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2018 中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點(diǎn) 32 尺規(guī)作圖 一 選擇題 共 13 小題 1 2018 襄陽(yáng) 如圖 在 ABC 中 分別以點(diǎn) A 和點(diǎn) C 為圓心 大于 AC 長(zhǎng) 為半徑畫(huà)弧 兩弧相交于點(diǎn) M N 作直線 MN 分別交 BC AC 于點(diǎn) D E 若 AE 3cm ABD 的周長(zhǎng)為 13cm 則 ABC 的周長(zhǎng)為 A 16cm B 19cm C 22cm D 25cm 分析 利用線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題 解答 解 DE 垂直平分線段 AC DA DC AE EC 6cm AB AD BD 13cm AB BD DC 13cm ABC 的周長(zhǎng) AB BD BC AC 13 6 19cm 故選 B 2 2018 河北 尺規(guī)作圖要求 過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線 作線段的垂直平分線 過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線 作角的平分線 如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖 則正確的配對(duì)是 A B C D 分析 分別利用過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線作法以及線段垂直平分線的 作法和過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線 角平分線的作法分別得出符合題意的 答案 解答 解 過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線 作線段的垂直平分線 過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線 作角的平分線 如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖 則正確的配對(duì)是 故選 D 3 2018 河南 如圖 已知 AOBC 的頂點(diǎn) O 0 0 A 1 2 點(diǎn) B 在 x 軸正半軸上按以下步驟作圖 以點(diǎn) O 為圓心 適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧 分別 交邊 OA OB 于點(diǎn) D E 分別以點(diǎn) D E 為圓心 大于 DE 的長(zhǎng)為半徑作弧 兩弧在 AOB 內(nèi)交于點(diǎn) F 作射線 OF 交邊 AC 于點(diǎn) G 則點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 A 1 2 B 2 C 3 2 D 2 2 分析 依據(jù)勾股定理即可得到 Rt AOH 中 AO 依據(jù) AGO AOG 即 可得到 AG AO 進(jìn)而得出 HG 1 可得 G 1 2 解答 解 AOBC 的頂點(diǎn) O 0 0 A 1 2 AH 1 HO 2 Rt AOH 中 AO 由題可得 OF 平分 AOB AOG EOG 又 AG OE AGO EOG AGO AOG AG AO HG 1 G 1 2 故選 A 4 2018 宜昌 尺規(guī)作圖 經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線 下列作 圖中正確的是 A B C D 分析 根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)向直線作垂線即可 解答 已知 直線 AB 和 AB 外一點(diǎn) C 求作 AB 的垂線 使它經(jīng)過(guò)點(diǎn) C 作法 1 任意取一點(diǎn) K 使 K 和 C 在 AB 的兩旁 2 以 C 為圓心 CK 的長(zhǎng)為半徑作弧 交 AB 于點(diǎn) D 和 E 3 分別以 D 和 E 為圓心 大于 DE 的長(zhǎng)為半徑作弧 兩弧交于點(diǎn) F 4 作直線 CF 直線 CF 就是所求的垂線 故選 B 5 2018 濰坊 如圖 木工師傅在板材邊角處作直角時(shí) 往往使用 三弧法 其作法是 1 作線段 AB 分別以 A B 為圓心 以 AB 長(zhǎng)為半徑作弧 兩弧的交點(diǎn)為 C 2 以 C 為圓心 仍以 AB 長(zhǎng)為半徑作弧交 AC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D 3 連接 BD BC 下列說(shuō)法不正確的是 A CBD 30 B S BDC AB2 C 點(diǎn) C 是 ABD 的外心 D sin 2A cos2D 1 分析 根據(jù)等邊三角形的判定方法 直角三角形的判定方法以及等邊三角形 的性質(zhì) 直角三角形的性質(zhì)一一判斷即可 解答 解 由作圖可知 AC AB BC ABC 是等邊三角形 由作圖可知 CB CA CD 點(diǎn) C 是 ABD 的外心 ABD 90 BD AB S ABD AB2 AC CD S BDC AB2 故 A B C 正確 故選 D 6 2018 郴州 如圖 AOB 60 以點(diǎn) O 為圓心 以任意長(zhǎng)為半徑作弧交 OA OB 于 C D 兩點(diǎn) 分別以 C D 為圓心 以大于 CD 的長(zhǎng)為半徑作弧 兩 弧相交于點(diǎn) P 以 O 為端點(diǎn)作射線 OP 在射線 OP 上截取線段 OM 6 則 M 點(diǎn) 到 OB 的距離為 A 