為鄰對等四邊形？如果存在，求出DE的長；如果不存在，說明理由． 　　 (1)解：矩形或正方形． (2)證明：

2、如答圖1，延長CD至E，使CE＝BA，連接BE. 在△ABC和△ECB中， ∴△ABC≌△ECB(SAS)， ∴BE＝CA，∠BAC＝∠E. ∵AC＝DB，∴BD＝BE，∴∠BDE＝∠E， ∴∠CDB＋∠BDE＝∠CDB＋∠E＝∠BAC＋∠CDB＝180°，即∠BAC與∠CDB互補． 　　 (3)解：存在這樣一點E，使得四邊形ABED為鄰對等四邊形，如答圖2，在BC的延長線上取一點E，使得CE＝CD＝4，連接DE，AE，BD，則四邊形ABED為鄰對等四邊形．理由如下： ∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED. ∵∠BCD＝2∠ABC， ∴∠ABC＝∠DEB，∴∠ACE＝∠BCD

3、. 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴BD＝AE，四邊形ABED為鄰對等四邊形． ∵∠CBA＝∠CAB＝∠CDE＝∠CED， ∴△ABC∽△DEC， ∴＝＝＝，∴DE＝. 2．(2018·淮安)如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α＋β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”． (1)若△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝15°； (2)如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分線，不難證明△ABD是“準互余三角形”．試問在邊BC上是否存在點E(異于點D)，使得△ABE也

4、是“準互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由． (3)如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“準互余三角形”，求對角線AC的長． 解：(1)∵△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴2∠B＋∠A＝90°，解得∠B＝15°. (2)如答圖1，在Rt△ABC中，∵∠B＋∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，∴∠B＋2∠BAD＝90°， ∴△ABD是“準互余三角形”． ∵△ABE也是“準互余三角形”， ∴只有2∠B＋∠BAE＝90°. ∵∠B＋∠BAE＋∠EAC＝90°，∴∠CAE＝∠

5、B. ∵∠C＝∠C＝90°， ∴△CAE∽△CBA，∴CA2＝CE·CB， ∴CE＝，∴BE＝5－＝. 　　 (3)如答圖2，將△BCD沿BC翻折得到△BCF， ∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD. ∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD＋∠CBD＝90°， ∴∠ABD＋∠DBC＋∠CBF＝180°，∴點A，B，F(xiàn)共線， ∴∠A＋∠ACF＝90°，∴2∠ACB＋∠CAB≠90°， ∴只有2∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠FCB＝∠FAC. ∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2＝FB·FA，設(shè)FB＝x，則有x(x＋7)＝122， ∴x＝9或x＝－

6、16(舍去)， ∴AF＝7＋9＝16，在Rt△ACF中，AC＝＝＝20. 3．(2015·江西)我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c. 特例探索 (1)如圖1，當∠ABE＝45°，c＝2時，a＝____2____，b＝____2____. 如圖2，當∠ABE＝30°，c＝4時，a＝____2____，b＝____2____. 歸納證明 (2)請你觀察(1)中的計算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，

7、并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式． 拓展應用 (3)如圖4，在□ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的長． 解：(1)∵AF⊥BE，∠ABE＝45°， ∴AP＝BP＝AB＝2. ∵AF，BE是△ABC的中線， ∴EF∥AB，EF＝AB＝， ∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF＝1. 在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE＝BF＝＝， ∴AC＝BC＝2，∴a＝b＝2. 如答圖1，連接EF. 同理可得EF＝×4＝2. ∵EF∥AB，∴△PEF∽△PBA， ∴＝＝＝. 在Rt△ABP中，AB＝4，∠ABP＝30°

8、， ∴AP＝2，PB＝2，∴PF＝1，PE＝. 在Rt△APE和Rt△BPF中，AE＝，BF＝， ∴a＝2，b＝2. (2)猜想：a2＋b2＝5c2，證明如下： 如答圖2，連接EF. 設(shè)∠ABP＝α，∴AP＝csinα，PB＝ccosα， 由(1)同理可得PF＝PA＝，PE＝PB＝ ， ∴AE2＝AP2＋PE2＝c2sin2α＋， BF2＝PB2＋PF2＝c2cos2α＋， ∴()2＝c2sin2α＋，()2＝＋c2cos2α， ∴＋＝＋c2cos2α＋c2sin2α＋， ∴a2＋b2＝5c2. 　　　　 (3)如答圖3，連接AC，EF交于點H，AC與BE交于點Q

9、，設(shè)BE與AF的交點為P. ∵點E，G分別是AD，CD的中點，∴EG∥AC. ∵BE⊥EG，∴BE⊥AC. ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，∴∠EAH＝∠FCH. ∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點， ∴AE＝AD，BF＝BC， ∴AE＝BF＝CF＝AD＝. ∵AE∥BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形， ∴EF＝AB＝3，AP＝PF. 在△AEH和△CFH中， ∴△AEH≌△CFH，∴EH＝FH，∴EP，AH分別是△AFE的中線， 由(2)的結(jié)論得AF2＋EF2＝5AE2， ∴AF2＝5()2－EF2＝16，∴AF＝4. 或連接F與AB的中點M

10、，證MF垂直BP，構(gòu)造出“中垂三角形”，由AB＝3，BC＝AD＝及(2)中的結(jié)論，直接可求AF. 4．(2017·江西)我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B′C′.當α＋β＝180°時，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補三角形”，△AB′C′邊B′C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”． 特例感知 (1)在圖2，圖3中，△AB′C′是△ABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”． ①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD＝BC；

11、②如圖3，當∠BAC＝90°，BC＝8時，則AD長為4. 猜想論證 (2)在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明． 拓展應用 (3)如圖4，在四邊形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6.在四邊形內(nèi)部是否存在點P，使△PDC是△PAB的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補中線”長；若不存在，說明理由． 圖1 圖2 圖3 圖4 解：(1)①∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′.∵DB′＝DC′， ∴AD⊥B′C′. ∵∠BAC＝60°，∠BAC

12、＋∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°， ∴AD＝AB′＝BC. ②∵∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°. ∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′， ∴BC＝B′C′. ∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4. (2)結(jié)論：AD＝BC. 證明如下： 如答圖1，延長AD到M，使得AD＝DM，連接B′M，C′M. ∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，∴AC′＝B′M＝AC. 第4題答圖1 ∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，

13、∠B′AC′＋∠AB′M＝180°， ∴∠BAC＝∠MB′A.∵AB＝AB′， ∴△BAC≌△AB′M， ∴BC＝AM，∴AD＝BC. (3)存在．理由：如答圖2，延長AD交BC的延長線于M，作BE⊥AD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA，PD，PC，作△PCD的中線PN， 第4題答圖2 連接DF交PC于O. ∵∠ADC＝150°， ∴∠MDC＝30°. 在Rt△DCM中，CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°， ∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°. 在Rt△BEM中，∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM＝BM＝7，∴

14、DE＝EM－DM＝3. ∵AD＝6，∴AE＝DE.∵BE⊥AD， ∴PA＝PD，PB＝PC. 在Rt△CDF中，CD＝2，CF＝6， ∴tan∠CDF＝，∴∠CDF＝60°＝∠CPF， 易證△FCP≌△CFD，∴CD＝PF.∵CD∥PF. ∴四邊形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°， ∴∠ADP＝∠ADC－∠CDP＝60°， ∴△ADP是等邊三角形，∴∠ADP＝60°. ∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°， ∴∠APD＋∠BPC＝180°， ∴△PDC是△PAB的“旋補三角形”． 在Rt△PDN中，∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝，∴PN＝＝＝. 8