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1、專題訓練(五) [函數(shù)與幾何圖形的綜合] 1.[2017·濟寧]已知函數(shù)y=mx2-(2m-5)x+m-2的圖象與x軸有兩個公共點. (1)求m的取值范圍,并寫出當m取范圍內最大整數(shù)時函數(shù)的解析式; (2)題(1)中求得的函數(shù)記為C1. ①當n≤x≤-1時,y的取值范圍是1≤y≤-3n,求n的值; ②函數(shù)C2:y=m(x-h)2+k的圖象由函數(shù)C1的圖象平移得到,其頂點P落在以原點為圓心,半徑為5的圓內或圓上.設函數(shù)C1的圖象頂點為M,求點P與點M距離最大時函數(shù)C2的解析式. 2.[2017·攀枝花改編]如圖ZT5-1,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,B

2、點坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,3). 圖ZT5-1 (1)求拋物線的解析式; (2)點P在x軸下方的拋物線上,過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求PE+EF的最大值. (3)點D為拋物線對稱軸上一點.當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時,求點D的坐標. 3.[2017·無錫]如圖ZT5-2,以原點O為圓心,3為半徑的圓與x軸分別交于A,B兩點(點B在點A的右邊),P是半徑OB上一點,過點P且垂直于AB的直線與☉O分別交于C,D兩點(點C在點D的上方),直線AC,DB交于點E.若AC∶CE=1∶2. 圖ZT5-2 (1)求點

3、P的坐標; (2)求過點A和點E,且頂點在直線CD上的拋物線的函數(shù)表達式. 4.[2018·柳北區(qū)三模]如圖ZT5-3,拋物線y=a(x-2)2-1過點C(4,3),交x軸于A,B兩點(點A在點B的左側). 圖ZT5-3 (1)求拋物線的解析式,并寫出頂點M的坐標; (2)連接OC,CM,求tan∠OCM的值; (3)若點P在拋物線的對稱軸上,連接BP,CP,BM,當∠CPB=∠PMB時,求點P的坐標. 5.[2018·柳北區(qū)4月模擬]如圖ZT5-4①,在平面直角坐標系xOy中,直線l:y=34x+m與x軸,y軸分別交于點A和點B(0,-1),拋物線y=

4、12x2+bx+c經(jīng)過點B,且與直線l的另一個交點為C(4,n). 圖ZT5-4 (1)求n的值和拋物線的解析式. (2)點D在拋物線上,且點D的橫坐標為t(0

5、,拋物線y=33x2-233x-3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E(4,n)在拋物線上. 圖ZT5-5 (1)求直線AE的解析式. (2)點P為直線CE下方拋物線上的一點,連接PC,PE.當△PCE的面積最大時,連接CD,CB,點K是線段CB的中點,點M是線段CP上的一點,點N是線段CD上的一點,求KM+MN+NK的最小值. (3)點G是線段CE的中點,將拋物線y=33x2-233x-3沿x軸正方向平移得到新拋物線y',y'經(jīng)過點D,y'的頂點為點F.在新拋物線y'的對稱軸上,是否存在點Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接

6、寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由. 參考答案 1.解:(1)由題意可得: m≠0,[-(2m-5)]2-4m(m-2)>0. 解得:m<2512,且m≠0. 當m=2時,函數(shù)解析式為y=2x2+x. (2)①函數(shù)y=2x2+x圖象開口向上,對稱軸為直線x=-14, ∴當x<-14時,y隨x的增大而減小. ∵當n≤x≤-1時,y的取值范圍是1≤y≤-3n, ∴2n2+n=-3n. ∴n=-2或n=0(舍去). ∴n=-2. ②∵y=2x2+x=2x+142-18, ∴函數(shù)C1的圖象頂點M的坐標為-14,-18. 由圖形可知當P為射線MO與圓的交點時

7、,距離最大. ∵點P在直線OM上,由O(0,0),M-14,-18可求得直線的解析式為y=12x. 設P(a,b),則有a=2b. 根據(jù)勾股定理可得PO2=(2b)2+b2=(5)2,解得b=1(負值已舍). ∴a=2. ∴PM最大時函數(shù)C2的解析式為y=2(x-2)2+1. 2.解:(1)由題意得32+3b+c=0,c=3,解得b=-4,c=3. ∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3. (2)方法1(代數(shù)法):如圖①,過點P作PG∥CF交CB于點G, 由題意知∠BCO=∠CFE=45°,F(0,m),C(0,3), ∴△CFE和△GPE均為等腰直角三角形, ∴EF=

8、22CF=22(3-m),PE=22PG. 又易知直線BC的解析式為y=-x+3. 設xP=t(1

9、. 以BC為對稱軸將△FCE對稱得到△F'CE,作PH⊥CF'于點H 則PE+EF=PF'=2PH. 又PH=yC-yP=3-yP. ∴當yP最小時,PE+EF取最大值. ∵拋物線的頂點坐標為(2,-1), ∴當yP=-1時,(PE+EF)max=2×(3+1)=42. (3)由(1)知對稱軸為直線x=2,設D(2,n),如圖③. 當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形,且D在BC上方D1位置時, 由勾股定理得CD12+BC2=BD12, 即(2-0)2+(n-3)2+(32)2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5; 當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形,且D在

