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24.4弧長和扇形面積教學(xué)設(shè)計 （第二課時）圓錐的側(cè)面積和全面積 汪義元 設(shè)計理念 本節(jié)課主要內(nèi)容是探測圓錐的側(cè)面積公式和全面積公 式，并能利用圓錐的側(cè)面積公式和全面積公式解決實際問題.本課采取以學(xué)生為中心，在整個教學(xué)過程中由教師擔(dān)任組織者、指導(dǎo)者、幫助者和促進(jìn)者，利用情境、協(xié)作、會話等學(xué)習(xí)環(huán)境充分調(diào)動學(xué)生的主動性、積極性和創(chuàng)新精神，最終實現(xiàn)在學(xué)生自主活動、主動探索、合作交流、親身體驗的基礎(chǔ)上來建構(gòu)新知識。除了知識與技能的學(xué)習(xí)和掌握外，本節(jié)課更注重如何在課堂教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生的主體意識、創(chuàng)新精神和實踐能力的發(fā)展。 教學(xué)內(nèi)容 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》（新人教版）九年級上冊24章第四節(jié)第二課時。 教學(xué)目標(biāo) 知識與技能： （1）使學(xué)生了解圓錐的特征，了解圓錐的側(cè)面、底面、高、母線等概念，并知道圓錐的側(cè)面展開圖是扇形； （2）使學(xué)生會計算圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角大?。? （3）使學(xué)生會計算圓錐的側(cè)面積和全面積。 過程與方法： （1）通過探究圓錐的形成過程，讓學(xué)生理解圓錐側(cè)面積和全面積的計算方法； （2）通過教學(xué)互動，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力，理解并掌握研究實際問題的方法。 情感態(tài)度與價值觀： （1）通過圓錐的實物觀察及有關(guān)概念的歸納向?qū)W生滲透“實踐出真知”的觀念； （2）應(yīng)用圓錐側(cè)面積展開圖的計算解決實際問題，向?qū)W生滲透理論聯(lián)系實際的觀點； （3）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié)作的習(xí)慣。 學(xué)情與教材分析 本課是在學(xué)生小學(xué)學(xué)過圓錐的初步認(rèn)識和前兩節(jié)學(xué)過的弧長和扇形面積的有關(guān)計算及圓柱的側(cè)面展開圖的基礎(chǔ)上，從圓錐的形成過程描述了圓錐的特征，給出了圓錐的母線、高的概念，指明它的側(cè)面展開圖是一個扇形，而該扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐底面圓的周長，然后通過例題說明圓錐有關(guān)面積及計算。針對初中生探求欲望高，表現(xiàn)欲強的年齡特征，我把此課設(shè)計成探索式、互動式的，以期激發(fā)學(xué)生的主體意識和學(xué)習(xí)興趣。 教學(xué)重點 1．經(jīng)歷探索圓錐側(cè)面積計算公式的過程． 2．了解圓錐的側(cè)面積計算公式，并會應(yīng)用公式解決問題． 教學(xué)難點 經(jīng)歷探索圓錐側(cè)面積計算公式．曲面問題轉(zhuǎn)化為平面問題。（也就是母線和底面周長和展開扇形半徑與弧長之間的對應(yīng)關(guān)系） 教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)演示總結(jié) 學(xué)習(xí)方法 觀察交流探究歸納 教具準(zhǔn)備 圓錐模型(紙做)扇形紙片剪刀 雙面膠、長方形白紙 教學(xué)課件 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)鞏固及導(dǎo)入。 1、弧長為8∏，半徑為16的弧所對的圓心角是多少？2、面積為8∏，圓心角為45的扇形的半徑是？[師]展示問題，關(guān)注學(xué)生的熟練程度。 二．檢測先學(xué)。 