3、個點到圓的最小距離為6 cm，最大距離為9 cm，則該圓的半徑是（C）
A．1.5 cm B．7.5 cm
C．1.5 cm或7.5 cm D．3 cm或15 cm
8．（2017·棗莊）如圖，在網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）中選取9個格點（格線的交點稱為格點）．若以點A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，則r的取值范圍為（B）
A．2＜r＜ B.＜r＜3
C.＜r＜5 D．5＜r＜
第8題圖 第9題圖
9．（2017·淮北模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，已知∠AOD＝50°，A
4、D∥OC，則∠BOC＝65°．
10．如圖所示，在△ABC中，BD，CE是兩條高線，求證：B，C，D，E四點在同一個圓上．
證明：取BC的中點O，連接OD，OE，
∵BD，CE是△ABC的兩條高線，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∴OD＝OE＝BC＝OB＝OC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．
∴B，C，D，E四點在以點O為圓心，BC的一半長為半徑的圓上．
第2課時 垂徑分弦
01 基礎(chǔ)題
知識點1 圓的對稱性
1．兩個同心圓的對稱軸（D）
A．僅有1條 B．僅有2條
C．僅有4條 D．有無數(shù)條
5、知識點2 垂徑定理及其推論
2．（2018·張家界）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，則AE＝（A）
A．8 cm B．5 cm
C．3 cm D．2 cm
第2題圖 第3題圖
3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是（D）
A．CM＝DM B.＝
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD
4．（2018·蕪湖模擬）如圖，將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為（D）
A．2 cm B. cm
C．
6、2 cm D．2 cm
第4題圖 第5題圖
5．如圖，在⊙O中，圓心角∠AOB＝120°，弦AB＝2 cm，則⊙O的半徑是2__cm．
6．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為6，M是弦AB上的一動點，則線段OM的長的取值范圍是4≤OM≤5．
7．如圖所示，在⊙O中，AB，CD為兩條弦，且AB∥CD，直徑MN經(jīng)過AB的中點E，交CD于點F，試問：點F是CD的中點嗎？
解：點F是CD的中點．
理由：∵直徑MN平分不是直徑的弦AB，
∴MN⊥AB.
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD.
∴CF＝FD.
∴點F是CD的中點．
7、
知識點3 垂徑定理的實際應用
8．（教材P16例3變式）（2017·安徽模擬）被譽為“中國畫里鄉(xiāng)村”的黃山宏村，村頭有一座美麗的圓弧形石拱橋（如圖），已知橋拱的頂部C距水面的距離CD為2.7 m，橋弧所在的圓的半徑OC為1.5 m，則水面AB的寬度是（A）
A．1.8 m B．1.6 m
C．1.2 m D．0.9 m
9．如圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，即圖中，點O是的圓心，CD＝600 m，E為上一點，且OE⊥CD于點F，EF＝90 m，則這段彎路的半徑是多少？
解：連接OD.
設(shè)這段彎路的半徑為R m.
∵OE⊥CD，CD＝600 m，
8、
∴DF＝CD＝300 m.
在Rt△DOF中，OD2＝OF2＋DF2，
即R2＝（R－90）2＋3002.
解得R＝545.
答：這段彎路的半徑是545 m.
易錯點 忽略垂徑定理的推論中的條件“不是直徑”
10．下列說法正確的是（D）
A．過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條弧
B．弦的垂直平分線平分它所對的兩條弧，但不一定過圓心
C．過弦的中點的直徑垂直于弦
D．平分弦所對的兩條弧的直徑平分弦
02 中檔題
11．（2017·合肥期末）如圖，已知⊙O的半徑為5，點O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點有（C）
A．1個
9、B．2個
C．3個 D．4個
第11題圖 第12題圖
12．（2018·淮北相山區(qū)四模）如圖，⊙O過點B，C，圓心O在等腰Rt△ABC的內(nèi)部，∠BAC＝90°，OA＝2，BC＝8，則⊙O的半徑為（C）
A. B．5
C．2 D．6
13．（2018·嘉興）如圖，量角器的0度刻度線為AB，將一矩形直尺與量角器部分重疊，使直尺一邊與量角器相切于點C，直尺另一邊交量角器于點A，D，量得AD＝10 cm，點D在量角器上的讀數(shù)為60°，則該直尺的寬度為cm.
