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八年級上冊 第十一章 全等三角形 11.1 全等三角形 全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。 全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。記法： 對應：把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角。 全等三角形的性質(zhì)：1）全等三角形的對應邊相等； 2）全等三角形的對應角相等。 11.2 三角形全等的判定 全等三角形的判定： 1）三邊對應相等的兩個三角形全等。（“邊邊邊”或“SSS”）【未證】 2）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。（“邊角邊”或“SAS”）【未證】 3）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。（“角邊角”或“ASA”）【未證】 4）兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。（“角角邊”或“AAS”） 5）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。（“斜邊直角邊”或“HL”）【未證】 邊邊角之不可能：已知兩邊和其中一邊的對角相等不能判定兩三角形全等。（反例說明） 作一個角等于已知角（尺規(guī)作圖） 閱讀與思考 全等與全等三角形 全等三角形證明思路小結(jié) 11.3 角的平分線的性質(zhì) 作已知角的平分線（尺規(guī)作圖） 角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。（可以推廣） 角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。 證明幾何命題的步驟：1）明確命題中的已知和求證；2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。 數(shù)學活動 1）識別全等形；2）測量旗桿高度（不知如何操作） 第十二章 軸對稱 12.1 軸對稱 軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。這時，我們也說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱。 兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點。 線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。 圖形軸對稱的性質(zhì)：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。 軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。 線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。 線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 作已知線段的垂直平分線（尺規(guī)作圖） 12.2 作軸對稱圖形 已知圖形和對稱軸，作對稱圖形。（尺規(guī)作圖） 在直線上求一點，使之到直線同側(cè)兩點的距離之和最小。（尺規(guī)作圖） 用坐標表示對稱關系：點（x，y）關于x軸的對稱的點的坐標為（x，-y）；關于y軸對稱的點的坐標為（-x，y）。 信息技術應用 探索軸對稱的性質(zhì) 12.3 等腰三角形 等腰三角形的性質(zhì)： 1）等腰三角形的兩個底角相等。（等邊對等角） 2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一） 等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。（等角對等邊） 等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60度。 等邊三角形的判定：1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；2）有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。 等邊三角形中的全等三角形。（探索問題） 含30度角的直角三角形：在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 實驗與探究 三角形中邊與角之間的不等關系 （在同一個三角形中，大邊對大角，大角對大邊。） 數(shù)學活動 軸對稱的實例 等腰三角形中相等的線段（重要！?。。? 第十三章 實數(shù) 13.1 平方根 算術平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根。a的算術平方根記為，讀作“根號a”或“二次根號a”，a叫做被開方數(shù)。規(guī)定0的算術平方根是0. 平方根：一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根，記為。求一個數(shù)a的平方根的運算叫做開平方。開方平與平方互為逆運算。 平方根的總結(jié)：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。 13.2 立方根 立方根：一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根，記作，讀作“三次根號a”，其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)。求一個數(shù)立方根的運算叫做開立方。開立方與立方互為逆運算。 立方根的總結(jié)：正數(shù)立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負數(shù)的立方根是負數(shù)。 13.3 實 數(shù) 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)又叫做無理數(shù)。 實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。實數(shù)分類（兩種分類方法）！ 在數(shù)軸上表示一個無理數(shù)。 實數(shù)的相反數(shù)：數(shù)a的相反數(shù)是-a，此處a是任意實數(shù)。 實數(shù)的絕對值：一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對對值是0. 閱讀與思考 為什么說不是有理數(shù) 反證法，這個證明有點難，大概相當于高中的水平 數(shù)學活動 1）無理數(shù)的表示，同時引入了勾股定理；2）開三次方的實例 第十四章 一次函數(shù) 14.1 變量與函數(shù) 變量與常量：在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，不變的量為常量。 函數(shù)：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。如果當x=a時y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值。 函數(shù)的圖象：一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的毎對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象。 讀圖：大量實例說明，非常重要?。?！很多學生函數(shù)的問題就出在這里！ 描點作圖：先接觸一下，后面會逐步應用。1）列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數(shù)值）；2）描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應的各點）；3）連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑的曲線連接起來）。 