《2016屆高三數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)：階段性測試題.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2016屆高三數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)：階段性測試題.doc（21頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

階段性測試題十二(綜合素質(zhì)能力測試) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．(2015湖南長沙長郡中學(xué)月考)全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，則綂U(M∪N)等于(　　) A．{1,3,5}　　　　　 B.{1,5} C．{1,6} D.{2,4,6} [答案]　C [解析]　∵M∪N＝{2,3,4,5}， ∴綂U(M∪N)＝{1,6}，故選C. 2．(2015廣州執(zhí)信中學(xué)期中)下列說法正確的是(　　) A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1” B．命題“?x≥0，x2＋x－1＜0”的否定是“?x0＜0，x＋x0－1＜0” C．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為假命題 D．若“p∨q”為真命題，則p，q中至少有一個為真命題 [答案]　D [解析]　“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，故A錯；否命題既否定條件，又否定結(jié)論；而命題的否定只否定命題的結(jié)論．“?x≥0，x2＋x－1<0”的否定是“?x0≥0，使x＋x0－1≥0”，故B錯；命題“若A，則B”的逆否命題是“若綈B，則綈A”，因此“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為“若sinx≠siny，則x≠y”，這是一個真命題；“p∨q”為真命題時，p與q中至少有一個為真命題，故選D. 3．(文)(2014康杰中學(xué)、臨汾一中、忻州一中、長治二中四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，則a7＝(　　) A．53　　 　 B．54　　 　 C．55　　 　 D．109 [答案]　C [解析]　∵a1＝1，an＝an－1＋2n，∴a7＝(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋…＋(a2－a1)＋a1＝27＋26＋…＋22＋1＝55. (理)(2015山西大學(xué)附中月考)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對于任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，則＋＋…＋等于(　　) A.　 　 B.　 　 C.　 　 D. [答案]　B [解析]　由條件得，an＋1－an＝1＋n， ∴a2－a1＝1＋1＝2，a3－a2＝1＋2＝3，a4－a3＝1＋3＝4，…，an－an－1＝1＋(n－1)＝n， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝， ∴＝＝2(－)， ∴＋＋…＋＝2(1－)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(1－)＝，故選B. 4．(文)(2014湖南長沙實驗中學(xué)、沙城一中聯(lián)考)如圖，直三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為2，正視圖和俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為(　　) A．2 B.　　 C．4 D.2 [答案]　A [解析]　由正視圖和俯視圖可知，其側(cè)視圖矩形的長和寬分別為和2，∴其面積為S＝2. (理)(2015四川巴中市診斷)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　) [答案]　D [解析]　當(dāng)幾何體上、下兩部分都是圓柱時，俯視圖為A；當(dāng)上部為正四棱柱，下部為圓柱時，俯視圖為B；當(dāng)幾何體的上部為直三棱柱，其底面為直角三角形，下部為正四棱柱時，俯視圖為C；無論何種情形，俯視圖不可能為D. 5．(文)(2015長春市十一高中階段考試)設(shè)a＝(1,2)，b＝(2，k)，若(2a＋b)⊥a，則實數(shù)k的值為(　　) A．－2 B.－4　　 C．－6 D.－8 [答案]　C [解析]　2a＋b＝2(1,2)＋(2，k)＝(4,4＋k)． ∵(2a＋b)⊥a，∴(2a＋b)a＝(4,4＋k)(1,2)＝4＋2(4＋k)＝0，∴k＝－6. (理)(2015河南八校第一次聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin＝，a＝b＝3，點P是邊AB上的一個三等分點，則＋＝(　　) A．0　　 B.6　　　　 C．9　　 D.12 [答案]　B [解析]　∵sin＝，∴cosC＝1－2sin2＝1－2()2＝－， ∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋9－29(－)＝24， ∴c＝2， 設(shè)AB的中點為M，則CM＝＝＝. ∴＋＝(＋) ＝(＋)2＝2||2＝6. 