14．已知⊙O的半徑為5，弦AB＝6，P是AB上任意一點，點C是劣弧的
10、中點．若△POC為直角三角形，則PB的長度為1或5．
15．如圖，直線AC與⊙O交于點B，C，直線AD過圓心O.若⊙O的半徑是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，求弦BC的長．
解：過點O作OM⊥BC于點M，則BC＝2MC.
∵AD＝13，OD＝5，
∴AO＝8.
∵∠DAC＝30°，
∴OM＝AO＝4.
在Rt△OCM中，
MC＝＝＝3.
∴BC＝2MC＝6.
16．（2018·淮北模擬）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA＝1 m，水面寬AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，求此時排水管水面的寬CD.
解：過點O作OE⊥
11、AB于點E，交CD于點F，連接OA，OC，
∵AB＝1.2 m，OE⊥AB，
OA＝1 m，
∴OE＝0.8 m.
∵水管水面上升了0.2 m，
∴OF＝0.8－0.2＝0.6（m）．
∴CF＝＝0.8 m.
∴CD＝1.6 m.
03 鏈接中考
17．（2017·合肥包河區(qū)二模）如圖，⊙O的半徑為5，弦BC＝8，點A在⊙O上，AO⊥BC，垂足為D，E為BC延長線上一點，AE＝10，則CE的長為2．
第3課時 圓心角、弧、弦、弦心距間的關(guān)系
01 基礎(chǔ)題
知識點1 圓心角
1．下面四個圖中的角，是圓心
12、角的是（D）
2．如圖，⊙O的半徑是1，B，C是圓周上的兩點，∠BOC＝36°，則劣弧的度數(shù)是（B）
A．18°
B．36°
C．72°
D．條件不足，無法求出
3．已知⊙O的半徑為1，弦AB的長為1，則弦AB所對的圓心角為60度．
知識點2 圓心角、弧、弦、弦心距間的關(guān)系
4．（2018·淮北模擬）如果兩個圓心角相等，那么（D）
A．這兩個圓心角所對的弦相等
B．這兩個圓心角所對的弧相等
C．這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等
D．以上說法都不對
5．如圖，在⊙O中，若點C是的中點，∠A＝50°，則∠BOC＝（A）
A．40° B．45°
13、
C．50° D．60°
第5題圖 第6題圖
6．如圖，AB是⊙O的直徑，＝＝，∠COD＝35°，則∠AOE＝75°．
7．如圖，D，E分別是⊙O的半徑OA，OB上的點，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，則與的長度的大小關(guān)系是相等．
8．如圖，AB，DE是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，且＝.BE與CE的大小有什么關(guān)系？為什么？
解：BE＝CE.理由如下：
∵AB，DE是⊙O的直徑，
∴∠AOD＝∠BOE.
∴＝.
∵＝，
∴＝.
∴BE＝CE.
9．（2018·安慶期末）如圖，M，N分別為⊙O中兩條不平行弦AB和CD的中點，
14、且AB＝CD.求證：∠AMN＝∠CNM.
證明：連接OM，ON.
∵O為圓心，M，N分別為弦AB，CD的中點，
∴OM⊥AB，ON⊥CD.
∵AB＝CD，
∴OM＝ON.
∴∠OMN＝∠ONM.
∵∠AMN＝90°－∠OMN，
∠CNM＝90°－∠ONM，
∴∠AMN＝∠CNM.
