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從高考解幾題談求參數(shù)取值范圍的九個背景 解析幾何中確定參數(shù)的取值范圍是一類轉(zhuǎn)為常見的探索性問題，歷年高考試題中也常出現(xiàn)此類問題。由于不少考生在處理這類問題時無從下手，不知道確定參數(shù)范圍的函數(shù)關(guān)系或不等關(guān)系從何而來，本文通過一些實例介紹這類問題形成的幾個背景及相應(yīng)的解法，期望對考生的備考有所幫助。 背景之一：題目所給的條件 利用題設(shè)條件能溝通所求參數(shù)與曲線上點的坐標(biāo)或曲線的特征參數(shù)之間的聯(lián)系，建立不等式或不等式組求解。這是求范圍問題最顯然的一個背景。 例1：橢圓的焦點為F1、F2，點P(x, y)為其上的動點，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是___。 解：設(shè)P(x1, y)，∠F1PF2是鈍角cos∠F1PF2 = 。 說明：利用∠F1PF2為鈍角，得到一個不等式是解題的關(guān)鍵。把本題特殊化就可以得到2000年全國高考題理科第14題： 橢圓的焦點為F1、F2，點P為其上的動點，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標(biāo)的取值范圍是__________。 （答案為 x，） 例2：（2000年全國高考題理科第22題）如圖，已知梯形ABCD中，=2，點E分有向線段AC所成的比為，雙曲線過點C、D、E三點，且以A、B為焦點。當(dāng)時，求雙曲線離心率e的取值范圍。 解：如圖，以線段AB的垂直平分線為 y 軸。因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且與A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)y軸對稱，依題意，記A，C(，h)，E(x0，y0), 其中c =為雙曲線的半焦距，h是梯形的高。 由定比分點坐標(biāo)公式得：x0==，y0=。 設(shè)雙曲線方程為－=1，則離心率e =。 由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標(biāo)和e =代入雙曲線方程得 ① ② 由①式得 ③ 將③式代入②式，整理得： ∴ 說明：建立與e的函數(shù)關(guān)系式，再利用已知的范圍，即可求得e的范圍。 背景之二：曲線自身的范圍 圓、橢圓、雙曲線及拋物線都有自身的范圍，如橢圓>b>0) 中，x，利用這些范圍是確定參數(shù)范圍的途徑之一。 例3：（2002年全國高考題）設(shè)點P到點M(－1，0)、N(1，0)距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍。 解：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，由題設(shè)得，即y = ① 由于x，所以點P(x，y)、M(－1，0)、N(1，0)三點不共線，得 因此，點P在以M、N 為焦點，實軸長為2的雙曲線上，故 =1 ② 將①式代入②，解得 由且，得，又m ∴(0, 說明：P到x軸、y軸距離之比為2，所以P不能在x軸上，由此得到m，這一隱含條件容易忽視。 例4：（2004年全國卷Ⅲ理科21題 文科22題）設(shè)橢圓的 兩個焦點是F1(－c, 0)與F2(c, 0) (c > 0)，且橢圓上存在一點P，使得直線PF1與PF2垂直。 (1)求實數(shù)m的取值范圍； (2)設(shè)l相應(yīng)于焦點F2的準(zhǔn)線，直線PF2與l相交于Q，若，求直線PF2的方程。 解：(1)依題設(shè)有m＋1>1,即m > 0，c =,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0, y0)，由PF⊥PF2 ，得 ① 將①與聯(lián)立，解得x 由此得 故m, +) (2)答案為y =() (x-) ( 解答略) 背景之三：二次方程有解的條件 直線和圓錐曲線的關(guān)系，是解析幾何中最常見的關(guān)系，它們聯(lián)立消元后所得的判別式非負(fù)是直線和圓錐曲線有公共點的充要條件；若有限制條件，則還應(yīng)考慮根的分布情況等，這是確定參數(shù)取值范圍的一個常見背景。 例5：（全國高考題）給定雙曲線x２－= 1，過點B(1，1)能否作直線 l，使l與所給雙曲線交于P1及P2，且點B是線段P1P2的中點？