6．(2014綿陽市南山中學(xué)檢測)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向該矩形內(nèi)隨機投一點P，那么使得△ABP與△ADP的面積都不小于1的概率為(　　) A. B.　　 C. D. [答案]　A [解析]　在矩形內(nèi)取一點Q，由點Q分別向AD、AB作垂線，垂足依次為E、F，由S△ABQ＝S△ADQ＝1知，QF＝1，QE＝， 設(shè)直線EQ、FQ分別交BC、CD于M、N，則當(dāng)點P落在矩形QMCN內(nèi)時，滿足要求， ∴所求概率P＝＝＝. 7．(文)(2015江西贛州博雅文化學(xué)校月考)運行如圖的程序框圖，則輸出s的結(jié)果是(　　) A. B.　　 C. D. [答案]　B [解析]　程序運行過程為：開始→s＝0，n＝2，n<10成立→s＝0＋＝，n＝2＋2＝4，n<10成立→s＝＋，n＝4＋2＝6，n<10成立→s＝＋＋，n＝6＋2＝8，n<10成立→s＝＋＋＋，n＝8＋2＝10，n<10不成立，輸出s的值后結(jié)束，∴s＝＋＋＋＝. (理)(2014河南淇縣一中模擬)下圖是一個算法框圖，則輸出的k的值是(　　) A．3　　 B.4　　　　 C．5　　 D.6 [答案]　C [解析]　解法1：k＝1時，k2－5k＋4＝0，不滿足條件；k＝2時，k2－5k＋4＝－2不滿足條件；k＝3時，k2－5k＋4＝－2不滿足條件；k＝4時，k2－5k＋4＝0不滿足條件；k＝5時，k2－5k＋4＝0>0滿足條件，此時輸出k的值為5. 解法2：由k2－5k＋4>0得k<1或k>4，∵初值k＝1，由“k＝k＋1”知步長為1，∴k∈N，∴滿足k2－5k＋4>0的最小k值為5，故當(dāng)k＝5時，滿足程序條件，輸出k的值． 8．(2015開封市二十二校聯(lián)考)拋物線y2＝4x的焦點為F，點P(x，y)為該拋物線上的動點，又點A(－1,0)，則的取值范圍是(　　) A．[，1] B.[，1] C．[，] D.[1,2] [答案]　A [解析]　過P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，則|PF|＝|PB|， ∵拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，點A(－1,0)， ∴＝sin∠BAP， 設(shè)過A的拋物線的切線方程為y＝k(x＋1)，代入拋物線方程可得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， ∴Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0， ∴k＝1， sin∠BAP∈[，1]． 9．(2015江西省南昌二中月考)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，D是邊BC上一點(包括端點)，則的取值范圍是(　　) A．[1,2] B.[0,1]　　 C．[0,2] D.[－5,2] [答案]　D [解析]　∵D是邊BC上的一點(包括端點)，∴可設(shè)＝λ＋(1－λ)(0≤λ≤1)． ∵∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，∴＝21cos120＝－1. ∴＝[λ＋(1－λ)](－) ＝(2λ－1)－λ2＋(1－λ)2 ＝－(2λ－1)－4λ＋1－λ＝－7λ＋2， ∵0≤λ≤1， ∴(－7λ＋2)∈[－5,2]， ∴的取值范圍是[－5,2]．故選D. 10．(文)(2015湖北四校聯(lián)考)以下四圖，都是同一坐標(biāo)系中三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，其中一定不正確的序號是(　　) A．③④　 　　 B.①②　 　　　　 C．②③　 　　 D.②④ [答案]　A [解析]?、僭撊魏瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，該拋物線在x軸下方的區(qū)間對應(yīng)原函數(shù)的遞減區(qū)間，該拋物線在x軸上方的區(qū)間對應(yīng)原函數(shù)的遞增區(qū)間，符合要求，正確；②同理分析可知②正確；③從其導(dǎo)函數(shù)圖象來看，原函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減(a為圖中虛線處的橫坐標(biāo))，圖與題意不符，故③錯誤；④同理分析可知④錯誤；故選A. (理)(2015山東萊蕪期中)在下面四個圖中，有一個是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象，則f(－1)等于(　　) A. B.－　　 C. D.－或 [答案]　B [解析]　f ′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其圖象開口向上，故圖形不是(2)，(3)；由于a≠0，故圖形不是(1)，∴f ′(x)的圖象為(4)，∴f ′(0)＝0，∴a＝1或－1，由圖知a≠1，∴a＝－1，∴f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－，故選B. 11．(2015福建清流一中期中)下列命題中，真命題是(　　) A．