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第八章 圖形的初步認(rèn)識(shí) 考點(diǎn)一、直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段 （3分） 1、幾何圖形 從實(shí)物中抽象出來(lái)的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。 立體圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。 平面圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。 2、點(diǎn)、線(xiàn)、面、體 （1）幾何圖形的組成 點(diǎn)：線(xiàn)和線(xiàn)相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形。 線(xiàn)：面和面相交的地方是線(xiàn)，分為直線(xiàn)和曲線(xiàn)。 面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。 體：幾何體也簡(jiǎn)稱(chēng)體。 （2）點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體。 3、直線(xiàn)的概念 一根拉得很緊的線(xiàn)，就給我們以直線(xiàn)的形象，直線(xiàn)是直的，并且是向兩方無(wú)限延伸的。 4、射線(xiàn)的概念 直線(xiàn)上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線(xiàn)。這個(gè)點(diǎn)叫做射線(xiàn)的端點(diǎn)。 5、線(xiàn)段的概念 直線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線(xiàn)段。這兩個(gè)點(diǎn)叫做線(xiàn)段的端點(diǎn)。 6、點(diǎn)、直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段的表示 在幾何里，我們常用字母表示圖形。 一個(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示。 一條直線(xiàn)可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示。 一條射線(xiàn)可以用端點(diǎn)和射線(xiàn)上另一點(diǎn)來(lái)表示。 一條線(xiàn)段可用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示。 注意： （1）表示點(diǎn)、直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段時(shí)，都要在字母前面注明點(diǎn)、直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段。 （2）直線(xiàn)和射線(xiàn)無(wú)長(zhǎng)度，線(xiàn)段有長(zhǎng)度。 （3）直線(xiàn)無(wú)端點(diǎn)，射線(xiàn)有一個(gè)端點(diǎn)，線(xiàn)段有兩個(gè)端點(diǎn)。 （4）點(diǎn)和直線(xiàn)的位置關(guān)系有線(xiàn)面兩種： ①點(diǎn)在直線(xiàn)上，或者說(shuō)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。 ②點(diǎn)在直線(xiàn)外，或者說(shuō)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。 7、直線(xiàn)的性質(zhì) （1）直線(xiàn)公理：經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)有一條直線(xiàn)，并且只有一條直線(xiàn)。它可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)。 （2）過(guò)一點(diǎn)的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條。 （3）直線(xiàn)是是向兩方面無(wú)限延伸的，無(wú)端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小。 （4）直線(xiàn)上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。 （5）兩條不同的直線(xiàn)至多有一個(gè)公共點(diǎn)。 8、線(xiàn)段的性質(zhì) （1）線(xiàn)段公理：所有連接兩點(diǎn)的線(xiàn)中，線(xiàn)段最短。也可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。 （2）連接兩點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。 （3）線(xiàn)段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等。 （4）線(xiàn)段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的。 9、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理 垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 逆定理：和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。 考點(diǎn)二、角 （3分） 1、角的相關(guān)概念 有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)叫做角的邊。 當(dāng)角的兩邊在一條直線(xiàn)上時(shí)，組成的角叫做平角。 平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。 如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角叫做互為余角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的余角。 如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角。 2、角的表示 角可以用大寫(xiě)英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法： ①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如∠1，∠2，∠3等。 ②用小寫(xiě)的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如∠B，∠C等。 ④用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示任一個(gè)角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。 注意：用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫(xiě)在中間，邊上的字母寫(xiě)在兩側(cè)。 3、角的度量 角的度量有如下規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“”表示，1度記作“1”，n度記作“n”。 把1的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。 1=60’=60” 4、角的性質(zhì) （1）角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線(xiàn)的幅度大小有關(guān)。 （2）角的大小可以度量，可以比較 （3）角可以參與運(yùn)算。 