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廣東省2017屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練 立體幾何 一、選擇、填空題 1、（2016年全國I卷）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是 （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 2、（2016年全國I卷）平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，則m，n所成角的正弦值為 （A） （B） （C） （D） 3、（2015年全國I卷）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 4、（2015年全國I卷）圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20，則r= （A）1（B）2（C）4（D）8 5、（2016年全國II卷）右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π 6、（佛山市2016屆高三二模）已知一個幾何體的三視圖如圖 2 所示,則該幾何體的體積為( 　　) A． B． C． D．2 7、（廣州市2016屆高三二模）如圖, 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為, 粗實線畫出 的是某幾何體的三視圖, 則該幾何體的體積是 (A) (B) (C) (D) 8、（茂名市2016屆高三二模）若幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為 ( ) A. B. C． D． 9、（汕頭市2016屆高三二模）已知正三棱錐的六條棱長都為，則它的外接球的體積為 ( ) A. B. C. D. 10、（深圳市2016屆高三二模）．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則它的體積為（ ） A． B． C． D． 11、（汕頭市2016屆高三上期末）已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，給出下列命題： ①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若，且， 則，其中真命題的個數(shù)是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 12、（汕尾市2016屆高三上期末）一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為 ( ) 二、解答題 1、（2016年全國I卷）A B F E D C 如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是． （I）證明平面ABEFEFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． 2、（2016年全國II卷）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，，，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△的位置. （I）證明：平面ABCD； （II）求二面角的正弦值. 3、（2015年全國I卷）如圖，，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）證明：平面AEC⊥平面AFC （2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值 [ 4、（2014年全國I卷）如圖三棱柱中，側(cè)面為菱形，. (Ⅰ) 證明：； （Ⅱ）若，，AB=BC 求二面角的余弦值. 5、（佛山市2016屆高三二模）如圖，在直四棱柱中，． （1）求證：平面平面； （2）若,直線BC與平面A1BD所成的角能否為45？并說明理由． 6、（廣州市2016屆高三二模）如圖，在多面體中，△是等邊三角形，△是等腰直角三角形， ，平面平面，平面. (Ⅰ)求證：； (Ⅱ)若，求直線與平面所成角的正弦值. 7、（茂名市2016屆高三二模）如圖1，已知四邊形為菱形，且,,為 的中點?，F(xiàn)將四邊形沿折起至，如圖2。 （I）求證： （II）若二面角的大小為， 求平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值。 8、（深圳市2016屆高三二模） 在三棱柱中，，側(cè)面是邊長為的正方體．點分別在線段上，且． （1）證明：平面平面； （2）若，求直線與平面所成角的正弦值． 9、（潮州市2016屆高三上期末）如圖，在四棱錐B－ACDE中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，∠ABC＝3∠BAC＝90，BF⊥AC于F，AC＝4CD＝4，AE＝3。 （I）求證：BE⊥DF； （II）求二面角B－DE－F的平面角的余弦值。 10、（佛山市2016屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測（一）） 如圖，三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让?，? ，，為棱 的中點，在棱上， 面． （1）求證：為的中點； （2）求二面角的余弦值． 11、（惠州市2016屆高三第三次調(diào)研考試） 如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，，分別是的中點。 （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）取，若為上的動點，與面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。 參考答案 一、選擇、填空題 1、 【答案】A 【解析】 試題分析：由三視圖知：該幾何體是個球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以它的表面積是，故選A． 2、【答案】A 如圖所示： ∵，∴若設(shè)平面平面，則 又∵平面∥平面，結(jié)合平面平面 ∴，故 同理可得： 故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大?。? 而（均為面對交線），因此，即． 故選A． 3、【答案】B 考點：圓錐的體積公式 4、【答案】B 5、【解析】C 幾何體是圓錐與圓柱的組合體， 設(shè)圓柱底面圓半徑為，周長為，圓錐母線長為，圓柱高為． 由圖得，，由勾股定理得：， ， 故選C． 