函數(shù)f(x)＝tan(－2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－＋，＋)，k∈Z B．命題“?x∈R，x2－2x>3”的否定是“?x∈R，x2－2x<3” C．已知z1，z2∈C，若z1，z2為共軛復(fù)數(shù)，則z1＋z2為實數(shù) D．x＝是函數(shù)f(x)＝sin(x－)的圖象的一條對稱軸 [答案]　C [解析]　f(x)＝tan(－2x)＝－tan(2x－)在其每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù)，故A為假命題；全稱命題的否定為存在性命題，“>”的否定為“≤”，故B為假命題；設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a－bi，∴z1＋z2＝2a∈R，故C為真命題；f(x)＝sin(x－)的圖象的對稱軸方程為x－＝kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，∴D為假命題． 12．(2015湖北教學(xué)合作聯(lián)考)已知由不等式組確定的平面區(qū)域Ω的面積為7，定點M的坐標(biāo)為(1，－2)，若N∈Ω，O為坐標(biāo)原點，則的最小值是(　　) A．－8 B.－7　　 C．－6 D.－4 [答案]　B [解析]　依題意，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖所示) 可知其圍成的區(qū)域是等腰直角三角形，面積為8，由直線y＝kx＋2恒過點B(0,2)，且原點的坐標(biāo)恒滿足y－kx≤2， 當(dāng)k＝0時，y≤2，此時平面區(qū)域Ω的面積為6，由于6<7，由此可得k<0. 由可得D(，)，依題意應(yīng)有2||＝1，因此k＝－1(k＝3舍去)， 故有D(－1,3)，設(shè)N(x，y)，故由z＝＝x－2y，可化為y＝x－z，∵<1，∴當(dāng)直線y＝x－z過點D時，截距－z最大，即z取得最小值－7，故選B. 第Ⅱ卷(非選擇題　共90分) 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上．) 13．(2014撫順二中期中)已知α∈(，π)，sinα＝，則tan(α－)＝________. [答案]　－7 [解析]　∵α∈(，π)，sinα＝，∴cosα＝－， ∴tanα＝－，∴tan(α－)＝＝＝－7. 14．(2015江西南昌二中月考)若{an}是正項遞增等比數(shù)列，Tn表示其前n項之積，且T10＝T20，則當(dāng)Tn取最小值時，n的值為________． [答案]　15 [解析]　根據(jù)T10＝T20得，a11a12a13…a20＝1， ∵a11a20＝a12a19＝…＝a15a16＝1，a151，所以T15最小，所以n的值為15. 15．(文)(2014吉林市摸底)邊長是2的正△ABC內(nèi)接于體積是4π的球O，則球面上的點到平面ABC的最大距離為________． [答案]　 [解析]　因為球O的體積為4π，即r3＝4π，所以r＝，設(shè)正△ABC的中心為D，連接OD，AD，OA，則OD⊥平面ABC，且OA＝，AD＝， 所以O(shè)D＝＝， 所以球面上的點到平面ABC的最大距離為＋r＝. (理)(2015豫南九校聯(lián)考)若(x＋a)6的展開式中x3的系數(shù)為160，則xadx的值為________． [答案]　 [解析]　由條件知Ca3＝160，∴a＝2，∴xadx＝x2dx＝x3|＝. 16．(文)給出下列命題 (1)對于命題p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，則綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1>0； (2)m＝3是直線(m＋3)x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂直的充要條件； (3)已知回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為(4,5)，則回歸直線方程為＝1.23x＋0.08； (4) 若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x)，則f(2016)＝0. 其中真命題的序號是________．(把所有真命題的序號都填上) [答案]　(3)(4) [解析]　(1)“<”的否定應(yīng)為“≥”，∴(1)錯誤；(2)兩直線互相垂直時，m(m＋3)－6m＝0，∴m＝0或m＝3，因此m＝3是此二直線垂直的充分不必要條件，故(2)錯誤；由回歸直線過樣本點的中心知(3)為真命題；(4)∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(2016)＝f(4504)＝f(0)＝0，∴(4)為真命題． (理)(2015長春外國語學(xué)校期中)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,4)，若P(ξ>4)＝a，則P(－2≤ξ≤4)＝________. [答案]　1－2a [解析]　∵ξ～N(1,4)，∴μ＝1， 若P(ξ>4)＝a，則P(－2≤ξ≤4)＝1－2a. 三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．) 17．