3、圓上，∠BAC＝75°.點P從點B開始以 cm/s的速度在劣弧BC上運動，且運動時間為t s，∠AOB＝90°，∠BOP＝n°.
(1)求n與t之間的函數關系式，并求t的取值范圍；
(2)試探究：當點P運動多少秒時，
①在BP，PC，CA，AB四條線段中有兩條相互平行？
②以P，B，A，C四點中的三點為頂點的三角形是等腰三角形？
解：(1)∵∠BOP＝n°，∴t＝，n＝12t.
當n＝150時，150＝12t，t＝12.5.
∴t的取值范圍為0≤t≤12.5.
(2)①∠BOP＝n°，n＝12t.
如答圖1，當BP∥AC時，t＝5.
理由：∵∠PBA＝180°－75°＝
4、105°，∠OBA＝45°，
∴∠OBP＝60°.∵OB＝OP，
∴∠BOP＝60°，∴60＝12t，t＝5.
如答圖2，當PC∥AB時，t＝10.
理由：易得∠PBA＝∠BAC＝75°，
∴∠PBO＝∠BPO＝30°，
∴∠BOP＝120°，
∴120＝12t，t＝10.
綜上所述，當點P的運動時間為5 s時，BP∥AC.
當點P的運動時間為10 s時，PC∥AB.
②在△ABP中，以AB為腰時(如答圖3)，∠BPA＝∠BAP＝45°，∠BOP＝90°，∴t＝7.5.
以AB為底邊時(如答圖4)，∠BPA＝45°，∠BAP＝67.5°，∠BOP＝2×67
5、.5°＝135°，
∴t＝11.25.
如答圖5，在△APC中，易得∠AOC＝120°，
∴∠APC＝60°，△APC是等邊三角形．
∴∠AOP＝120°，∴∠BOP＝30°，t＝2.5.
如答圖6，在△BPC中，∠BPC＝105°，只有BP＝PC這種情況．
此時點P是弧BC的中心，
∴∠BOP＝75°，t＝6.25.
綜上所述，當點P的運動時間為7.5 s或11.25 s時，△ABP為等腰三角形；
當點P的運動時間為2.5 s時，△APC為等邊三角形；
當點P的運動時間為6.25 s時，△BPC為等腰三角形．
3．(2018·東莞)已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠
6、ABO＝30°，斜邊OB＝4，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉60°，如圖1，連接BC.
(1)填空：∠OBC＝60°；
(2)如圖1，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長度；
(3)如圖2，點M，N同時從點O出發(fā)，在△OCB邊上運動，M沿O→C→B路徑勻速運動，N沿O→B→C路徑勻速運動，當兩點相遇時運動停止，已知點M的運動速度為1.5單位/秒，點N的運動速度為1單位/秒，設運動時間為x秒，△OMN的面積為y，求當x為何值時y取得最大值．最大值為多少？
解：(1)由旋轉性質可知OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等邊三角形，∴∠OBC＝60°.
第3題答圖1
7、
(2)如答圖1中，
∵OB＝4，∠ABO＝30°，
∴OA＝OB＝2，
AB＝OA＝2，
∴S△AOC＝·OA·AB＝×2×2＝2.
∵△BOC是等邊三角形，
∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∴OP＝＝＝.
第3題答圖2
(3)①當0＜x≤時，M在OC上運動，N在OB上運動，此時過點N作NE⊥OC且交OC于點E.如答圖2，
則NE＝ON·sin60°＝x，
∴S△OMN＝·OM·NE＝×1.5x×x，
∴y＝x2，∴當x＝時，y有最大值，最大值為.
第3題答圖3
②當＜x≤4時，M在BC上運動，N在OB上運
8、動．如答圖3，
作MH⊥OB于H.則BM＝8－1.5x，MH＝BM·sin60°＝(8－1.5x)，∴y＝×ON×MH＝－x2＋2x.
當x＝時，y取得最大值，最大值為.
第3題答圖4
③當4＜x≤4.8時，M，N都在BC上運動，作OG⊥BC于G.如答圖4，
MN＝12－2.5x，OG＝AB＝2，
∴y＝·MN·OG＝12－x，
當x＝4時，y有最大值，最大值為2.
綜上所述，y有最大值，最大值為.
4．(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E的位置隨著點P的位置變化而變化．
(1)如圖1，當點E
9、在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE，BP與CE的數量關系是PB＝EC，CE與AD的位置關系是CE⊥AD；
(2)當點E在菱形ABCD外部時，(1)中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理)；
(3)如圖4，當點P在線段BD的延長線上時，連接BE.若AB＝2，BE＝2，求四邊形ADPE的面積．
第4題答圖1
解：(1)結論：PB＝EC，CE⊥AD.
理由：如答圖1中，連接AC.
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°.
∵△APE是等邊三角形，
10、
∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
延長CE交AD于H，
∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.
第4題答圖2
(2)結論仍然成立．
理由：如答圖2，連接AC交BD于O，設CE交AD于H.
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°.
∵△APE是等邊三角形，∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，∴△BAP≌△CAE，
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝3
11、0°，
∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.
第4題答圖3
(3)如答圖3，連接AC交BD于點O，連接CE交AD于點H，
由(2)可知EC⊥AD，CE＝BP，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴EC⊥BC.
∵BC＝AB＝2，BE＝2，
∴在Rt△BCE中，EC＝＝8，
∴BP＝CE＝8.
∵AC與BD是菱形的對角線，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，
∴BD＝2BO＝2AB·cos30°＝6，
∴OA＝AB＝，DP＝BP－BD＝8－6＝2，
∴OP＝OD＋DP＝5，
在Rt△AOP中，AP＝＝2，
∴S四邊形ADPE＝S△ADP＋S△AEP＝DP·AO＋·AP2＝
×2×＋×(2)2＝8.
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（江西專用）2019中考數學總復習 第二部分 專題綜合強化 專題五 幾何探究題 類型3 針對訓練