信息技術應用 用計算機畫函數(shù)圖像 對函數(shù)解析式與圖象關系的理解，對由圖象了解函數(shù)的變化規(guī)律的理解（增減性）。 14.2 一次函數(shù) 正比例函數(shù)：一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)。 正比例函數(shù)的性質(zhì)：一般地，正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，）的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，我們稱它為直線y=kx。當k>0時，直線y=kx經(jīng)過第三、一象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大；當k<0時，直線y=kx經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小。 一次函數(shù)：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。當b=0時，y=kx+b即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。 一次函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的關系：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線y=kx平移｜b｜個單位長度面得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）。 一次函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，）具有如下性質(zhì)：當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小。 求已知解析式作一次函數(shù)圖像與已知圖像求一次函數(shù)解析式的方法： 閱讀與思考 科學家如何測算地球的年齡 這個有點難理解 14.3 用函數(shù)觀點看方程（組）與不等式 這一節(jié)的內(nèi)容非常重要 一元一次方程與一次函數(shù)：由于任何一個一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為0時，求相應的自變量的的值 。從圖象上看，這相當于已知直線y=ax+b，確定它與x軸交點的橫坐標的值。 一元一次不等式與一次函數(shù)：由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)值大（?。┯?時，求自變量相應的取值范圍。 二元一次方程組與一次函數(shù)：一般地，毎個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線。從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標。 14.4 課題學習 選擇方案 函數(shù)應用問題的主流內(nèi)容，要足夠深入的理解才能幫助后面二次函數(shù)應用。 數(shù)學活動 函數(shù)應用問題的全過程解析，做上兩遍就應該理解函數(shù)了。 第十五章 整式的乘除與因式分解 15.1 整式的乘法 冪的乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。（m，n都是正整數(shù)）。 冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（m，n都是正整數(shù)）。 積的乘方：積的乘方，等于把積的毎一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。 單項式與單項式相乘：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因子。 單項式與多項式相乘：就是用單項同志去乘多項式的毎一個單項式，再把所得的積相加。 多項式與多項式相乘：先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的毎一項，再把所得的積相乘。 15.2 乘法公式 平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這個兩個數(shù)的平方差。。 完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方 ，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍。。 添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號。 閱讀與思考 楊輝三角 這個看起來不太容易啊～ 15.3 整式的除法 同底數(shù)冪相除：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。（ 0次冪：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于0. 單項式相除：單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有字母的，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。 多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。 15.4 因式分解 因式分解：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。 提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 公式法：平方差公式，完全平方公式 十字相乘法： 以上公式的應用關鍵在于形式，比如把（2x-y）看作a之類的代換比較重要。 觀察與猜想 x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解 數(shù)學活動 用整式乘法去研究一些計算技巧 八年級下冊 第十六章 分式 16.1 分 式 分式：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。，其中A,B,C是整式。 約分：約對分子分母的公因式，通常要約去所有的公因式。 通分：保持分式的值不變，把兩個分式化成分母相同的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，它叫做最簡公分母。 最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。 16.2 分式的運算 分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。 分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。 分式運算的要求：1）運算結(jié)果應化為最簡分式；2）分子、分母是多項式時，先分解因式便于約分。 分式乘方：分式乘方要把分子、分母分別乘方。。 分式加減法法則：1）同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；2）異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。 。 分式運算順序：先括號，再乘方，再乘除，再加減。 整數(shù)指數(shù)冪： 整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)： 1）（m，n是整數(shù)）； 2）（m，n是整數(shù)）； 3）（m，n是整數(shù)）； 4）（m，n是整數(shù)，）； 5）（n是整數(shù)，）。 使用負指數(shù)的科學記數(shù)法：用來處理絕對值小于1的數(shù)字！ 閱讀與思考 容器中的水能倒完嗎 注意：最后水少到水分子數(shù)為1時就會有問題了。 16.3 分式方程 分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。 解分式方程的流程：1）去分母，化為整式方程；2）解整式方程；3）驗根！ 