5、角的平分線(xiàn)及其性質(zhì) 一條射線(xiàn)把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)。 角的平分線(xiàn)有下面的性質(zhì)定理： （1）角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 （2）到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。 考點(diǎn)三、相交線(xiàn) （3分） 1、相交線(xiàn)中的角 兩條直線(xiàn)相交，可以得到四個(gè)角，我們把兩條直線(xiàn)相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)但沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。我們把兩條直線(xiàn)相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角叫做臨補(bǔ)角。 臨補(bǔ)角互補(bǔ)，對(duì)頂角相等。 直線(xiàn)AB，CD與EF相交（或者說(shuō)兩條直線(xiàn)AB，CD被第三條直線(xiàn)EF所截），構(gòu)成八個(gè)角。其中∠1與∠5這兩個(gè)角分別在A(yíng)B，CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對(duì)角叫做同位角；∠3與∠5這兩個(gè)角都在A(yíng)B，CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；∠3與∠6在直線(xiàn)AB，CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做同旁?xún)?nèi)角。 2、垂線(xiàn) 兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直。其中一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，它們的交點(diǎn)叫做垂足。 直線(xiàn)AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于A(yíng)B”）。 垂線(xiàn)的性質(zhì)： 性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直。 性質(zhì)2：直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)連接的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短。簡(jiǎn)稱(chēng)：垂線(xiàn)段最短。 考點(diǎn)四、平行線(xiàn) （3~8分） 1、平行線(xiàn)的概念 在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)。平行用符號(hào)“∥”表示，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。 同一平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。 注意： （1）平行線(xiàn)是無(wú)限延伸的，無(wú)論怎樣延伸也不相交。 （2）當(dāng)遇到線(xiàn)段、射線(xiàn)平行時(shí)，指的是線(xiàn)段、射線(xiàn)所在的直線(xiàn)平行。 2、平行線(xiàn)公理及其推論 平行公理：經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行。 推論：如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)也互相平行。 3、平行線(xiàn)的判定 平行線(xiàn)的判定公理：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么兩直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)稱(chēng)：同位角相等，兩直線(xiàn)平行。 平行線(xiàn)的兩條判定定理： （1）兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)稱(chēng)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行。 （2）兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)稱(chēng)：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行。 補(bǔ)充平行線(xiàn)的判定方法： （1）平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行。 （2）垂直于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行。 （3）平行線(xiàn)的定義。 4、平行線(xiàn)的性質(zhì) （1）兩直線(xiàn)平行，同位角相等。 （2）兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。 （3）兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。 考點(diǎn)五、命題、定理、證明 （3~8分） 1、命題的概念 判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。 理解：命題的定義包括兩層含義： （1）命題必須是個(gè)完整的句子； （2）這個(gè)句子必須對(duì)某件事情做出判斷。 2、命題的分類(lèi)（按正確、錯(cuò)誤與否分） 真命題（正確的命題） 命題 假命題（錯(cuò)誤的命題） 所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。 所謂錯(cuò)誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。 3、公理 人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理。 4、定理 用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。 5、證明 判斷一個(gè)命題的正確性的推理過(guò)程叫做證明。 6、證明的一般步驟 （1）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形。 （2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知、求證。 （3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程。 考點(diǎn)六、投影與視圖 （3分） 1、投影 投影的定義：用光線(xiàn)照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影。 平行投影：由平行光線(xiàn)（如太陽(yáng)光線(xiàn)）形成的投影稱(chēng)為平行投影。 中心投影：由同一點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)所形成的投影稱(chēng)為中心投影。 2、視圖 當(dāng)我們從某一角度觀(guān)察一個(gè)實(shí)物時(shí)，所看到的圖像叫做物體的一個(gè)視圖。物體的三視圖特指主視圖、俯視圖、左視圖。 主視圖：在正面內(nèi)得到的由前向后觀(guān)察物體的視圖，叫做主視圖。 俯視圖：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀(guān)察物體的視圖，叫做俯視圖。 左視圖：在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀(guān)察物體的視圖，叫做左視圖，有時(shí)也叫做側(cè)視圖。