(本小題滿分12分)(2014西安市長安中學(xué)期中)已知平面向量a＝(cosφ，sinφ)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinφ，－cosφ)，其中0<φ<π，且函數(shù)f(x)＝(ab)cosx＋(bc)sinx的圖象過點(，1)． (1)求φ的值； (2)將函數(shù)y＝f(x)圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值． [解析]　(1)∵ab＝cosφcosx＋sinφsinx＝cos(φ－x)， bc＝cosxsinφ－sinxcosφ＝sin(φ－x)， ∴f(x)＝(ab)cosx＋(bc)sinx ＝cos(φ－x)cosx＋sin(φ－x)sinx ＝cos(φ－x－x)＝cos(2x－φ)， 即f(x)＝cos(2x－φ)， ∴f()＝cos(－φ)＝1， 而0<φ<π，∴φ＝. (2)由(1)得，f(x)＝cos(2x－)， 于是g(x)＝cos[2(x)－]， 即g(x)＝cos(x－)． 當(dāng)x∈[0，]時，－≤x－≤， 所以≤cos(x－)≤1， 即當(dāng)x＝0時，g(x)取得最小值， 當(dāng)x＝時，g(x)取得最大值1. 18．(本小題滿分12分)(文)(2014韶關(guān)市曲江一中月考)等差數(shù)列{an}中，a3＝3，前7項和S7＝28. (1)求數(shù)列{an}的公差d； (2)等比數(shù)列{bn}中，b1＝a2，b2＝a4，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn(n∈N*)． [解析]　(1)S7＝＝7a4＝28， ∴a4＝4， 又∵a3＝3，∴d＝a4－a3＝1. (2)由(1)知數(shù)列{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列， ∴an＝1＋(n－1)＝n， ∴b1＝2，b2＝4， ∴數(shù)列{bn}的公比q＝＝2， ∴Tn＝＝＝2n＋1－2. (理)(2014開灤二中期中)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn，(c是不為0的常數(shù)，n∈N*)，且a1，a2，a3成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解析]　(1)由已知a2＝2＋c，a3＝2＋3c， 則(2＋c)2＝2(2＋3c)，∴c＝2，∴an＋1＝an＋2n， n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋21＋22＋…＋2(n－1)＝n2－n＋2， n＝1時，a1＝2也適合上式，因此an＝n2－n＋2. (2)bn＝＝，則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＋， Tn＝＋＋＋…＋＋，用錯位相減法可求得Tn＝1－. 19．(本小題滿分12分)(文)(2014泗陽縣模擬)直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝. (1)求證：平面AB1C⊥平面B1CB； (2)求三棱錐A1－AB1C的體積． [解析]　(1)直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，BB1⊥AC， 又由于AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝，∴AB＝， 則由AC2＋BC2＝AB2可知，AC⊥BC， ∴AC⊥平面B1CB， ∴平面AB1C⊥平面B1CB. (2)∵BC⊥AC，BC⊥CC1，∴BC⊥平面ACC1A1， ∴B到平面ACC1A1的距離d＝1， ∵BB1∥平面ACC1A1，∴B1到平面A1AC的距離為1， ∴三棱錐A1－AB1C的體積VA1－AB1C＝VB1－A1AC＝(11)1＝. (理)(2014天津河北區(qū)三模)如圖，四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，EA∥PD，AD＝PD＝2EA＝2，F(xiàn)，G，H分別為PB，EB，PC的中點． (1)求證：FH∥平面PED； (2)求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大?。? (3)在線段PC上是否存在一點M，使直線FM與直線PA所成的角為60？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由． [解析]　(1)證明：因為F，H分別為PB，PC的中點， 所以FH∥BC， 又BC∥AD， 所以FH∥AD. 又FH?平面PED，AD?平面PED， 所以FH∥平面PED. (2)因為EA⊥平面ABCD，EA∥PD， 所以PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥AD，PD⊥CD. 又因為四邊形ABCD是正方形， 所以AD⊥CD. 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因為AD＝PD＝2EA＝2， 所以D(0,0,0)，P(0,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(2,0,1)． 因為F，G，H分別為PB、EB，PC的中點， 所以F(1,1,1)，G(2,1，)，H(0,1,1)． 所以＝(－1,0，)，＝(－2,0，)． 