6 B 2 C 3 D 分析 直接利用角平分線的作法得出 OP 是 AOB 的角平分線 再利用直角 三角形的性質(zhì)得出答案 解答 解 過(guò)點(diǎn) M 作 ME OB 于點(diǎn) E 由題意可得 OP 是 AOB 的角平分線 則 POB 60 30 ME OM 3 故選 C 7 2018 臺(tái)州 如圖 在 ABCD 中 AB 2 BC 3 以點(diǎn) C 為圓心 適當(dāng)長(zhǎng)為 半徑畫(huà)弧 交 BC 于點(diǎn) P 交 CD 于點(diǎn) Q 再分別以點(diǎn) P Q 為圓心 大于 PQ 的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 兩弧相交于點(diǎn) N 射線 CN 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E 則 AE 的長(zhǎng) 是 A B 1 C D 分析 只要證明 BE BC 即可解決問(wèn)題 解答 解 由題意可知 CF 是 BCD 的平分線 BCE DCE 四邊形 ABCD 是平行四邊形 AB CD DCE E BCE AEC BE BC 3 AB 2 AE BE AB 1 故選 B 8 2018 嘉興 用尺規(guī)在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形 ABCD 下列作法中錯(cuò)誤的 是 A B C D 分析 根據(jù)菱形的判定和作圖根據(jù)解答即可 解答 解 A 由作圖可知 AC BD 且平分 BD 即對(duì)角線平分且垂直的四 邊形是菱形 正確 B 由作圖可知 AB BC AD AB 即四邊相等的四邊形是菱形 正確 C 由作圖可知 AB DC AD BC 只能得出 ABCD 是平行四邊形 錯(cuò)誤 D 由作圖可知對(duì)角線 AC 平分對(duì)角 可以得出是菱形 正確 故選 C 9 2018 昆明 如圖 點(diǎn) A 在雙曲線 y x 0 上 過(guò)點(diǎn) A 作 AB x 軸 垂足為點(diǎn) B 分別以點(diǎn) O 和點(diǎn) A 為圓心 大于 OA 的長(zhǎng)為半徑作弧 兩弧相交 于 D E 兩點(diǎn) 作直線 DE 交 x 軸于點(diǎn) C 交 y 軸于點(diǎn) F 0 2 連接 AC 若 AC 1 則 k 的值為 A 2 B C D 分析 如圖 設(shè) OA 交 CF 于 K 利用面積法求出 OA 的長(zhǎng) 再利用相似三角 形的性質(zhì)求出 AB OB 即可解決問(wèn)題 解答 解 如圖 設(shè) OA 交 CF 于 K 由作圖可知 CF 垂直平分線段 OA OC CA 1 OK AK 在 Rt OFC 中 CF AK OK OA 由 FOC OBA 可得 OB AB A k 故選 B 10 2018 湖州 尺規(guī)作圖特有的魅力曾使無(wú)數(shù)人沉湎其中 傳說(shuō)拿破侖通過(guò) 下列尺規(guī)作圖考他的大臣 將半徑為 r 的 O 六等分 依次得到 A B C D E F 六個(gè)分點(diǎn) 分別以點(diǎn) A D 為圓心 AC 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 G 是兩弧的一個(gè)交點(diǎn) 連結(jié) OG 問(wèn) OG 的長(zhǎng)是多少 大臣給出的正確答案應(yīng)是 A rB 1 r C 1 r D r 分析 如圖連接 CD AC DG AG 在直角三角形即可解決問(wèn)題 解答 解 如圖連接 CD AC DG AG AD 是 O 直徑 ACD 90 在 Rt ACD 中 AD 2r DAC 30 AC r DG AG CA OD OA OG AD GOA 90 OG r 故選 D 11 2018 臺(tái)灣 如圖 銳角三角形 ABC 中 BC AB AC 甲 乙兩人想找 一點(diǎn) P 使得 BPC 與 A 互補(bǔ) 其作法分別如下 甲 以 A 為圓心 AC 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交 AB 于 P 點(diǎn) 則 P 即為所求 乙 作過(guò) B 點(diǎn)且與 AB 垂直的直線 l 作過(guò) C 點(diǎn)且與 AC 垂直的直線 交 l 于 P 點(diǎn) 則 P 即為所求 對(duì)于甲 乙兩人的作法 下列敘述何者正確 A 兩人皆正確 B 兩人皆錯(cuò)誤 C 甲正確 乙錯(cuò)誤 D 甲錯(cuò)誤 乙正確 分析 甲 根據(jù)作圖可得 AC AP 利用等邊對(duì)等角得 APC ACP 由平 角的定義可知 BPC APC 180 根據(jù)等量代換可作判斷 乙 根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得 BPC A 180 解答 解 甲 如圖 1 AC AP APC ACP BPC APC 180 BPC ACP 180 甲錯(cuò)誤 乙 如圖 2 AB PB AC PC ABP ACP 90 BPC A 180 乙正確 故選 D 12 2018 安順 已知 ABC AC BC 用尺規(guī)作圖的方法在 BC 上確定一 點(diǎn) P 使 PA PC BC 則符合要求的作圖痕跡是 A B C D 分析 利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)分別分得出即可 解答 解 A 如圖所示 此時(shí) BA BP 則無(wú)法得出 AP BP 故不能得出 PA PC BC 故此選項(xiàng)錯(cuò)誤 B 如圖所示 此時(shí) PA PC 則無(wú)法得出 AP BP 故不能得出 PA PC BC 故此 選項(xiàng)錯(cuò)誤 C 如圖所示 此時(shí) CA CP 則無(wú)法得出 AP BP 故不能得出 PA PC BC 