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1．1集合的含義與表示 李寧 陜西師范大學附屬中學 710061 【教材版本】北師大版 【教材分析】 1．知識內容與結構分析 集合論是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要的基礎．在高中數(shù)學中，集合的初步知識與其他內容有著密切的聯(lián)系，是學習、掌握和使用數(shù)學語言的基礎，集合論以及它所反映的數(shù)學思想在越來越廣泛的領域中得到應用．課本從學生熟悉的集合（自然數(shù)集合、有理數(shù)的集合等）出發(fā)，結合實例給出了元素、集合的含義，學生通過對具體實例的抽象、概括發(fā)展了邏輯思維能力． 2．知識學習意義分析 通過自主探究的學習過程，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系，能選擇合適的語言描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用． 3．教學建議與學法指導 由于本節(jié)新概念、新符號較多，雖然內容較為淺顯，但不應講得過快，應在講解概念的同時，讓學生多閱讀課本，互相交流，在此基礎上理解概念并熟悉新符號的使用．通過問題探究、自主探索、合作交流、自我總結等形式，調動學生的積極性． 【學情分析】 在初中，學生學習過一些點的集合或軌跡，如：平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合（圓）；到一條線段的兩個端點的距離相等的點的集合（線段的垂直平分線）．這對學生學習本節(jié)課的知識有一定的幫助，只不過現(xiàn)在我們要把這個“集合”推廣，它不僅僅是點的集合或圖形的集合，而是“指定的某些對象的全體”．集合語言是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言，使用這種語言，不僅有助于簡潔、準確地表達數(shù)學內容，還可以用來刻畫和解決生活中的許多問題．學習集合，可以發(fā)展同學們用數(shù)學語言進行交流的能力． 【教學目標】 1．知識與技能 （1）學生通過自主學習，初步理解集合的概念，理解元素與集合間的關系，了解集合元素的確定性、互異性，無序性，知道常用數(shù)集及其記法； （2）掌握集合的常用表示法——列舉法和描述法． 2．過程與方法 通過實例了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系，能選擇合適的語言（如自然語言、圖形語言、集合語言）描述不同的具體問題，提高語言轉換和抽象概括能力，樹立用集合語言表示數(shù)學內容的意識． 3．情態(tài)與價值 在掌握基本概念的基礎上，能夠解決相關問題，獲得數(shù)學學習的成就感，提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的應用意識． 【重點難點】 1．教學重點：集合的基本概念與表示方法． 2．教學難點：選擇合適的方法正確表示集合． 【教學環(huán)境】 ◆多媒體教室 ◆課件 【教學思路】 通過實例以及學生熟悉的數(shù)集，引入集合的概念，進而給出集合的表示方法，學生通過自我體會、自主學習、自我總結達到掌握本節(jié)課內容的目的．教學過程按照“提出問題——學生討論——歸納總結——獲得新知——自我檢測”環(huán)節(jié)安排． 【教學過程】 一、導入新課 師： 同學們，我們在初中時最開始接觸到的有理數(shù)的分類大家應該還很熟悉．下面我們來看一個當時我們常見的很簡單的題目： 問題1： 將下列各數(shù)填入相應的圖形中： 正整數(shù) 負整數(shù) 正分數(shù) 負分數(shù) 生： 正整數(shù) 負整數(shù) 正分數(shù) 負分數(shù) 師：在上面的問題中，我們將給定的一些數(shù)按“正整數(shù)、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)”分類，具有相同性質的數(shù)“集中”在了一起． 我再來說這樣一句話：“今天下午所有的女同學留下來．”那么誰應該留下來應該很清楚了．剛才這兩個問題是否讓大家想起了一個熟悉的成語呢？ 生：“物以類聚，人以群分”． 