設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面FGH的一個法向量， 則即， 再令y1＝1，得n1＝(0,1,0)，＝(2,2，－2)，＝(0,2，－2)， 設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面PBC的一個法向量， 則，即， 令z2＝1，得n2＝(0,1,1)． 所以|cos〈n1，n2〉|＝＝. 所以平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小為. (3)假設(shè)在線段PC上存在一點M，使直線FM與直線PA所成角為60，依題意可設(shè)＝λ，其中0≤λ≤1. 由＝(0,2，－2)，則＝(0,2λ，－2λ)． 又因為＝＋，＝(－1，－1,1)， 所以＝(－1,2λ－1,1－2λ)． 因為直線FM與直線PA所成角為60，＝(2,0，－2)， 所以|cos〈，〉|＝， 即＝，解得λ＝. 所以＝(0，，－)，||＝. 所以在線段PC上存在一點M，使直線FM與直線PA所成角為60，此時PM＝. 20．(本小題滿分12分)(文)(2015山西大同市調(diào)研)某網(wǎng)絡(luò)營銷部門隨機抽查了某市200名網(wǎng)友在2013年11月11日的網(wǎng)購金額，所得數(shù)據(jù)如下表： 網(wǎng)購金額(單位：千元) 人數(shù) 頻率 (0,1] 16 0.08 (1,2] 24 0.12 (2,3] x p (3,4] y q (4,5] 16 0.08 (5,6] 14 0.07 合計 200 1.00 已知網(wǎng)購金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)比恰為32. (1)試確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖(如圖)． (2)該營銷部門為了了解該市網(wǎng)友的購物體驗，從這200網(wǎng)友中，用分層抽樣的方法從網(wǎng)購金額在(1,2]和(4,5]的兩個群體中確定5人進行問卷調(diào)查，若需從這5人中隨機選取2人繼續(xù)訪談，則此2人來自不同群體的概率是多少？ [解析]　(1)根據(jù)題意有： 解得 ∴p＝0.4，q＝0.25. 補全頻率分布直方圖如圖， (2)根據(jù)題意，網(wǎng)購金額在(1,2]內(nèi)的人數(shù)為5＝3(人)，記為a，b，c. 網(wǎng)購金額在(4,5]內(nèi)的人數(shù)為5＝2(人)，記為A，B. 則從這5人中隨機選取2人的選法為：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10種． 記2人來自不同群體的事件為M，則M中含有(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共6種． ∴P(M)＝＝. (理)(2015赤峰市統(tǒng)考)某超市為了響應(yīng)環(huán)保要求，鼓勵顧客自帶購物袋到超市購物，采取了如下措施：對不使用超市塑料購物袋的顧客，超市給予0.96折優(yōu)惠；對需要超市塑料購物袋的顧客，既要付購買費，也不享受折扣優(yōu)惠．假設(shè)該超市在某個時段內(nèi)購物的人數(shù)為36人，其中有12位顧客自己帶了購物袋，現(xiàn)從這36人中隨機抽取2人． (1)求這2人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率； (2)設(shè)這2人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． [解析]　(1)設(shè)“兩人都享受折扣優(yōu)惠”為事件A，“兩人都不享受折扣優(yōu)惠”為事件B， 則P(A)＝＝，P(B)＝＝. 因為事件A，B互斥， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 故這2人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率是. (2)據(jù)題意，ξ的可能取值為0,1,2. 其中P(ξ＝0)＝P(B)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝P(A)＝. 所以ξ的分布列是： ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)＝0＋1＋2＝＝. 21．(本小題滿分12分)(文)(2014屯溪一中期中)設(shè)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)f ′(x)滿足f ′(1)＝2a，f ′(2)＝－b，其中常數(shù)a、b∈R. (1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程； (2)設(shè)g(x)＝f ′(x)e－x，求函數(shù)g(x)的極值． [解析]　∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1， ∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b， ∵f ′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝2a， ∵f ′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b， ∴a＝－，b＝－3， ∴f(x)＝x3－x2－3x＋1，f ′(x)＝3x2－3x－3， ∴f(1)＝－，f ′(1)＝－3， ∴切線方程為y－(－)＝－3(x－1)， 即6x＋2y－1＝0. (2)∵g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，∴g′(x)＝(6x－3)e－x＋(3x2－3x－3)(－e－x)， ∴g′(x)＝－3x(x－3)e－x， ∴當(dāng)00，當(dāng)x>3時，g′(x)<0，當(dāng)x<0時，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3，＋∞)上單調(diào)遞減， 所以g(x)極?。