故此 選項(xiàng)錯(cuò)誤 D 如圖所示 此時(shí) BP AP 故能得出 PA PC BC 故此選項(xiàng)正確 故選 D 13 2017 南寧 如圖 ABC 中 AB AC CAD 為 ABC 的外角 觀察圖 中尺規(guī)作圖的痕跡 則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A DAE B B EAC C C AE BC D DAE EAC 分析 根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡 可得 DAE B 進(jìn)而判定 AE BC 再根 據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論 解答 解 根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡 可得 DAE B 故 A 選項(xiàng)正確 AE BC 故 C 選項(xiàng)正確 EAC C 故 B 選項(xiàng)正確 AB AC C B CAE DAE 故 D 選項(xiàng)錯(cuò)誤 故選 D 二 填空題 共 7 小題 14 2018 南京 如圖 在 ABC 中 用直尺和圓規(guī)作 AB AC 的垂直平分線 分別交 AB AC 于點(diǎn) D E 連接 DE 若 BC 10cm 則 DE 5 cm 分析 直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出 DE 是 ABC 的中位線 進(jìn)而得出 答案 解答 解 用直尺和圓規(guī)作 AB AC 的垂直平分線 D 為 AB 的中點(diǎn) E 為 AC 的中點(diǎn) DE 是 ABC 的中位線 DE BC 5cm 故答案為 5 15 2018 淮安 如圖 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 BC 5 分別以點(diǎn) A B 為圓心 大于 AB 的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 兩弧交點(diǎn)分別為點(diǎn) P Q 過(guò) P Q 兩點(diǎn)作直線交 BC 于點(diǎn) D 則 CD 的長(zhǎng)是 分析 連接 AD 由 PQ 垂直平分線段 AB 推出 DA DB 設(shè) DA DB x 在 Rt ACD 中 C 90 根據(jù) AD2 AC2 CD2 構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題 解答 解 連接 AD PQ 垂直平分線段 AB DA DB 設(shè) DA DB x 在 Rt ACD 中 C 90 AD2 AC2 CD2 x 2 32 5 x 2 解得 x CD BC DB 5 故答案為 16 2018 山西 如圖 直線 MN PQ 直線 AB 分別與 MN PQ 相交于點(diǎn) A B 小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖 以點(diǎn) A 為圓心 以任意長(zhǎng)為半徑 作弧交 AN 于點(diǎn) C 交 AB 于點(diǎn) D 分別以 C D 為圓心 以大于 CD 長(zhǎng)為半 徑作弧 兩弧在 NAB 內(nèi)交于點(diǎn) E 作射線 AE 交 PQ 于點(diǎn) F 若 AB 2 ABP 60 則線段 AF 的長(zhǎng)為 2 分析 作高線 BG 根據(jù)直角三角形 30 度角的性質(zhì)得 BG 1 AG 可得 AF 的長(zhǎng) 解答 解 MN PQ NAB ABP 60 由題意得 AF 平分 NAB 1 2 30 ABP 1 3 3 30 1 3 30 AB BF AG GF AB 2 BG AB 1 AG AF 2AG 2 故答案為 2 17 2018 東營(yíng) 如圖 在 Rt ABC 中 B 90 以頂點(diǎn) C 為圓心 適當(dāng)長(zhǎng) 為半徑畫(huà)弧 分別交 AC BC 于點(diǎn) E F 再分別以點(diǎn) E F 為圓心 大于 EF 的 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 兩弧交于點(diǎn) P 作射線 CP 交 AB 于點(diǎn) D 若 BD 3 AC 10 則 ACD 的面積是 15 分析 作 DQ AC 由角平分線的性質(zhì)知 DB DQ 3 再根據(jù)三角形的面積公 式計(jì)算可得 解答 解 如圖 過(guò)點(diǎn) D 作 DQ AC 于點(diǎn) Q 由作圖知 CP 是 ACB 的平分線 B 90 BD 3 DB DQ 3 AC 10 S ACD AC DQ 10 3 15 故答案為 15 18 2018 通遼 如圖 在 ABC 中 按以下步驟作圖 分別以點(diǎn) A 和點(diǎn) C 為圓心 以大于 AC 的長(zhǎng)為半徑作弧 兩弧相交于 M N 兩點(diǎn) 作直線 MN 交 BC 于點(diǎn) D 連接 AD 若 AB BD AB 6 C 30 則 ACD 的面積為 9 分析 只要證明 ABD 是等邊三角形 推出 BD AD DC 可得 S ADC S ABD 即 可解決問(wèn)題 解答 解 由作圖可知 MN 垂直平分線段 AC DA DC C DAC 30 ADB C DAC 60 AB AD ABD 是等邊三角形 BD AD DC S ADC S ABD 62 9 故答案為 9 19 2018 成都 如圖 在矩形 ABCD 中 按以下步驟作圖 分別以點(diǎn) A 和 C 為圓心 以大于 AC 的長(zhǎng)為半徑作弧 兩弧相交于點(diǎn) M 和 N 作直線 MN 交 CD 于點(diǎn) E 若 DE 2 CE 3 則矩形的對(duì)角線 AC 的長(zhǎng)為 分析 連接 AE 如圖 利用基本作圖得到 