二、新知探究 （一）集合的含義 “物以類聚，人以群分”，應該指的是：把指定的所有的“物”聚在一起，或所有的“人”分在一起．在數(shù)學上，我們把它叫做“集合”． 1、集合——指定的某些對象的全體稱為集合．集合常用大寫字母A，B，C，D，…標記． 2、元素——集合中的每個對象叫做這個集合的元素．元素常用小寫字母a，b，c，d，…標記． 例如：在問題1中，-3和-7組成了負整數(shù)的集合，可以記為A，-3、-7都是它的元素；小于10的素數(shù)集合可以記為B，它的元素為2、3、5、7． 3、元素與集合的關系：給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素就確定了． 若元素a在集合A中，就說元素a屬于集合A，記作 a∈A ； 若元素a不在集合A中，就說元素a不屬于集合A，記作aA ． 例如：在上述的素數(shù)問題中，2∈B，6B． 4、集合元素的特征 （1）確定性；（2）互異性；（3）無序性． 5、數(shù)的集合簡稱數(shù)集．下面是一些常用的數(shù)集及其記法： 自然數(shù)組成的集合簡稱自然數(shù)集，記作N ； 正整數(shù)組成的集合簡稱正整數(shù)集，記作N+ ； 整數(shù)組成的集合簡稱整數(shù)集，記作Z ； 有理數(shù)組成的集合簡稱有理數(shù)集，記作Q ； 實數(shù)組成的集合簡稱實數(shù)集，記作R． 例如：0∈N，0．618∈Q，， 等． 6、有限集、無限集、空集 有限集——含有限個元素的集合叫有限集． 無限集——含無限個元素的集合叫無限集． 空集——不含有任何元素的集合叫做空集．記作． （二）集合的常用表示法 1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內的方法． 例如:①小于10的素數(shù)集合可以記為B，用列舉法可以表示為：B=； ②“中國的直轄市”構成的集合：{北京,天津,上海,重慶}； ③由“maths中的字母” 構成的集合：{m,a,t,h,s}； ④從51到100的所有整數(shù)組成的集合：{51，52，53，…，100}； ⑤所有正奇數(shù)組成的集合：{1，3，5，7，…}． 注意：a與{a}不同：a表示一個元素，{a}表示一個集合，該集合只有一個元素。 2、描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法． 例如：①大于3小于10的實數(shù)組成的集合：或； （注：若一個集合中的元素都是實數(shù)范圍內的，可寫成第二種形式） ②“平面直角坐標系中第二象限的點” 組成的集合{（x,y）| x<0且y>0}； ③“方程x2+5x-6=0的實數(shù)解” 組成的集合{x| x2+5x-6=0}； ④“中國的直轄市”構成的集合，寫成{為中國的直轄市}； ⑤“maths中的字母” 構成的集合，寫成{為maths中的字母}． 注：（1）有的集合可以用列舉法表示，也可以用描述法表示。有的集合則不是用兩種均可表示的；（2）在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分。如：{直角三角形}；{大于10的實數(shù)}． 三、例題講解 例1 用列舉法表示下列集合： （1）由大于3小于10的整數(shù)組成的集合； （2）方程的解的集合． 解：（1）由大于3小于10的整數(shù)組成的集合用列舉法可表示為：； （2）方程的解的集合用列舉法可表示為：． 例2 用描述法表示下列集合： （1）小于10的所有有理數(shù)組成的集合； （2）所有偶數(shù)組成的集合； （3）． 解：（1）小于10的所有有理數(shù)組成的集合用描述法可表示為：； （2）偶數(shù)是能被2整除的數(shù)，可以寫成的形式，因此，偶數(shù)的集合用描述法可表示為：； (3) 這個集合用描述法可表示為：． 四、課堂練習 1、課本練P5練習． 2、用描述法表示集合：（1）；（2）方程組的解． 3、用描述法分別表示： （1）拋物線y=x2上的點；（2）拋物線y=x2上點的橫坐標；（3）拋物線y=x2上點的縱坐標． 五、課時小結 1、集合的概念； 2、集合元素與集合間的關系，元素的三要素； 3、常用數(shù)集的記法； 4、集合的表示——列舉法和描述法． 六、作業(yè)布置 1、 P6 A組題：2、3、4 2、思考：P6 B組題