絞(0)＝－3，g(x)極大＝g(3)＝15e－3. (理)(2015福建清流一中期中)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf ′(x)，x≥0，其中f ′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)． (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，猜想gn(x)的表達式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； (3)設(shè)n∈N＋，比較g(1)＋g(2)＋…＋g(n)與n－f(n)的大小，并加以證明． [解析]　由題設(shè)得，g(x)＝(x≥0)． (1)由已知，g1(x)＝， g2(x)＝g(g1(x))＝＝， g3(x)＝，…，猜想gn(x)＝. (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立． 設(shè)φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)， 則φ′(x)＝－＝， 當(dāng)a≤1時，φ′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0，a＝1時等號成立)， ∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又φ(0)＝0， ∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a≤1時，ln(1＋x)≥恒成立(僅當(dāng)x＝0時等號成立)． 當(dāng)a>1時，對x∈(0，a－1]有φ′(x)<0， ∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0. 即a>1時，存在x>0，使φ(x)<0， 故知ln(1＋x)≥不恒成立． 綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]. (3)由題設(shè)知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋， 比較結(jié)果為g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)． 證明如下： 方法一：上述不等式等價于＋＋…＋，x>0. 令x＝，n∈N＋，則，x>0. 令x＝，n∈N＋，則ln>. 故有l(wèi)n2－ln1>， ln3－ln2>， …… ln(n＋1)－lnn>， 上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋， 結(jié)論得證． 方法三：如圖，dx是由曲線y＝，x＝n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，而＋＋…＋是圖中所示各矩形的面積和， ∴＋＋…＋>dx＝(1－)dx＝n－ln(n＋1)， 結(jié)論得證． 22．(本小題滿分14分)(文)(2015長春市十一高中段測)已知橢圓：＋＝1(a>b>0)上任意一點到兩焦點F1，F(xiàn)2距離之和為2，離心率為，動點P在直線x＝3上，過F2作直線PF2的垂線l，設(shè)l交橢圓于Q點． (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值． [解析]　(1)由條件得：解得：a＝，c＝1，b＝， 所以橢圓E的方程為：＋＝1. (2)設(shè)P(3，y0)，Q(x1，y1)， ∵PF2⊥F2Q，∴＝0， ∴2(x1－1)＋y0y1＝0， 又∵y＝2(1－)， ∴kPQkOQ＝＝＝＝＝－. (理)(2014江西白鷺洲中學(xué)期中)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的焦距為2，離心率為. (1)求橢圓方程； (2)設(shè)過橢圓頂點B(0，b)，斜率為k的直線交橢圓于另一點D，交x軸于點E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，求k2的值． [解析]　(1)由已知2c＝2，＝. 解得a＝2，c＝， ∴b2＝a2－c2＝1， ∴橢圓的方程為＋y2＝1. (2)由(1)得過B點的直線方程為y＝kx＋1， 由消去y得(4k2＋1)x2＋8kx＝0， ∴xD＝－，yD＝， 依題意k≠0，k≠. ∵|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，∴|BE|2＝|BD||DE|， ∴＝＝＝， ∵b＝1，∴y－yD－1＝0，解得yD＝， ∴＝，解得k2＝， ∴當(dāng)|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列時，k2＝.