MN 垂直平分 AC 則 EA EC 3 然 后利用勾股定理先計(jì)算出 AD 再計(jì)算出 AC 解答 解 連接 AE 如圖 由作法得 MN 垂直平分 AC EA EC 3 在 Rt ADE 中 AD 在 Rt ADC 中 AC 故答案為 20 2018 湖州 在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1 的網(wǎng)格圖形中 每個(gè)小正方形的 頂點(diǎn)稱為格點(diǎn) 以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形 ABCD 的邊為斜邊 向內(nèi)作四個(gè)全等 的直角三角形 使四個(gè)直角頂點(diǎn) E F G H 都是格點(diǎn) 且四邊形 EFGH 為正方 形 我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖 例如 在如圖 1 所示的格點(diǎn)弦圖中 正 方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 此時(shí)正方形 EFGH 的而積為 5 問(wèn) 當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的 正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 時(shí) 正方形 EFGH 的面積的所有可能值是 13 或 49 或 9 不包括 5 分析 當(dāng) DG CG 2 時(shí) 滿足 DG2 CG2 CD2 此時(shí) HG 可得正 方形 EFGH 的面積為 13 當(dāng) DG 8 CG 1 時(shí) 滿足 DG2 CG2 CD2 此時(shí) HG 7 可得正方形 EFGH 的面積為 49 當(dāng) DG 7 CG 4 時(shí) 滿足 DG2 CG2 CD2 此時(shí) HG 3 可得正方形 EFGH 的面積為 9 解答 解 當(dāng) DG CG 2 時(shí) 滿足 DG2 CG2 CD2 此時(shí) HG 可 得正方形 EFGH 的面積為 13 當(dāng) DG 8 CG 1 時(shí) 滿足 DG2 CG2 CD2 此時(shí) HG 7 可得正方形 EFGH 的面積 為 49 當(dāng) DG 7 CG 4 時(shí) 滿足 DG2 CG2 CD2 此時(shí) HG 3 可得正方形 EFGH 的面積 為 9 故答案為 13 或 49 或 9 三 解答題 共 21 小題 21 2018 廣州 如圖 在四邊形 ABCD 中 B C 90 AB CD AD AB CD 1 利用尺規(guī)作 ADC 的平分線 DE 交 BC 于點(diǎn) E 連接 AE 保留作圖痕跡 不寫(xiě)作法 2 在 1 的條件下 證明 AE DE 若 CD 2 AB 4 點(diǎn) M N 分別是 AE AB 上的動(dòng)點(diǎn) 求 BM MN 的最小值 分析 1 利用尺規(guī)作出 ADC 的角平分線即可 2 延長(zhǎng) DE 交 AB 的延長(zhǎng)線于 F 只要證明 AD AF DE EF 利用等腰三角 形三線合一的性質(zhì)即可解決問(wèn)題 作點(diǎn) B 關(guān)于 AE 的對(duì)稱點(diǎn) K 連接 EK 作 KH AB 于 H DG AB 于 G 連接 MK 由 MB MK 推出 MB MN KM MN 根據(jù)垂線段最短可知 當(dāng) K M N 共線 且與 KH 重合時(shí) KM MN 的值最小 最小值為 KH 的長(zhǎng) 解答 解 1 如圖 ADC 的平分線 DE 如圖所示 2 延長(zhǎng) DE 交 AB 的延長(zhǎng)線于 F CD AF CDE F CDE ADE ADF F AD AF AD AB CD AB BF CD BF DEC BEF DEC FEB DE EF AD AF AE DE 作點(diǎn) B 關(guān)于 AE 的對(duì)稱點(diǎn) K 連接 EK 作 KH AB 于 H DG AB 于 G 連接 MK AD AF DE EF AE 平分 DAF 則 AEK AEB AK AB 4 在 Rt ADG 中 DG 4 KH DG KH MB MK MB MN KM MN 當(dāng) K M N 共線 且與 KH 重合時(shí) KM MN 的值最小 最小值為 KH 的長(zhǎng) BM MN 的最小值為 22 2018 廣東 如圖 BD 是菱形 ABCD 的對(duì)角線 CBD 75 1 請(qǐng)用尺規(guī)作圖法 作 AB 的垂直平分線 EF 垂足為 E 交 AD 于 F 不要 求寫(xiě)作法 保留作圖痕跡 2 在 1 條件下 連接 BF 求 DBF 的度數(shù) 分析 1 分別以 A B 為圓心 大于 AB 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 過(guò)兩弧的交點(diǎn)作 直線即可 2 根據(jù) DBF ABD ABF 計(jì)算即可 解答 解 1 如圖所示 直線 EF 即為所求 2 四邊形 ABCD 是菱形 ABD DBC ABC 75 DC AB A C ABC 150 ABC C 180 C A 30 EF 垂直平分線線段 AB AF FB A FBA 30 DBF ABD FBE 45 23 2018 安徽 如圖 O 為銳角 ABC 的外接圓 半徑為 5 1 用尺規(guī)作圖作出 BAC 的平分線 并標(biāo)出它與劣弧 的交點(diǎn) E 保留作圖 痕跡 不寫(xiě)作法 2 若 1 中的點(diǎn) E 到弦 BC 的距離為 3 求弦 CE 的長(zhǎng) 分析 1 利用基本作圖作 AE 平分 BAC 2 連接 OE 交 BC 于 F 連接 OC 如圖 根據(jù)圓周角定理得到 再根 據(jù)垂徑定理得到 OE BC 則 EF 3 OF 