驗根：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式的方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解（叫做增根）。 數(shù)學活動 1）比例的性質(zhì)；2）間接測量；3）求的最小值（不知道怎么做的）。 第十七章 反比例函數(shù) 17.1 反比例函數(shù) 反比例函數(shù)：形如（k為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。 反比例函數(shù)的圖象：1）反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象是雙曲線；2）當k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減??；3）當k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在毎個象限內(nèi)y隨x值的增大而增大。 信息技術應用 探索反比例函數(shù)的性質(zhì) 感性認識，適當總結(jié) 17.2 實際問題與反比例函數(shù) 很容易理解，物理問題不少 閱讀與思考 生活中的反比例關系 壓強與受力面力和力；功率與速度和牽引力 數(shù)學活動 反比例函數(shù)的實例：等面積問題；等彈性系數(shù)問題 第十八章 勾股定理 18.1 勾股定理 勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么。 在數(shù)軸上表示被開方數(shù)為正整數(shù)的所有無理數(shù)。 閱讀與思考 勾股定理的證明 這是個很重要的內(nèi)容，但從沒引起重視。 18.2 勾股定理的逆定理 勾股定理之逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形。 原命題與逆命題：如果兩個命題的題設、結(jié)論正好相反，我們把這樣兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。 逆定理：一般地，如果一個定理的逆命題也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理。 注意：一個定理的逆命題不一定成立?。?！ 數(shù)學活動 勾股定理的更多證明；勾股定理一個應用：間接測量高度。 第十九章 四邊形 19.1 平行四邊形 平行四邊形：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形ABCD記作“”。 平行四邊形的性質(zhì)：1）平行四邊形的對邊相等；2）平行四邊形的對角相等；3）平行四邊形的對角線互相平分。 平行四邊形的判定： 1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形； 2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 3）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形； 4）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； 5）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。 三角形中位線定理之逆定理：（課本沒有講，可以提出并由學生證明）?。?！ 兩條平行線間的距離：兩條平行線間最短的線段的長度叫做兩條平行線間的距離。 閱讀與思考 平行四邊形法則 可以引申到逆流速度問題 19.2 特殊的平行四邊形 矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。 矩形的性質(zhì)：1）矩形的四個角都是直角；2）矩形的對角線相等；3）矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。 定理：直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半。（也可以在圓里證明） 矩形的判定：1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；2）對角線相等的平行四邊形是矩形；3）有三個角是直角的四邊形是矩形。 菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 菱形的性質(zhì)：1）菱形的四條邊都相等；2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且毎一條對角線平分一組對角。 菱形面積公式：（a、b是菱形對角線長）【例題中出現(xiàn)】 菱形的判定：1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；3）四邊相等的四邊形是菱形。 正方形的類屬：正方形既是矩形，又是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì)。 正方形，矩形，菱形，平行四邊形之間的關系?！緦W生總結(jié)】 實驗與探究 巧拼正方形 四邊形與三角形知識的一個綜合應用，很有意義。 19.3 梯 形 梯形：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。 等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。 直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形。 等腰梯形的性質(zhì)：1）等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；2）等腰梯形的兩條對角線相等。 等腰梯形的判定：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。 觀察與猜想 平面直角坐標系中的特殊四邊形 對特殊四邊形性質(zhì)和判定的深入理解。 19.4 課題學習 重心 平行四邊形的重心：平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點。 三角形的重心：三角形的三條中線交于一點，這一點就是三角形的重心。 任意多邊形的重心：由懸掛法得到。 數(shù)學活動 1）折角，三角形和四邊形知識的綜合應用；2）黃金矩形，黃金分割的簡介。3）中心點四邊形，三角形中位線及以特殊四邊形性質(zhì)和判定的應用。 本章一個重點：四邊形的分類，及各類的關系。 第二十章 數(shù)據(jù)的分析 20.1 數(shù)據(jù)的代表 算術平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)（權(quán)的含意），中位數(shù)，眾數(shù)。理解這些指標的實際意義，并能在實例中應用。 三者比較：平均數(shù)的計算要用到所有數(shù)據(jù)，它能夠充分利用數(shù)據(jù)提供的信息，因此在現(xiàn)實生活中較為常用，但它受極端值的影響較大。當一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)時，眾數(shù)往往是人們關心的一個量，眾數(shù)不易受極端值的影響。中位數(shù)只需要很少的計算，它也不易受極端值的影響。 極端值：極端值是一組數(shù)據(jù)中與其余數(shù)據(jù)差異很大的數(shù)據(jù)。 20.2 數(shù)據(jù)的波動 極差：一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差。極差能夠反應數(shù)據(jù)變化的范圍。 方差：一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)叫做方差，一般記作。方差表示數(shù)據(jù)的波動性，方差越大，數(shù)據(jù)的波動性越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動性越小。 信息技術應用 用計算機求幾種統(tǒng)計量 閱讀與思考 數(shù)據(jù)波動的幾種度量 極差，平均差，方差，標準差的比較。 20.3 課題學習 體質(zhì)健康測試中的數(shù)據(jù)分析 一個完整的統(tǒng)計實例，很重要。 數(shù)學活動 統(tǒng)計實務