6、B 7、B 8、答案A，提示：由幾何體的三視圖知它是底面是正方形且有一側(cè)棱垂于底面的 四棱錐，可把它補成一個長方體，所以， 它的外接球表面積為 9、A 10.【答案】D 【解析】該幾何體的直觀圖，如圖： ，， ∴． 11、C　　12、A 二、解答題 1、⑴ ∵為正方形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴面 面 ∴平面平面 ⑵ 由⑴知 ∵ 平面 平面 ∴平面 平面 ∵面面 ∴ ∴ ∴四邊形為等腰梯形 以為原點，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè) ，， 設(shè)面法向量為. ，即 設(shè)面法向量為 .即 設(shè)二面角的大小為. 二面角的余弦值為 2、【解析】⑴證明：∵， ∴， ∴． ∵四邊形為菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴面． ⑵建立如圖坐標(biāo)系． ，，，， ，，， 設(shè)面法向量， 由得，取， ∴． 同理可得面的法向量， ∴， ∴． 3、【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） ∴，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分 （Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0, )，F(xiàn)（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分 故. 所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. ……12分 考點：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計算；空間想象能力，推理論證能力 4、【解析】：(Ⅰ)連結(jié)，交于O，連結(jié)AO．因為側(cè)面為菱形，所以^，且O為與的中點．又，所以平面，故=又，故 ………6分 （Ⅱ）因為且O為的中點，所以AO=CO=又因為AB=BC=，所以 故OA⊥OB^，從而OA，OB，兩兩互相垂直． 以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB的方向為x軸正方向，OB為單位長，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-．因為，所以為等邊三角形．又AB=BC=，則 ，，， ， 設(shè)是平面的法向量，則 ，即 所以可取 設(shè)是平面的法向量，則，同理可取 則，所以二面角的余弦值為. 5、【解析】（1）證明：∵， ∴為正三角形，∴． ∵,為公共邊， ∴． ∴,∴． ∵四棱柱是直四棱柱， ∴平面，∴． ∵，∴平面． ∵平面，∴平面平面． （2） 設(shè)ACBD= O ,以O(shè)為原點,建立空間直角坐標(biāo)系O- xyz 如圖所示, 不妨設(shè) AB = 2 , AA1 = h ( h > 0 ),則 OA = , OB = OD = OC = 1 , 設(shè)平面 A1 BD 的法向量為 n = ( x, y, z ) ,則 若直線BC 與平面 A1 BD 所成的角為45 ,則 故直線BC 與平面 A1 BD 所成的角不可能為45 .…12 分 6、(Ⅰ)證明：取的中點,連接,. ∵ △是等邊三角形， ∴ . …………………………………………1分 ∵ △是等腰直角三角形，， ∴ . …………………………………………2分 ∵ 平面平面，平面平面，平面， ∴ 平面. …………………………………3分 ∵ 平面, ∴ ∥. ∴ ,,,四點共面. …………………………4分 ∵ ,平面,平面, ∴ 平面. ………………………………5分 ∵ 平面, ∴ . ………………………………………………………6分 (Ⅱ)解法1: 作,垂足為,則. ∵ △是等邊三角形，, ∴ ,. 在Rt△中, .………………7分 ∵ △是等腰直角三角形，， ∴ . ∴. …………………………………8分 如圖,以點為坐標(biāo)原點,所在直線為軸,所在直線為軸, 所在直 線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系, 則,,,. ∴ ,,. 設(shè)平面的法向量為, 由,,得 …………………………9分 令,得,. ∴ 是平面的一個法向量. …………………………10分 設(shè)直線與平面所成角為, 則. …………………………11分 ∴直線與平面所成角的正弦值為. …………………………12分 解法2: 作,垂足為,則. ∵ △是等邊三角形，, ∴ ,. 在Rt△中, . ………………7分 ∵ △是等腰直角三角形，， ∴ . ∴.………………………………………………8分 由(Ⅰ)知∥， ∵ 平面,平面, ∴ ∥平面. ∴ 點到平面的距離等于點到平面的距離. 作,垂足為, ∵平面，平面， ∴. ∵平面,平面,, ∴平面,且. …………………………9分 在Rt△中,, 在Rt△中,, ∴ △的面積為. 設(shè)點到平面的距離為, 由, 得, 得. ……………………………10分 設(shè)直線與平面所成的角為, 則. ………………………………………………11分 ∴直線與平面所成角的正弦值為. ………………………12分 注:求的另法. 由, 得,得. 7、解：(1)證明: 四邊形為菱形，且 …………1分 又 ………………………………3分 又……………4分 ……………5分 (注：三個條件中，每少一個扣1分) (2)解法一:以點為坐標(biāo)原點,分別以線段所在直線為軸,再以過點且垂直于 平面且向上的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示. 平面,為二面角的一個平面角, ……………………………6分 則,,………7分 則. 設(shè),則 由得 解得………8分 那么.設(shè)平面的法向量為,則,即. 即. ………………………………………………9分 而平面的一個法向量為. ……………………………………10分 設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為 則. ………………………………………………11分 所以平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值為………………………12分 解法二:分別取中點,連結(jié).由平面, 可知為二面角的平面角,即有.……………6分 為中點,.,平面. 則以點為坐標(biāo)原點,分別以直線為軸, 建立空間直角坐標(biāo)系,如右圖. 則由條件,易得,,,.……………7分 再設(shè),而,, 則由,有,得. 由,可得. 將帶入,可得, 即,……………………8分 則.而,設(shè)平面法向量為, 則,即. 令,得,即.…………………………9分 而平面的一個法向量為.