2 然后在 Rt OCF 中利用勾股定理計(jì) 算出 CF 在 Rt CEF 中利用勾股定理可計(jì)算出 CE 解答 解 1 如圖 AE 為所作 2 連接 OE 交 BC 于 F 連接 OC 如圖 AE 平分 BAC BAE CAE OE BC EF 3 OF 5 3 2 在 Rt OCF 中 CF 在 Rt CEF 中 CE 24 2018 自貢 如圖 在 ABC 中 ACB 90 1 作出經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 圓心 O 在斜邊 AB 上且與邊 AC 相切于點(diǎn) E 的 O 要求 用尺規(guī)作圖 保留作圖痕跡 不寫(xiě)作法和證明 2 設(shè) 1 中所作的 O 與邊 AB 交于異于點(diǎn) B 的另外一點(diǎn) D 若 O 的直徑 為 5 BC 4 求 DE 的長(zhǎng) 如果用尺規(guī)作圖畫(huà)不出圖形 可畫(huà)出草圖完成 2 問(wèn) 分析 1 作 ABC 的角平分線交 AC 于 E 作 EO AC 交 AB 于點(diǎn) O 以 O 為圓心 OB 為半徑畫(huà)圓即可解決問(wèn)題 2 作 OH BC 于 H 首先求出 OH EC BE 利用 BCE BED 可得 解決問(wèn)題 解答 解 1 O 如圖所示 2 作 OH BC 于 H AC 是 O 的切線 OE AC C CEO OHC 90 四邊形 ECHO 是矩形 OE CH BH BC CH 在 Rt OBH 中 OH 2 EC OH 2 BE 2 EBC EBD BED C 90 BCE BED DE 25 2018 北京 下面是小東設(shè)計(jì)的 過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線 的尺 規(guī)作圖過(guò)程 已知 直線 l 及直線 l 外一點(diǎn) P 求作 直線 PQ 使得 PQ l 作法 如圖 在直線 l 上取一點(diǎn) A 作射線 PA 以點(diǎn) A 為圓心 AP 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 交 PA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) B 在直線 l 上取一點(diǎn) C 不與點(diǎn) A 重合 作射線 BC 以點(diǎn) C 為圓心 CB 長(zhǎng)為 半徑畫(huà)弧 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q 作直線 PQ 所以直線 PQ 就是所求作的直線 根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程 1 使用直尺和圓規(guī) 補(bǔ)全圖形 保留作圖痕跡 2 完成下面的證明 證明 AB AP CB CQ PQ l 三角形中位線定理 填推理的依據(jù) 分析 1 根據(jù)題目要求作出圖形即可 2 利用三角形中位線定理證明即可 解答 1 解 直線 PQ 如圖所示 2 證明 AB AP CB CQ PQ l 三角形中位線定理 故答案為 AP CQ 三角形中位線定理 26 2018 白銀 如圖 在 ABC 中 ABC 90 1 作 ACB 的平分線交 AB 邊于點(diǎn) O 再以點(diǎn) O 為圓心 OB 的長(zhǎng)為半徑作 O 要求 不寫(xiě)做法 保留作圖痕跡 2 判斷 1 中 AC 與 O 的位置關(guān)系 直接寫(xiě)出結(jié)果 分析 1 首先利用角平分線的作法得出 CO 進(jìn)而以點(diǎn) O 為圓心 OB 為半 徑作 O 即可 2 利用角平分線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)而求出即可 解答 解 1 如圖所示 2 相切 過(guò) O 點(diǎn)作 OD AC 于 D 點(diǎn) CO 平分 ACB OB OD 即 d r O 與直線 AC 相切 27 2018 無(wú)錫 如圖 平面直角坐標(biāo)系中 已知點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 6 4 1 請(qǐng)用直尺 不帶刻度 和圓規(guī)作一條直線 AC 它與 x 軸和 y 軸的正半軸 分別交于點(diǎn) A 和點(diǎn) C 且使 ABC 90 ABC 與 AOC 的面積相等 作圖不 必寫(xiě)作法 但要保留作圖痕跡 2 問(wèn) 1 中這樣的直線 AC 是否唯一 若唯一 請(qǐng)說(shuō)明理由 若不唯一 請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出所有這樣的直線 AC 并寫(xiě)出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式 分析 1 作線段 OB 的垂直平分線 AC 滿足條件 作矩形 OA BC 直 線 A C 滿足條件 2 分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題 解答 1 解 如圖 ABC 即為所求 2 解 這樣的直線不唯一 作線段 OB 的垂直平分線 AC 滿足條件 此時(shí)直線的解析式為 y x 作矩形 OA BC 直線 A C 滿足條件 此時(shí)直線 A C 的解析式為 y x 4 28 2018 孝感 如圖 ABC 中 AB AC 小聰同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了 如下操作 作 BAC 的平分線 AM 交 BC 于點(diǎn) D 作邊 AB 的垂直平分線 EF EF 與 AM 相交于點(diǎn) P 連接 PB PC 請(qǐng)你觀察圖形解答下列問(wèn)題 1 線段 PA PB PC 之間的數(shù)量關(guān)系是 PA PB PC 2 