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第3課時　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 1.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算,并能用運算律進行復(fù)數(shù)的四則運算. 2.能根據(jù)所給運算的形式選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行復(fù)數(shù)的四則運算. 兩個多項式可以進行乘除法運算,例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;對于兩個復(fù)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),能像多項式一樣進行乘除法運算嗎? 問題1:結(jié)合多項式乘法運算的特點,說明復(fù)數(shù)乘法運算有哪些特點? (1)復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法類似,只是在運算過程中把i2換成　　　　,然后實部、虛部分別合并; (2)兩個復(fù)數(shù)的積仍是一個復(fù)數(shù); (3)復(fù)數(shù)的乘法與實數(shù)的乘法一樣,滿足交換律、結(jié)合律及分配律; (4)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),實數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍然成立. 問題2:什么是共軛復(fù)數(shù)? 一般地,當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的　　　　　　　　　　　　　　時,這兩個復(fù)數(shù)叫作互為共軛復(fù)數(shù). 問題3:怎樣進行復(fù)數(shù)除法運算? 復(fù)數(shù)的除法首先是寫成分?jǐn)?shù)的形式,再利用兩個互為共軛復(fù)數(shù)的積是一個實數(shù),將分母化為實數(shù),從而化成一個具體的復(fù)數(shù). 問題4:復(fù)數(shù)的四種基本運算法則 (1)加法:(a+bi)+(c+di)=　　　　　　　　; (2)減法:(a+bi)-(c+di)=　　　　　　　　; (3)乘法:(a+bi)(c+di)=　　　　　　　　; (4)除法:(a+bi)(c+di)==　　　　　　(c+di≠0). 1.i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=的虛部是(　　). A.0　　　　　　　　　B.-1　　　　　　　　C.1　　　　　　　　　D.2 2.復(fù)數(shù)z1=3+i,z2=1-i,則z=z1z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于(　　). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知復(fù)數(shù)z與(z+2)2-8i均是純虛數(shù),則z=　　　　. 4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i(z+1)=-3+2i(i為虛數(shù)單位),試求z的實部. 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算 計算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i; (3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i) (4)(1-i)3. 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算 計算:(1)(1+2i)(3-4i); (2); (3)(+i)4+. 復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用 已知|z|2+(z+)i=(i為虛數(shù)單位),試求滿足條件的z. 計算:(1)(1-i)2; (2)(-+i)(+i)(1+i). 計算: (1); (2)+. 若關(guān)于x 的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有純虛數(shù)根,求實數(shù)t的值和該方程的根. 1.復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),則|z|等于(　　). A.25 B. C.5 D. 2.i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)+(1+2i)2等于(　　). A.-2-5i B.5-2i C.5+2i D.-2+5i 3.若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2,則復(fù)數(shù)z=　　　　. 4.計算:+()2014. 　　(2014年山東卷)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),則(a+bi)2=(　　). A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 　　考題變式(我來改編): 第3課時　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 知識體系梳理 問題1:(1)-1 問題2:實部相等,虛部互為相反數(shù) 問題4:(1)(a+c)+(b+d)i　(2)(a-c)+(b-d)i (3)(ac-bd)+(ad+bc)i　(4)+i 基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流 1.B　∵z===-i,∴虛部為-1,故選B. 2.D　z=z1z2=(3+i)(1-i)=4-2i. 3.-2i　設(shè)z=bi(b∈R),則(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依題意得解得b=-2. 所以z=-2i. 4.解:(法一)∵i(z+1)=-3+2i, ∴z=-1=-(-3i-2)-1=1+3i, 故z的實部是1. (法二)令z=a+bi(a、b∈R), 由i(z+1)=-3+2i, 得i[(a+1)+bi]=-3+2i, -b+(a+1)i=-3+2i, ∴a+1=2,∴a=1. 故z的實部是1. 重點難點探究 探究一:【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(-2+11i+5)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i. (3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i) =(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i) =(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2) =47-39i. (4)(1-i)3=13-312i+31i2-i3 =1-3i-3-(-i)=-2-2i. 【小結(jié)】三個或三個以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運算或利用結(jié)合律運算,混合運算與實數(shù)的運算順序一樣,對于能夠使用乘法公式計算的兩個復(fù)數(shù)的乘法,用乘法公式更簡捷,如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等. 　　探究二:【解析】(1)(1+2i)(3-4i)= == =-+i. (2)(法一)原式= ==1. (法二)原式= ==1. (3)原式=[(+i)2]2+ =(-+i)2-=--i+i- =(--)+(-)i. 【小結(jié)】進行復(fù)數(shù)的運算,除了應(yīng)用四則運算法則之外,對于一些簡單算式要知道其結(jié)果,這樣可方便計算,簡化運算過程,比如=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i,a+bi=i(b-ai),=i,等等. 運算方法要靈活,有時要巧妙運用相應(yīng)實數(shù)系中的乘法公式,比如第(2)題中的解法一. 　　探究三:【解析】原方程化簡為|z|2+(z+)i=1-i, 設(shè)z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i, ∴∴ ∴原方程的解為z=-i. 【小結(jié)】對于此類復(fù)數(shù)方程我們一般是設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=x+yi(x,y∈R),然后將其代入給定方程,利用復(fù)數(shù)四則運算將其整理,然后利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來求解. 思維拓展應(yīng)用 應(yīng)用一:(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i. (2)(-+i)(+i)(1+i) =[(--)+(-)i](1+i) =(-+i)(1+i) =(--)+(-)i =-+i. 　　應(yīng)用二:(1)= === ==1-i. (2)+=+=i-i=0. 　　應(yīng)用三:設(shè)x=ai(a∈R且a≠0)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一個純虛根,將其代入方程可得(ai)2+(t2+3t+tai)i=0,∴-a2-at+(t2+3t)i=0,由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得∴故t=-3,方程的兩個根為0或3i. 基礎(chǔ)智能檢測 1.C　z==-4-3i,所以|z|=5. 2.D　+(1+2i)2=+4i-3=5i-2. 3.1-i　z===1-i. 4.解:原式=+(-i)2014=-i-1. 全新視角拓展 D　先由共軛復(fù)數(shù)的條件求出a,b的值,再求(a+bi)2的值.由題意知a-i=2-bi,∴a=2,b=1,∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.