1﹑[師]提問題： 生活中你都見過哪些圓錐？（出示幻燈片,帶著優(yōu)美的音樂進(jìn)入了蒙古大草原,看到了雪白的蒙古包,讓學(xué)生看到雪白的蒙古包感受到圓錐的存在.） 2、通過預(yù)習(xí)和圖片觀察，談?wù)勀銓A錐的認(rèn)識？（主要是結(jié)構(gòu)與組成） 3、通過自學(xué)，談你都知道哪些得到圓錐的辦法?[生]各述己見、互相補充。 [師]出示圓錐形模型，提問：“漂亮嗎？你能用手上的長方形白紙折疊出這種圓錐形模型嗎？”學(xué)生先認(rèn)真觀察圓錐形，再嘗試用手中的長方形白紙折疊圓錐形模型。（學(xué)生制作可能有難度，此時需要教師引導(dǎo)） 設(shè)計意圖：初步嘗試、體驗，產(chǎn)生懸念，造成認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)生興趣，使學(xué)生產(chǎn)生強烈的求知欲望。 三﹑分析問題，主動探究 老師導(dǎo)入：為了制作這種圓錐形模型，我們首先要對圓錐有個整體認(rèn)識——結(jié)合實物介紹圓錐的底面、側(cè)面、母線、高等概念。(學(xué)生邊聽、邊理解、邊記憶) （設(shè)計意圖：學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)初步認(rèn)識了圓錐，但對底面、側(cè)面，尤其是母線、高等概念的理解可能還不是很到位，在此通過實物對這些概念作一簡介，既形象又直觀，學(xué)生易于接受，這就為后面的探究和推導(dǎo)展開扇形的圓心角公式和圓錐的側(cè)面積公式做好了準(zhǔn)備。） 讓一位學(xué)生把老師手上的圓錐形模型沿圓錐的一條母線剪開，然后用雙面膠粘貼在黑板上，老師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察得出圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。 老師在學(xué)生動手和歸納的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步設(shè)問：“怎樣才能制作出這種圓錐形的小帽子？” （設(shè)計意圖：通過學(xué)生動手，主動探索出圓錐的側(cè)面展開圖為扇形。再次設(shè)問是為了進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的求知欲。） 老師引導(dǎo)：學(xué)生觀察、分析、比較出展開扇形與圓錐的關(guān)系（可作幾次演示，讓學(xué)生有意識地觀察）。 學(xué)生分組討論，合作探究出展開的扇形半徑、弧長與圓錐的母線，底面周長的關(guān)系。 （設(shè)計意圖：新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：要關(guān)注全體學(xué)生的發(fā)展，促使學(xué)生形成積極主動的學(xué)習(xí)態(tài)度。這里讓學(xué)生通過比較、討論、合作探索出展開扇形與圓錐間的內(nèi)在聯(lián)系，即扇形半徑?圓錐母線，扇形弧長?圓錐底面周長。知道這種對應(yīng)關(guān)系是整節(jié)課的關(guān)鍵，這里老師應(yīng)注意充分調(diào)動全班各層次學(xué)生，尤其是所謂“差生”的學(xué)習(xí)積極性，使他們都能爭先恐后地發(fā)表自己的見解，體驗探索活動的樂趣和成功的快感，從而樹立學(xué)習(xí)的自信心。） 四 建構(gòu)新知，解決問題 首先，老師給出數(shù)量特例，如何制作母線長a＝15cm，底面半徑r＝5cm的圓錐形帽子？ 學(xué)情預(yù)設(shè)：（1）學(xué)生剛開始可能無從下手，老師應(yīng)先引導(dǎo)：“要制作這種圓錐形帽子，首先要畫出這個圓錐的側(cè)面展開圖。（2）有的學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)：扇形的半徑等于圓錐的母線a＝15cm，但不知道扇形的圓心角，所以要制作這種模型的關(guān)鍵是求出扇形的圓心角。