若 ABC 70 求 BPC 的度數(shù) 分析 1 根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得 PA PB PC 2 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得 ABC ACB 70 由三角形的內(nèi)角和得 BAC 180 2 70 40 由角平分線定義得 BAD CAD 20 最后利用三 角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論 解答 解 1 如圖 PA PB PC 理由是 AB AC AM 平分 BAC AD 是 BC 的垂直平分線 PB PC EP 是 AB 的垂直平分線 PA PB PA PB PC 故答案為 PA PB PC 2 AB AC ABC ACB 70 BAC 180 2 70 40 AM 平分 BAC BAD CAD 20 PA PB PC ABP BAP ACP 20 BPC ABP BAC ACP 20 40 20 80 29 2018 深圳 已知菱形的一個(gè)角與三角形的一個(gè)角重合 然后它的對(duì)角頂 點(diǎn)在這個(gè)重合角的對(duì)邊上 這個(gè)菱形稱為這個(gè)三角形的親密菱形 如圖 在 CFE 中 CF 6 CE 12 FCE 45 以點(diǎn) C 為圓心 以任意長(zhǎng)為半徑作 AD 再 分別以點(diǎn) A 和點(diǎn) D 為圓心 大于 AD 長(zhǎng)為半徑作弧 交 EF 于點(diǎn) B AB CD 1 求證 四邊形 ACDB 為 FEC 的親密菱形 2 求四邊形 ACDB 的面積 分析 1 根據(jù)折疊和已知得出 AC CD AB DB ACB DCB 求出 AC AB 根據(jù)菱形的判定得出即可 2 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式 求出菱形的邊長(zhǎng)和高 根據(jù)菱形的面 積公式求出即可 解答 1 證明 由已知得 AC CD AB DB 由已知尺規(guī)作圖痕跡得 BC 是 FCE 的角平分線 ACB DCB 又 AB CD ABC DCB ACB ABC AC AB 又 AC CD AB DB AC CD DB BA 四邊形 ACDB 是菱形 ACD 與 FCE 中的 FCE 重合 它的對(duì)角 ABD 頂點(diǎn)在 EF 上 四邊形 ACDB 為 FEC 的親密菱形 2 解 設(shè)菱形 ACDB 的邊長(zhǎng)為 x 四邊形 ABCD 是菱形 AB CE FAB FCE FBA E EAB FCE 則 即 解得 x 4 過(guò) A 點(diǎn)作 AH CD 于 H 點(diǎn) 在 Rt ACH 中 ACH 45 四邊形 ACDB 的面積為 30 2018 貴港 尺規(guī)作圖 只保留作圖痕跡 不要求寫(xiě)出作法 如圖 已 知 和線段 a 求作 ABC 使 A C 90 AB a 分析 根據(jù)作一個(gè)角等于已知角 線段截取以及垂線的尺規(guī)作法即可求出答 案 解答 解 如圖所示 ABC 為所求作 31 2018 江西 如圖 在四邊形 ABCD 中 AB CD AB 2CD E 為 AB 的中 點(diǎn) 請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺分別按下列要求畫(huà)圖 保留畫(huà)圖痕跡 1 在圖 1 中 畫(huà)出 ABD 的 BD 邊上的中線 2 在圖 2 中 若 BA BD 畫(huà)出 ABD 的 AD 邊上的高 分析 1 連接 EC 利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可 2 連接 EC ED FA 利用三角形重心的性質(zhì)解答即可 解答 解 1 如圖 1 所示 AF 即為所求 2 如圖 2 所示 BH 即為所求 32 2018 青島 已知 如圖 ABC 射線 BC 上一點(diǎn) D 求作 等腰 PBD 使線段 BD 為等腰 PBD 的底邊 點(diǎn) P 在 ABC 內(nèi)部 且點(diǎn) P 到 ABC 兩邊的距離相等 分析 根據(jù)角平分線的性質(zhì) 線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題 解答 解 點(diǎn) P 在 ABC 的平分線上 點(diǎn) P 到 ABC 兩邊的距離相等 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等 點(diǎn) P 在線段 BD 的垂直平分線上 PB PD 線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 如圖所示 33 2018 寧波 在 5 3 的方格紙中 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上 1 在圖 1 中畫(huà)出線段 BD 使 BD AC 其中 D 是格點(diǎn) 2 在圖 2 中畫(huà)出線段 BE 使 BE AC 其中 E 是格點(diǎn) 分析 1 將線段 AC 沿著 AB 方向平移 2 個(gè)單位 即可得到線段 BD 2 利用 2 3 的長(zhǎng)方形的對(duì)角線 即可得到線段 BE AC 解答 解 1 如圖所示 線段 BD 即為所求 2 如圖所示 線段 BE 即為所求 34 2018 河南 如圖 反比例函數(shù) y x 0 的圖象過(guò)格點(diǎn) 網(wǎng)格線的交 點(diǎn) P 1 求反比例函數(shù)的解析式 2 在圖中用直尺和 2B 鉛筆畫(huà)出兩個(gè)矩形 不寫(xiě)畫(huà)法 要求每個(gè)矩形均需 滿足下列兩個(gè)條件 四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上 