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雙曲線焦半徑應用舉例 雙曲線上任意一點到其焦點的距離稱為該點的焦半徑。已知點P(x，y)在雙曲線－= 1 (a＞0，b＞0)上，F， F分別為雙曲線的左、右焦點。若點P在右半支上，則| PF| =x+ a ，| PF| =x－a；若點P在左半支上，則| PF| =－(x+ a) ，| PF| =－(x－a)．利用焦半徑公式解題，可使解題過程簡單明了，下面列舉幾例，供參考。 一、求雙曲線的標準方程 例1、 設F、F是雙曲線－= 1 (a＞0，b＞0)的左、右兩個焦點，l為左準線，離心率e=，P(－,m)是左支上一點，P到l的距離為d，且d，| PF|，| PF|成等差數列，求此雙曲線方程。 分析；利用焦半徑，結合雙曲線的第二定義列出等式，求出待定系數. 解：由雙曲線的第二定義知：d =| PF|，又| PF| =－(x+ a) = 14－a, | PF| =－(x－a) = 14＋a,由已知得：d＋| PF| = 2| PF|，即(14－a)＋(14＋a)=28－2a 得：a = 2， c =3， b =，故雙曲線的方程為－=1。 評注：利用焦半徑公式，可使運算過程簡便易行。 二、求值 例2 雙曲線－=1的兩個焦點為F、F，點P在雙曲線上，若P F⊥P F，則點P到x軸的距離為_____________. 分析；利用焦半徑及勾股定理，列出等式，求出P點縱坐標即可。 解：不妨設P在雙曲線上右支上，設P(x，y)， 則| PF| =x+ a = 3＋x，| PF| =x－a =x－3， 則| PF|＋| PF|= |FF|，即：(3＋x)＋(x－3) =100， 所以=，又－=1，所以=，所以點P到x軸的距離為。 評注：利用雙曲線的定義和焦半徑公式，簡單明了。 三、求范圍 例3 如圖，已知梯形ABCD中，|AB| = 2|CD|，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當≤≤時，求雙曲線離心率的取值范圍． 解：以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則CD⊥y軸，因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性可知，C、D關于y軸對稱．設雙曲線的焦距為2c，則A、B、C三點的橫坐標分別為－c、c、，則點E的橫坐標為x=．x y A B O D C E 根據雙曲線焦半徑公式，有：|AE| =－(x＋a ) =－－a，|BC| =x－a =－a， 而AC與AE同號，從而==． ∴|AC| =|AE| =[－－a] =－－a， 由雙曲線的定義有|AC|－|BC| = 2a，即(－－a)－(－a) = 2a， 兩邊同除以a，并化簡整理，得(－1) = 2＋，∴==－2＋． 由≤≤，得3≤≤4，解得7≤≤10． ∴≤≤，故所求雙曲線離心率的取值范圍是[，]． 評注：凡是遇到雙曲線上的點到雙曲線焦點距離的問題，均可考慮使用焦半徑公式． 四、其他問題 例4 在雙曲線－=1的上支上有三點A(x，y),B(,6),C(x,y)與F(0，5)的距離成等差數列。求證：AC的垂直平分線經過某一定點。 分析；利用焦半徑及等差數列概念，列出等式，可解此題。 證明：|AF| =ey－a，|BF|=6e－a，|CF|= ey－a，由已知得：2|BF|=|AF|＋|CF|，得：y＋ y=26 = 12。設AC的中點M(x，6)，其中x=，又A，C在雙曲線上，于是， 兩式相減得：13(y－y)(y＋y)－12(x－x)(x＋x)= 0，得：13(y＋y)－12（x＋x）=0， 得：=，所以AC的垂直平分線方程為：y－6=－(x－x)，即13x＋x(2y－25)=0，故經過定點(0，)。 評注：點差法是求解雙曲線問題的一種常用方法。 例5 已知雙曲線－= 1的左、右焦點分別為F、F，左準線為．能否在雙曲線的左支上找到一點P，使| PF|是P到的距離與| PF|的等比中項？若能，試求出P點坐標；若不能，請說明理由． 分析；此題為探索題目，一般可設存在點P，再利用焦半徑及等比數列概念列等式可求解。 解：由a = 5，c =13，知 =，=． 設P(x，y)，P到的距離為d，則| PF| =－a－x=－5－x，| PF|= a－x= 5－x，d =－－x=－－x． 令| PF|= d| PF|，即(－5－x)= (－－x)(5－x)， 解得：x=－或x=－．① 另一方面，因為P在左支上，所以x≤－5．② ① 與②矛盾．故符合條件的P點不存在． 評注： 一般的，是雙曲線－= 1左支上存在P點，使| PF|= d| PF|成立的充要條件。本題中雙曲線離心率=，故符合條件的P點不存在． 例如雙曲線－= 1的離心率，則這樣的P點一定存在。 類似的可得：是雙曲線－= 1左支上存在P點，使2| PF|= d +| PF|成立的充要條件。 通過以上幾例，不難看到，適當的利用焦半徑公式，以及雙曲線的第二定義解答雙曲線類問題確能起到事半功倍之效果。