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經(jīng)濟數(shù)學基礎積分學 一、單項選擇題 1．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（ A ）． A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C．y = 2x + 2 D．y = 4x 2. 若= 2，則k =（ A ）． A．1 B．-1 C．0 D． 3．下列等式不成立的是（ D ）． A． B． C． D． 4．若，則=（　D ）. 　　A. 　 B. 　C. D. 5. （ B ）． A． B． C． D． 6. 若，則f (x) =（ C ）． A． B．- C． D．- 7. 若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是( B )． A． B． C． D． 8．下列定積分中積分值為0的是（ A ）． A． B． C． D． 9．下列無窮積分中收斂的是（ C ）． A． B． C． D． 10．設(q)=100-4q ，若銷售量由10單位減少到5單位，則收入R的改變量是（ B ）． A．-550 B．-350 C．350 D．以上都不對 11．下列微分方程中，（ D ）是線性微分方程． A． B． C． D． 12．微分方程的階是（　C ）. A. 4　　 　B. 3　 C. 2　　 　D. 1 13．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 3）的曲線為（ C ）． A． B． C． D． 14．下列函數(shù)中，（ C ）是的原函數(shù)． A．- B． C． D． 15．下列等式不成立的是（ D ）． A． B． C． D． 16．若，則=（　D ）. A. 　 B. 　C. 　　 D. 17. （ B ）． A．B． C． D． 18. 若，則f (x) =（ C ）． A． B．- C． D．- 19. 若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是( B )． A． B． C． D． 20．下列定積分中積分值為0的是（ A ）． A． B． C． D． 21．下列無窮積分中收斂的是（ C ）． A． B． C． D． 22．下列微分方程中，（ D ）是線性微分方程． A． B． C． D． 23．微分方程的階是（　C ）. A. 4　　 　B. 3　 C. 2　　 　D. 1 24.設函數(shù)，則該函數(shù)是（ A ）. A. 奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既奇又偶函數(shù) 25. 若，則( A )． A. 　 B. C. 　　 D. 26. 曲線在處的切線方程為( A ). A． B． C． D． 27. 若的一個原函數(shù)是, 則=（　D）． 　 　A．　　　　　B． C．　　 　D． 28. 若, 則（ C ）. A. B. C. D. 二、填空題 1． ． 2．函數(shù)的原函數(shù)是-cos2x + c (c 是任意常數(shù)) ． 　　3．若，則　　. 　　4．若，則= . 　　5．　0　　. 6． 0　 ． 7．無窮積分是 收斂的 ．（判別其斂散性） 8．設邊際收入函數(shù)為(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，則平均收入函數(shù)為2 + ． 　　9. 是　 2 階微分方程. 10．微分方程的通解是 ． 11． 12．。答案： 13．函數(shù)f (x) = sin2x的原函數(shù)是 ． 14．若，則　. 答案： 15．若，則= . 答案： 16．　　　　　　. 答案：0 17． ．答案：0 18．無窮積分是 ．答案：1 19. 是　　 階微分方程. 答案：二階 20．微分方程的通解是 ．答案： 21. 函數(shù)的定義域是(-2,-1)U(-1,2]． 22. 若，則　4 ?。? 23. 已知，則=　27+27 ln3　　　　　　?。? 24. 若函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義， 且則　1?。? 25. 若, 則　　-1/2　　?。? (三) 判斷題 11. . ( ) 12. 若函數(shù)在點連續(xù)，則一定在點處可微. ( ) 13. 已知，則= （ √ ） 14. . （ ）. 15. 無窮限積分是發(fā)散的. ( √ 三、計算題 ⒈ ⒈ 解 2． 2．解 3． 3．解 4． 4．解 = = 5． 5．解 = = = 6． 6．解 7． 7．解 === 8． 8．解 =-== 9． 9．解法一 = =＝=1 解法二 令，則 = 10．求微分方程滿足初始條件的特解． 10．解 因為 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解為 11．求微分方程滿足初始條件的特解． 11．解 將方程分離變量： 等式兩端積分得 將初始條件代入，得 ，c = 所以，特解為： 12．求微分方程滿足 的特解. 12．解：方程兩端乘以，得 即 兩邊求積分，得 通解為： 由，得 所以，滿足初始條件的特解為： 13．求微分方程 的通解． 13．解 將原方程分離變量 兩端積分得 lnlny = lnC sinx 通解為 y = eC sinx 14．求微分方程的通解. 14. 解 將原方程化為：，它是一階線性微分方程， ， 用公式 15．求微分方程的通解． 15．解 在微分方程中， 由通解公式 16．求微分方程的通解． 16．解：因為，，由通解公式得 = = = 17． 解 = = 18． 解： 19． 解： = 20． 解： =（答案： 21． 解： 22． 解 = 23． 24. 25． 26．設，求 27. 設，求. 28．設是由方程確定的隱函數(shù),求. 29．設是由方程確定的隱函數(shù),求. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 四、應用題 1．投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元/百臺). 試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達到最低. 1．解 當產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為 == 100（萬元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達到最小的值. 所以產(chǎn)量為6百臺時可使平均成本達到最小. 2．已知某產(chǎn)品的邊際成本(x)=2（元/件），固定成本為0，邊際收益(x)=12-0.02x，問產(chǎn)量為多少時利潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎上再生產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？ 2．解 因為邊際利潤 =12-0.02x –2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一駐點，而該問題確實存在最大值. 所以，當產(chǎn)量為500件時，利潤最大. 當產(chǎn)量由500件增加至550件時，利潤改變量為 =500 - 525 = - 25 （元） 即利潤將減少25元. 3．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為(x)=100-2x（萬元/百臺），其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？ 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百臺） 又x = 10是L(x)的唯一駐點，該問題確實存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值點，即當產(chǎn)量為10（百臺）時，利潤最大. 又 4．已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺)，x為產(chǎn)量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本. 4．解：因為總成本函數(shù)為 = 當x = 0時，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)= 又平均成本函數(shù)為 令 ， 解得x = 3 (百臺) 該題確實存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當x = 3時，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬元/百臺) 5．設生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸．銷售x百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求： (1) 利潤最大時的產(chǎn)量； (2) 在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎上再生產(chǎn)1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？ 5．解：(1) 因為邊際成本為 ，邊際利潤 = 14 – 2x 令，得x = 7 由該題實際意義可知，x = 7為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當產(chǎn)量為7百噸時利潤最大. (2) 當產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （萬元） 即利潤將減少1萬元. 6．投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元/百臺). 試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達到最低. 解 當產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為 == 100（萬元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達到最小的值. 所以產(chǎn)量為6百臺時可使平均成本達到最小. 7．已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺)，x為產(chǎn)量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本. 解：因為總成本函數(shù)為 = 當x = 0時，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)= 又平均成本函數(shù)為 令 ， 解得x = 3 (百臺) 該題確實存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當x = 3時，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬元/百臺) 8．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為(x)=100-2x（萬元/百臺），其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？ 解：已知(x)=8x(萬元/百臺)，(x)=100-2x，則 令，解出唯一駐點 由該題實際意義可知，x = 10為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當產(chǎn)量為10百臺時利潤最大. 從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤的改變量為 （萬元） 即利潤將減少20萬元. 9．設生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸．銷售x百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求： (1) 利潤最大時的產(chǎn)量； (2) 在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎上再生產(chǎn)1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？ 解：(1) 因為邊際成本為 ，邊際利潤 = 14 – 2x 令，得x = 7 由該題實際意義可知，x = 7為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當產(chǎn)量為7百噸時利潤最大. (2) 當產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （萬元） 即利潤將減少1萬元.