10、BC下方D2位置時, 由勾股定理得BD22+BC2=CD22, 即(2-3)2+(n-0)2+(32)2=(2-0)2+(n-3)2,解得n=-1. ∴當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時,D點坐標為(2,5)或(2,-1). 3.解:(1)過點E作EF⊥x軸于點F, ∵CD⊥AB, ∴CD∥EF,PC=PD. ∴△ACP∽△AEF, △BPD∽△BFE. ∵AC∶CE=1∶2, ∴AC∶AE=1∶3. ∴APAF=CPEF=13,DPEF=PBBF=13.∴AF=3AP,BF=3PB.∵AF-BF=AB. ∴3AP-3PB=AB. 又∵☉O的半徑為3,設P(

11、m,0), ∴3(3+m)-3(3-m)=6,∴m=1.∴P(1,0). (2)∵P(1,0),∴OP=1,∵A(-3,0). ∴OA=3,∴AP=4,BP=2.∴AF=12. 連接BC.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°. ∵CD⊥AB,∴△ACP∽△CBP, ∴APCP=CPBP. ∴CP2=AP·BP=4×2=8. ∴CP=22(負值已舍).∴EF=3CP=62. ∴E(9,62). ∵拋物線的頂點在直線CD上, ∴CD是拋物線的對稱軸, ∴拋物線過點(5,0). 設拋物線的函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c. 根據(jù)題意得0=9a-3b+c,0=25a+5b+

12、c,62=81a+9b+c, 解得a=28,b=-24,c=-1528, ∴拋物線的函數(shù)表達式為y=28x2-24x-1528. 4.解:(1)由拋物線y=a(x-2)2-1過點C(4,3), 得3=a(4-2)2-1,解得a=1, ∴拋物線的解析式為y=(x-2)2-1,頂點M的坐標為(2,-1). (2)如圖,連接OM, ∵OC2=32+42=25,OM2=22+12=5,CM2=22+42=20, ∴CM2+OM2=OC2, ∴∠OMC=90°. OM=5,CM=25,tan∠OCM=OMCM=525=12. (3)如圖,過C作CN垂直于對稱軸,垂足N在對稱軸上

13、,取一點E,使EN=CN=2,連接CE,EM=6. 當y=0時,(x-2)2-1=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0). ∵CN=EN,∴∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°, ∵∠EPB=∠EPC+∠CPB=∠PMB+∠PBM, ∴∠EPC=∠PBM,∴△CEP∽△PMB, ∴EPMB=CEPM,易知MB=2,CE=22, ∴6-PM2=22PM,解得PM=3±5, ∴P點坐標為(2,2+5)或(2,2-5). 5.解:(1)∵直線l:y=34x+m經(jīng)過點B(0,-1), ∴m=-1, ∴直線l的解析式為y=34x-1. ∵直線l:y=34x-1

14、經(jīng)過點C(4,n), ∴n=34×4-1=2. ∵拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點C(4,2)和點B(0,-1), ∴12×42+4b+c=2,c=-1, 解得b=-54,c=-1, ∴拋物線的解析式為y=12x2-54x-1. (2)令y=0,則34x-1=0, 解得x=43, ∴點A的坐標為43,0, ∴OA=43. 在Rt△OAB中,OB=1, ∴AB=OA2+OB2=(43)?2+12=53. ∵DE∥y軸, ∴∠ABO=∠DEF, 在矩形DFEG中,EF=DE·cos∠DEF=DE·OBAB=35DE, DF=DE·sin∠DEF=DE·OAAB=45

15、DE, ∴p=2(DF+EF)=2×45+35DE=145DE, ∵點D的橫坐標為t(0

16、2-54(x+1)-1, 解得x=34. 如圖②,點A1,B1在拋物線上時,點B1的橫坐標為x+1,點A1的縱坐標比點B1的縱坐標大43, ∴12x2-54x-1=12(x+1)2-54(x+1)-1+43, 解得x=-712. 綜上所述,點A1的橫坐標為34或-712. 6.解:(1)令y=0,得33x2-233x-3=0, 解得x1=-1,x2=3, ∴點A(-1,0),B(3,0). ∵點E(4,n)在拋物線上, ∴n=33×42-233×4-3=533, 即點E4,533, 設直線AE的解析式為y=kx+b, 則-k+b=0,4k+b=533,解得k=33

17、,b=33, ∴直線AE的解析式為y=33x+33. (2)令y=33x2-233x-3中x=0,得y=-3, ∴C(0,-3).由(1)得點E4,533, ∴直線CE的解析式為y=233x-3. 過點P作PH∥y軸,交CE于點H,如圖①, 設點Pt,33t2-233t-3,則Ht,233t-3, ∴PH=233t-3-33t2-233t-3=-33t2+433t, ∴S△PCE=S△PHC+S△PHE=12·PH·xE-xC =12×-33t2+433t×4 =-233t2+833t =-233(t2-4t) =-233(t-2)2+833. ∵-233<0, ∴

18、當t=2時,S△PCE最大,此時點P(2,-3). ∵C(0,-3), ∴PC∥x軸. ∵B(3,0),K為BC的中點, ∴K32,-32. 如圖②,作點K關于CP,CD的對稱點K1,K2,連接K1K2,分別交CP,CD于點M,N. 此時KM+MN+NK最小,易知K132,-332. ∵OC=3,OB=3,OD=1, ∴∠OCB=60°,∠OCD=30°, ∴CD平分∠OCB, ∴點K2在y軸上. ∵CK=OC=3, ∴點K2與原點O重合, ∴KM+MN+NK=K1M+MN+NO=OK1=322+-3322=3, ∴KM+MN+NK的最小值為3. (3)存在.如圖③,點Q的坐標分別為Q1(3,23),Q23,-43+2213,Q33,-235, Q43,-43-2213. 16