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由。 解：畫出圖像知，當(dāng)直線斜率不存在時，滿足題設(shè)條件的l不存在。 當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)為k，則l方程為y = k(x－1)＋1，聯(lián)立，得。 設(shè) 。 故滿足已知條件的直線l不存在。 例6：（2004年湖北省高考題理科20題 文科20題）直線與雙曲線的右支交于不同的兩點A、B。 (1)求實數(shù)k的取值范圍； (2)是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。 解：(1)將直線代入雙曲線方程，并整理得 依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故 (2)答案是存在滿足題設(shè)。 說明：問題(1)涉及到直線與雙曲線右支相交的問題，轉(zhuǎn)化為方程有不等 的兩正根，由方程根的分布的充要條件建立不等式組即可。 背景之四：已知變量的范圍 利用題中給出的某個已知變量的范圍，或由已知條件求出某個變量的范圍，然后找出這個變量與欲求的參變量之間的關(guān)系，進(jìn)而求解。 1、雙參數(shù)中知道其中一個參數(shù)的范圍； 例7：（2004年浙江省高考題理科21題 文科22題）已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A(1, 0)，點P、Q在雙曲線的右支上，點M(m, 0)到直線AP的距離為1。 (1)若直線AP的斜率為k，且，求實數(shù)m的取值范圍； (2)當(dāng)時，的內(nèi)心恰好是點M，求此雙曲線的方程 解：(1)由條件知直線AP的方程為，因為點 M到直線AP的距離為1，所以。 ∵ ∴ 故 (2)答案是（解答略） 例8：（2004年全國高考卷Ⅱ理科21題）給定拋物線，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點。 (1)設(shè)l的斜率為1，求的夾角的大??； (2)設(shè)，求l在y軸上截距m的變化范圍。 解：(1)答案為（解答略）。 (2)F(1, 0), 設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2), 由題設(shè), 得 ， 即 由得②得 ∵ ∴ ③ 聯(lián)立①、③解得，依題意有 ∴得直線l方程為： 當(dāng)時，方程l在y軸上的截距。 由，可知在上是遞減的。 ∵ ∴。 故直線l在y軸上截距m的變化范圍是。 說明：例7和例8都是已知一個變量的范圍求另一變量的范圍，可先利用題設(shè)條件建立變量的關(guān)系式，將所求變量和另一已知變量分離，得到函數(shù)關(guān)系，再由已知變量的范圍求出函數(shù)的值域，即為所求變量的范圍。這類背景也可歸結(jié)為背景一。 2、雙參數(shù)中的范圍均未知 例9：（2004年全國卷Ⅰ文2 理21）設(shè)雙曲線與直線相交于不同的點A、B。 (1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍； (2)設(shè)直線l與y軸的交點為P，且，求a的值。 解：(1)由C與l相交于兩個不同的點，故知方程有兩個不同的實數(shù)解，消去y并整理得： 由 ∴雙曲線的離心率 ∵ ∴ 故 (2)略 說明：先求出a的范圍，再建立e與a的函數(shù)關(guān)系式，即可求出e的范圍。 例10：直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，直線l經(jīng)過點和AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍。 解：由方程組，消去y得： 設(shè)，AB中點，則有： ∵ 設(shè)直線l的方程為，則有，它在上單調(diào)遞減。 ∵ ∴ 說明：這類問題可先求出一個變量的范圍，另一個變量范圍就相應(yīng)可求出來了。 背景之五：點在圓錐曲線內(nèi)域或外域的充要條件 如果我們規(guī)定圓錐曲線包含焦點的區(qū)域稱為圓錐曲線的內(nèi)域，同時坐標(biāo)平面被圓錐曲線所劃分的另一部分稱為圓錐曲線的外域，則點，在 橢圓內(nèi)（外）域的充要條件是；點在雙曲線內(nèi)（外）域的充要條件是；點在拋物線的內(nèi)（外）域的充要條件是。以這些充要條件為背景的范圍問題利用上述不等式可獲解。 例11：（1986年全國高考題）已知橢圓，試確定m的取 值范圍，使得對于直線，橢圓C上有不同的兩點P，Q關(guān)于該直線對稱。 