易錯點 對圓中的有關(guān)線段的關(guān)系運用不當而致錯
10．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，且AD＝BC，則AB與CD的大小關(guān)系為（B）
A．AB>CD
B．AB＝CD
C．AB
15、6°，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB，AC于點D，E，則的度數(shù)為（C）
A．26° B．64°
C．52° D．128°
第11題圖 第13題圖
12．已知⊙O中，＝2，則弦AB和2CD的大小關(guān)系是（C）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD
C．AB＜2CD D．不能確定
13．如圖所示，點A是半圓上一個三等分點，點B是的中點，點P是直徑MN上一動點．若⊙O的直徑為2，則AP＋BP的最小值是．
14．如圖，∠AOB＝90°，C，D是的三等分點，AB分別交OC，OD于點E，F(xiàn)，求證：AE＝CD.
證
16、明：連接AC.
∵∠AOB＝90°，C，D是的三等分點，
∴∠AOC＝∠COD＝30°.
∴AC＝CD.
又∵OA＝OC，∴∠ACE＝75°.
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝45°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
∴∠ACE＝∠AEC.
∴AE＝AC.
∴AE＝CD.
15．（教材P19例4變式）如圖，A，B，C為⊙O上的三等分點．
（1）求∠BOC的度數(shù)；
（2）若AB＝3，求⊙O的半徑長及S△ABC.
解：（1）∵A，B，C為⊙O上的三等分點，
∴＝＝.
∴∠BOC＝×360°＝120°.
（2）過點O作OD⊥A
17、B于點D，
∵A，B，C為⊙O上的三等分點，
∴AB＝AC＝BC＝3，
即△ABC是等邊三角形．
∴∠BAO＝∠OBA＝30°，AD＝AB＝.
∴DO＝，OA＝，即⊙O的半徑長為.
∴S△ABC＝3×DO·AB＝.
03 鏈接中考
16．（教材P19例5變式）如圖1，PC是⊙O的直徑，PA與PB是弦，且∠APC＝∠BPC.
（1）求證：PA＝PB；
（2）如果點P由圓上運動到圓外，PC過圓心，如圖2，是否仍有PA＝PB？為什么？
（3）如圖3，如果點P由圓上運動到圓內(nèi)，那么PA＝PB是否仍然成立？
解：（1）證明：過點O作OE⊥PA，OF⊥PB，垂足分別為
18、E，F(xiàn)，
∵∠APC＝∠BPC，∴OE＝OF.
∴PA＝PB.
（2）仍有PA＝PB.理由如下：
過點O作OG⊥PA，OH⊥PB，垂足分別為G，H，
∵∠APC＝∠BPC，∴OG＝OH.
又∵OP＝OP，∴Rt△OPG≌Rt△OPH（HL）．
∴PG＝PH.
∵OG⊥AM，OH⊥BN，OG＝OH，
∴AM＝BN.∴AG＝BH.
∴PG＋AG＝PH＋BH，即PA＝PB.