………………………………10分 設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為 則.………………………………………11分 所以平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值為………………12分 解法三:過點作且至點,延長至點,使. 連結(jié),則為三棱柱. 延長交于點,連結(jié) 由三棱柱性質(zhì),易知,則平面. 過點作于點, 過作于點. 平面,, ,平面,即,. ,平面, 故為平面與平面所成銳二面角的一個平面角, 即為平面與平面所成銳二面角的一個平面角. …………………………8分 易得,即為正三角形. ,. ,,則,故. ,.故,……11分 即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.………12分 8、【解析】（1）取線段中點，連接， 在正方體中，， 在和中，， 又，∴， ∴， 從而， ∴，即． 又， ∴平面， ∵平面， ∴ ， 在等腰三角形中，， 又與相交，知平面， ∵平面， ∴平面平面； （2）在等腰三角形中，由 知，且， 記線段中點為，連接，由（1）知，兩兩互相垂直， 以為坐標(biāo)原點，分別以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則， 設(shè)平面的法向量為，則， 即， 取，則，從而得到平面的一個法向量． ，記直線與平面所成角為， 則． 故直線與平面所成角的正弦值為． 9、 方法一： （Ⅰ）證明：∵AE⊥平面ABC，平面ABC． ∴AE⊥BF， ∵BF⊥AC，， ∴BF⊥平面AEC，平面AEC， ∴BF⊥DF，……………………………………………..…2分 ∵，又， ∴．． ∴， 又BF⊥AC．∴， 又CD∥AE，AE⊥平面ABC，∴CD⊥平面ABC． 又平面ABC．∴CD⊥AC，∴． 又，∴， ∴，即DF⊥EF．……………………………..…4分 又，BF、平面BEF． ∴DF⊥平面BEF，平面BEF． ∴DF⊥BE；………………………………………………………6分 （Ⅱ）如圖，過點作于點，連接． 由（Ⅰ）知BF⊥平面AEC，又平面AEC， (所以． 又，、平面， 所以平面．又平面，) 所以．(三垂線定理) 故二面角的平面角．…………………8分 在中，． 在中，．………….……9分 在中，． 由得．………10分 在中，． 在中，．……………11分 所以． ∴二面角的平面角的余弦值為. …….………..………12分 方法二： 過F作，由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC， 又、平面ABC，于是，， 又BF⊥AC，∴BF、AC、Fz兩兩垂直． 以F為原點，F(xiàn)A、FB、Fz依次為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．…7分 由(Ⅰ)可得． 于是，，，， ，， ． 由(Ⅰ)知是平面的一個法向量． 設(shè)是平面BDE的一個法向量，則 取，得到．………………………………10分 ∴，…………………11分 又二面角是銳二面角． ∴二面角的平面角的余弦值為. …….……………12分 方法二： (Ⅰ)證明：過F作，由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC， 又、平面ABC，于是，， 又BF⊥AC，∴BF、AC、Fz兩兩垂直． 以F為原點，F(xiàn)A、FB、Fz依次為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．…1分 ∵，，， ∴，． ∴，，， ．……………………………………………………3分 于是，，， ，， ． 故． 所以DF⊥BE……………………..…………………6分； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，，， ． 于是，所以，又FB⊥AC． 所以是平面的一個法向量．…………………………………..…8分 設(shè)是平面BDE的一個法向量，則 取，得到．…………………………………....…10分 ∴． 又二面角是銳二面角． ∴二面角的平面角的余弦值為. …………………………12分 10、【解析】[向量法](Ⅰ)連結(jié),因為為正三角形,為棱的中點, 所以,從而,又面面, 面面,面, 所以面.………………………………1分 以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,………2分 不妨設(shè),則,,, 設(shè),則,,………3分 因為平面,平面,所以, 所以,解得,即,所以為的中點.………5分 (Ⅱ),,, 設(shè)平面的法向量為,則,即,解得, 令,得,…………………………………9分 顯然平面的一個法向量為,……………………10分 所以, 所以二面角的余弦值為.…………………12分 [傳統(tǒng)法](Ⅰ)設(shè),由,所以, 因為平面,平面,所以, 從而,所以,所以, 故,所以為的中點.…………………5分 (Ⅱ)連結(jié),由可得為正三角形, 取中點,連結(jié),則, 因為面面,面面, 面,所以面.…………………7分 作于,連結(jié),則, 所以是二面角的平面角.………………………………9分 經(jīng)計算得,,,, 所以二面角的余弦值為.…………………………………12分 11、解：（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形，因為為的中點，所以…………………………（1分） 又，因此 ……………………………………（2分） 因為平面，平面， 所以 ………………………………………………………（3分） 而平面，平面，， 所以平面 …………………………………………………（5分） （Ⅱ）（法1：為上任意一點，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角 ………………………………………………………（6分） 在中，，所以當(dāng)最短時，即當(dāng)時，最大， 此時，因此…………………（7分） 又，所以，所以……（8分） 因為平面，平面， 所以平面平面, 過作于，則平面， 過作于，連接， 則為二面角的平面角，…（9分） 在中， 又是的中點，在中， 又 …………………………………………（10分） 在中，,…………………………（11分） 即所求二面角的余弦值為?！?2分） （2）法2：由（1）可知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。設(shè),…………………（6分） 則 （其中） 面的法向量為 與平面所成最大角的正切值為 的最大值為， 即在的最小值為， 函數(shù)對稱軸， 所以，計算可得…………………………（8分） 所以 設(shè)平面的一個法向量為，則 因此，取，則 …………（9分） 為平面的一個法向量. …………………………（10分） 所以………………………………（11分） 所以，所求二面角的余弦值為 …………………………………（12分）