且其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn) O 點(diǎn) P 矩形的面積等于 k 的值 分析 1 將 P 點(diǎn)坐標(biāo)代入 y 利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解 析式 2 根據(jù)矩形滿足的兩個(gè)條件畫(huà)出符合要求的兩個(gè)矩形即可 解答 解 1 反比例函數(shù) y x 0 的圖象過(guò)格點(diǎn) P 2 2 k 2 2 4 反比例函數(shù)的解析式為 y 2 如圖所示 矩形 OAPB 矩形 OCDP 即為所求作的圖形 35 2018 金華 如圖 在 6 6 的網(wǎng)格中 每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1 點(diǎn) A 在格點(diǎn) 小正方形的頂點(diǎn) 上 試在各網(wǎng)格中畫(huà)出頂點(diǎn)在格點(diǎn)上 面積為 6 且符合相應(yīng)條件的圖形 分析 利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題即可 解答 解 符合條件的圖形如圖所示 36 2018 濟(jì)寧 在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中 某數(shù)學(xué)小組探究求環(huán)形花壇 如圖所 示 面積的方法 現(xiàn)有以下工具 卷尺 直棒 EF T 型尺 CD 所在的直 線垂直平分線段 AB 1 在圖 1 中 請(qǐng)你畫(huà)出用 T 形尺找大圓圓心的示意圖 保留畫(huà)圖痕跡 不寫(xiě) 畫(huà)法 2 如圖 2 小華說(shuō) 我只用一根直棒和一個(gè)卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面 積 具體做法如下 將直棒放置到與小圓相切 用卷尺量出此時(shí)直棒與大圓兩交點(diǎn) M N 之間的距 離 就可求出環(huán)形花壇的面積 如果測(cè)得 MN 10m 請(qǐng)你求出這個(gè)環(huán)形花壇的面 積 分析 1 直線 CD 與 C D 的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) O 2 設(shè)切點(diǎn)為 C 連接 OM OC 旅游勾股定理即可解決問(wèn)題 解答 解 1 如圖點(diǎn) O 即為所求 2 設(shè)切點(diǎn)為 C 連接 OM OC MN 是切線 OC MN CM CN 5 OM 2 OC2 CM2 25 S 圓環(huán) OM2 OC2 25 37 2018 廣安 下面有 4 張形狀 大小完全相同的方格紙 方格紙中的每個(gè) 小正方形的邊長(zhǎng)都是 1 請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉蟹謩e畫(huà)出符合要求的圖形 所畫(huà)圖形各 頂點(diǎn)必須與方格紙中小正方形的頂點(diǎn)重合 具體要求如下 1 畫(huà)一個(gè)直角邊長(zhǎng)為 4 面積為 6 的直角三角形 2 畫(huà)一個(gè)底邊長(zhǎng)為 4 面積為 8 的等腰三角形 3 畫(huà)一個(gè)面積為 5 的等腰直角三角形 4 畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 面積為 6 的等腰三角形 分析 1 利用三角形面積求法以及直角三角形的性質(zhì)畫(huà)即可 2 利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫(huà)出即可 3 利用三角形面積求法以及等腰直角三角形的性質(zhì)畫(huà)出即可 4 利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫(huà)出即可 解答 解 1 如圖 1 所示 2 如圖 2 所示 3 如圖 3 所示 4 如圖 4 所示 38 2018 青島 問(wèn)題提出 用若干相同的一個(gè)單位長(zhǎng)度的細(xì)直木棒 按照如 圖 1 方式搭建一個(gè)長(zhǎng)方體框架 探究所用木棒條數(shù)的規(guī)律 問(wèn)題探究 我們先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始探究 從中找出解決問(wèn)題的方法 探究一 用若干木棒來(lái)搭建橫長(zhǎng)是 m 縱長(zhǎng)是 n 的矩形框架 m n 是正整數(shù) 需要 木棒的條數(shù) 如圖 當(dāng) m 1 n 1 時(shí) 橫放木棒為 1 1 1 條 縱放木棒為 1 1 1 條 共需 4 條 如圖 當(dāng) m 2 n 1 時(shí) 橫放木棒為 2 1 1 條 縱放木棒為 2 1 1 條 共需 7 條 如圖 當(dāng) m 2 n 2 時(shí) 橫放木棒為 2 2 1 條 縱放木棒為 2 1 2 條 共需 12 條 如圖 當(dāng) m 3 n 1 時(shí) 橫放木棒為 3 1 1 條 縱 放木棒為 3 1 1 條 共需 10 條 如圖 當(dāng) m 3 n 2 時(shí) 橫放木棒為 3 2 1 條 縱放木棒為 3 1 2 條 共需 17 條 問(wèn)題 一 當(dāng) m 4 n 2 時(shí) 共需木棒 22 條 問(wèn)題 二 當(dāng)矩形框架橫長(zhǎng)是 m 縱長(zhǎng)是 n 時(shí) 橫放的木棒為 m n 1 條 縱放的木棒為 n m 1 條 探究二 用若干木棒來(lái)搭建橫長(zhǎng)是 m 縱長(zhǎng)是 n 高是 s 的長(zhǎng)方體框架 m n s 是正 整數(shù) 需要木棒的條數(shù) 如圖 當(dāng) m 3 n 