（3）PA＝PB仍然成立．
第4課時 圓的確定
01 基礎(chǔ)題
知識點1 確定圓的條件
1．下列命題不正確的是（C）
A．過一點有無數(shù)個圓
B．過兩點有無
19、數(shù)個圓
C．弦是圓的一部分
D．過同一直線上三點不能畫圓
2．若A，B，C是平面內(nèi)的三點，且AB＝3，BC＝6，AC＝5，則下列說法正確的是（A）
A．可以畫一個圓，使A，B，C都在圓上
B．可以畫一個圓，使A，B在圓上，C一定在圓外
C．可以畫一個圓，使A，C在圓上，B一定在圓外
D．可以畫一個圓，使B，C在圓上，A一定在圓內(nèi)
3．平面直角坐標系內(nèi)的三個點A（1，0），B（0，－3），C（2，－3）能確定一個圓．（填“能”或“不能”）
4．如圖所示，點A，B，C在同一直線上，點M在AC外，經(jīng)過圖中的三個點作圓，可以作3個．
知識點2 三角形的外接圓
5．三角形的外心
20、是三角形（B）
A．三個內(nèi)角平分線的交點
B．三邊垂直平分線的交點
C．三條高線的交點
D．三條中線的交點
6．三角形的外心具有的性質(zhì)是（B）
A．到三邊的距離相等
B．到三個頂點的距離相等
C．外心在三角形外
D．外心在三角形內(nèi)
7．小穎同學在手工制作中，把一個邊長為12 cm的等邊三角形紙片貼到一個圓形的紙片上．若三角形的三個頂點恰好都在這個圓上，則圓的半徑為（B）
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
8．已知直角三角形的兩條直角邊分別為5 cm，12 cm，則該三角形的外接圓半徑為6.5__cm．
9．如圖，一只貓觀察到一
21、個老鼠洞的三個洞口A，B，C，這三個洞口不在同一條直線上，請問這只貓應該在什么地方才能最省力地同時顧及三個洞口？作出這個位置．
解：在△ABC的外心處能最省力地同時顧及三個洞口．作法如下：
連接AB，BC，分別作線段AB，BC的垂直平分線，相交于點O，點O即為所求．
知識點3 反證法
10．如圖，直線AB，CD相交，求證：AB，CD只有一個交點．
證明：假設(shè)AB，CD相交于兩個交點O與O′，那么過O，O′兩點就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”矛盾，所以假設(shè)不成立，則AB，CD只有一個交點．
11．用反證法證明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內(nèi)角，
22、則其中至少有一個角不大于60°.
證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C都大于60°.
則有∠A＋∠B＋∠C>180°，
這與三角形的內(nèi)角和等于180°相矛盾．
因此假設(shè)不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一個角不大于60°.
02 中檔題
12．（教材P26習題T15變式）小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應該是（B）
A．第①塊 B．第②塊
C．第③塊 D．第④塊
第12題圖 第14題圖
13．在用反證法證明“三角形中不能有兩個角都是鈍角”這一
23、命題時，得出的結(jié)果與下列哪個結(jié)論互相矛盾（A）
A．三角形的內(nèi)角和定理
B．三角形的外角和定理
C．三角形內(nèi)角的定義
D．三角形外角的定義
14．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，則弦BC的長為（C）
A. B．3
C．2 D．4
15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠C＝90°，sinA＝，BC＝2，則⊙O的半徑為3．
第15題圖 第16題圖
16．（2017·泰州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，P的坐標分別為（1，0），（2，5），（4，2）．若點C在第一象限，且橫坐標、縱坐標均為整數(shù)
24、，P是△ABC的外心，則點C的坐標為（7，4）或（6，5）或（1，4）．
17．閱讀下列文字，回答問題．
題目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，則AC≠BC.
證明：假設(shè)AC＝BC，因為∠A≠45°，∠C＝90°，
所以∠A≠∠B.
所以AC≠BC.這與假設(shè)矛盾，所以AC≠BC.
上面的證明有沒有錯誤？若沒有錯誤，指出其證明的方法；若有錯誤，請予以糾正．
解：有錯誤．
改正：假設(shè)AC＝BC，則∠A＝∠B.
又因為∠C＝90°，
所以∠B＝∠A＝45°.這與∠A≠45°矛盾，
所以AC＝BC不成立．所以AC≠BC.
18．小明家的房前有一塊矩形的空地，空地上有三棵樹A，B，C（如圖），小明想建一個圓形花壇，使三棵樹都在花壇的邊上．
（1）請你幫小明把花壇的位置畫出來（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，試求小明家圓形花壇的面積．
解：（1）分別作出兩邊BC，AC的垂直平分線，交點為O.以O(shè)為圓心，OA為半徑作出⊙O，即為所求作的花壇的位置．
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，
∴BC＝10 m.
∴△ABC外接圓的半徑為5 m.
∴小明家圓形花壇的面積為25π m2.
17
（安徽專版）2018年秋九年級數(shù)學下冊 24.2 圓的基本性質(zhì)習題 （新版）滬科版