解：設(shè)中點，則： ① ② ①－②得， = ③ 又 ④ 由③、④解得 又點在橢圓內(nèi)部 ∴，即。 背景之六：三角形兩邊之和大于第三邊 橢圓或雙曲線上一點與它們的兩個焦點的構(gòu)成一個三角形，具有這一背景的問題往往可以利用三角形兩邊之和大于第三邊產(chǎn)生的不等式來確定參數(shù)的范圍。 例12：已知雙曲線的左、右兩個焦點分別為F1、 F2，左準(zhǔn)線為l，在雙曲線的左支上存在點P，使|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項，求離心率e的取值范圍。 解：由|PF1|2 = d |PF2| 又|PF2| = 2a＋|PF1| ③ 由①、③得|PF1||PF2| 在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2||F1F2|，即 。 說明：因為P點還可能在雙曲線頂點上，所以|PF1|＋|PF2||F1F2|。 背景之七：參數(shù)的幾何意義 解析幾何是一門數(shù)與形相結(jié)合的學(xué)科，其中許多的變量都有十分明顯的幾何意義，以此為背景的范圍問題只要抓住了參數(shù)的幾何意義都可以達(dá)到目的。 例13：橢圓C的上準(zhǔn)線是拋物線的準(zhǔn)線，且C經(jīng)過這條拋物 線的焦點，橢圓的離心率，求橢圓的長半軸a的范圍。 解：設(shè)橢圓的上焦點為F(x, y)，由定義知， 。故橢圓上焦點F的軌變是以A(0, －1)為圓心，半徑為1的圓。 由此易知焦點F到準(zhǔn)線y = 1的距離p的范圍是。 又 ∴ 背景之八：平均值不等式 解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)。利用代數(shù)基本不等式是求范圍的又一方法。 例14：已知直線l過定點A(3, 0)，傾斜角為，試求的范圍，使得曲線的所有弦都不能被直線l垂直平分。 解：當(dāng)直線的斜率為0或不存在時，符合題意。 設(shè)直線l的方程為，被它垂直平分的弦的兩端點為，，則BC中點P。 當(dāng)線段BC被l垂直平分時，有 。 ∴符合題意的直線斜率。 ∴。 說明：本題的求解利用補(bǔ)集法，即先求弦能被l垂直平分的直線l的斜率，取其補(bǔ)集就是滿足題設(shè)的斜率，再利用斜率和傾斜角的關(guān)系，就可以求出的范圍。 背景之九：目標(biāo)函數(shù)的值域 要確定變量k的范圍，可先建立以k為函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，從而使這種具有函數(shù)背景的范圍問題迎刃而解。 例15：是橢圓上任一點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，求|PF1||PF2|的取值范圍。 解：∵|PF1|＋|PF2| = 2a ∴|PF1||PF2| = |PF1|(2a－|PF1|) =－(|PF1|－a)2＋a2 又∵ ∴當(dāng)時, 有最小值b2; 當(dāng)時, |PF1||PF2|有最大值a2。 故|PF1||PF2|的取值范圍是。 例16：（2004年福建省高考題理科22題）如圖，P是拋物線上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q。 (1)若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌變方程； (2)若直線l不過原點且x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍。 解：(1)設(shè)，依題意有。 由 ∴過點P的切線的斜率為 ∵不合題意 ∴ ∴直線l的斜率 ∴直線l的方程為 聯(lián)立直線l和拋物線方程，消去y，得 ∵M(jìn)是PQ的中點 ∴ 消去x1，得 ∴PQ中點M的軌跡方程為。 (2)設(shè)直線l的方程為，依題意，分別過P、Q作軸，軸，垂足分別為、，則 由 ① ∴ 方法1：∴ ∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù) ∴的取值范圍是 方法2：∴ 當(dāng)時， 當(dāng)時， 又由方程①有兩個相異實根，得 ，于是，即 所以 ∵當(dāng)時，可取一切正數(shù) ∴的取值范圍是 說明：利用圖形找到與P、Q兩點縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，是快速求解第(2)個問題的關(guān)鍵。