2 s 1 時(shí) 橫放與縱放木棒之和為 3 2 1 3 1 2 1 1 34 條 豎放木棒為 3 1 2 1 1 12 條 共需 46 條 如圖 當(dāng) m 3 n 2 s 2 時(shí) 橫放與縱放木棒之和為 3 2 1 3 1 2 2 1 51 條 豎放木棒為 3 1 2 1 2 24 條 共需 75 條 如圖 當(dāng) m 3 n 2 s 3 時(shí) 橫放與縱放木棒之和為 3 2 1 3 1 2 3 1 68 條 豎放木棒為 3 1 2 1 3 36 條 共需 104 條 問(wèn)題 三 當(dāng)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是 m 縱長(zhǎng)是 n 高是 s 時(shí) 橫放與縱放木 棒條數(shù)之和為 m n 1 n m 1 s 1 條 豎放木棒條數(shù)為 m 1 n 1 s 條 實(shí)際應(yīng)用 現(xiàn)在按探究二的搭建方式搭建一個(gè)縱長(zhǎng)是 2 高是 4 的長(zhǎng)方體框架 總共使用了 170 條木棒 則這個(gè)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是 4 拓展應(yīng)用 若按照如圖 2 方式搭建一個(gè)底面邊長(zhǎng)是 10 高是 5 的正三棱柱框架 需要木棒 1320 條 分析 從特殊到一般探究規(guī)律后利用規(guī)律即可解決問(wèn)題 解答 解 問(wèn)題 一 當(dāng) m 4 n 2 時(shí) 橫放木棒為 4 2 1 條 縱放 木棒為 4 1 2 條 共需 22 條 問(wèn)題 二 當(dāng)矩形框架橫長(zhǎng)是 m 縱長(zhǎng)是 n 時(shí) 橫放的木棒為 m n 1 條 縱放的木棒為 n m 1 條 問(wèn)題 三 當(dāng)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是 m 縱長(zhǎng)是 n 高是 s 時(shí) 橫放與縱放木 棒條數(shù)之和為 m n 1 n m 1 s 1 條 豎放木棒條數(shù)為 m 1 n 1 s 條 實(shí)際應(yīng)用 這個(gè)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是 s 則 3m 2 m 1 5 m 1 3 4 170 解得 m 4 拓展應(yīng)用 若按照如圖 2 方式搭建一個(gè)底面邊長(zhǎng)是 10 高是 5 的正三棱柱框架 橫放與縱放木棒條數(shù)之和為 165 6 990 條 豎放木棒條數(shù)為 66 5 330 條需要 木棒 1320 條 故答案為 22 m n 1 n m 1 m n 1 n m 1 s 1 m 1 n 1 s 4 1320 39 2018 香坊區(qū) 如圖 在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 1 的方格紙中 有線段 AB 和線段 CD 點(diǎn) A B C D 均在小正方形的頂點(diǎn)上 1 在方格紙中畫(huà)出以 AB 為斜邊的等腰直角三角形 ABE 點(diǎn) E 在小正方形的 頂點(diǎn)上 2 在方格紙中畫(huà)出以 CD 為對(duì)角線的矩形 CMDN 頂點(diǎn)字母按逆時(shí)針順序 且面積為 10 點(diǎn) M N 均在小正方形的頂點(diǎn)上 3 連接 ME 并直接寫(xiě)出 EM 的長(zhǎng) 分析 1 利用等腰直角三角形的性質(zhì)畫(huà)出即可 2 利用矩形的性質(zhì)畫(huà)出即可 3 根據(jù)勾股定理解答即可 解答 解 1 如圖所示 2 如圖所示 3 如圖所示 EM 40 2018 天門 圖 圖 都是由邊長(zhǎng)為 1 的小菱形構(gòu)成的網(wǎng)格 每個(gè)小菱 形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn) 點(diǎn) O M N A B 均在格點(diǎn)上 請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺在網(wǎng) 格中完成下列畫(huà)圖 1 在圖 中 畫(huà)出 MON 的平分線 OP 2 在圖 中 畫(huà)一個(gè) Rt ABC 使點(diǎn) C 在格點(diǎn)上 分析 1 構(gòu)造全等三角形 利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題 2 利用菱形以及平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題 解答 解 1 如圖所示 射線 OP 即為所求 2 如圖所示 點(diǎn) C 即為所求 41 2018 哈爾濱 如圖 方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 1 線段 AB 的 兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上 1 在圖中畫(huà)出以線段 AB 為一邊的矩形 ABCD 不是正方形 且點(diǎn) C 和點(diǎn) D 均在小正方形的頂點(diǎn)上 2 在圖中畫(huà)出以線段 AB 為一腰 底邊長(zhǎng)為 2 的等腰三角形 ABE 點(diǎn) E 在 小正方形的頂點(diǎn)上 連接 CE 請(qǐng)直接寫(xiě)出線段 CE 的長(zhǎng) 分析 1 利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題即可 2 利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題即可 解答 解 1 如圖所示 矩形 ABCD 即為所求 2 如圖 ABE 即為所求 CE 4