（3）老師先鼓勵和表揚這些學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生再次認(rèn)識扇形弧長與圓錐底面周長的對應(yīng)關(guān)系，再通過這種對應(yīng)關(guān)系列出式子： （設(shè)計意圖：從新知識的生長點設(shè)疑，促進(jìn)學(xué)生從“最近發(fā)展區(qū)”向現(xiàn)實發(fā)展水平轉(zhuǎn)化，也為學(xué)生探究一般規(guī)律，得出公式） 拓展思路。 然后讓學(xué)生動手制作a＝15cm，r＝5cm的圓錐形模型（同桌學(xué)生可以合作討論，共同制作）。 老師拿著已制作好的a＝15cm，r＝5cm的圓錐形模型巡視，并作適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和鼓勵，讓學(xué)生把制作好的模型套在老師的模型上驗證，評價學(xué)生的勞動成果。 〖設(shè)計意圖：通過學(xué)生的動手操作、親身體驗，使學(xué)生在獲得新知和培養(yǎng)實踐能力的同時體驗成功的快感，增強學(xué)習(xí)的興趣?！? 老師再進(jìn)一步設(shè)疑：“你能推導(dǎo)出圓心角的一般公式嗎？” 首先引導(dǎo)學(xué)生去猜想、討論，老師再對上述特例作適當(dāng)點撥，使學(xué)生領(lǐng)悟。學(xué)生再分組討論交流，在老師的引導(dǎo)下抓住扇形弧長等于圓錐底面周長，推導(dǎo)出公式：。 在學(xué)生推導(dǎo)完公式后，師生再共同歸納推導(dǎo)方法。 （設(shè)計意圖：誘導(dǎo)學(xué)生主動探究，通過學(xué)生的猜想、論證，激發(fā)思維活動，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣。） 老師再次設(shè)問：要制作母線a＝15cm，底面半徑r＝5cm的圓錐形模型需要多少材料？如何計算圓錐的側(cè)面積？學(xué)生根據(jù)條件嘗試進(jìn)行計算，通過討論，并在老師適當(dāng)引導(dǎo)下得出公式：S圓錐側(cè)＝πra。 在學(xué)生推導(dǎo)完圓錐側(cè)面積公式后，老師引導(dǎo)學(xué)生與圓柱的側(cè)面積公式加以比較。 圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的半徑即為母線長；圓錐的底面圓周長即為圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的弧長。 （設(shè)計意圖：通過估算、推導(dǎo)，步步深入，探索新知，再通過與圓柱的側(cè)面積公式的比較，把新知識真正納入到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。） 引導(dǎo)學(xué)生分析討論例題：例：蒙古包可以近似地看成由圓錐和圓柱組成的.如果想用毛氈搭建20個底面積為35m2,高為3.5m，外圍高1.5m的蒙古包,至少需要多少m2的毛氈?(結(jié)果精確到1m2). 老師強調(diào)：在解決該實際問題的過程中，不能采用四舍五入法保留有效數(shù)字，而必須采用進(jìn)一法，為什么？ 進(jìn)一步提問：如何求有底面的圓錐的表面積。 學(xué)生容易得到：S全面積＝πra＋πr2 〖設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決實際問題的能力。〗 四 鞏固與應(yīng)用 學(xué)生練習(xí)與部分學(xué)生板演課本習(xí)題： 如果圓錐的底面周長是20π，側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為120，求該圓錐的側(cè)面積和全面積。 老師進(jìn)行巡視，及時了解學(xué)生在練習(xí)中出現(xiàn)的典型錯誤，并把握住這個機(jī)會，及時鼓勵學(xué)生去爭辯，進(jìn)行矯正。 （設(shè)計意圖：通過多角度的練習(xí)，并對典型錯誤進(jìn)行討論與矯正，鞏固所學(xué)內(nèi)容，同時使學(xué)生將新知遷移應(yīng)用到新的情境中。） 五 歸納小結(jié) 老師提問： （1）通過本堂課學(xué)習(xí)，你學(xué)會了什么？ （2）你學(xué)會了哪些重要方法？有什么啟示？ 學(xué)生自由發(fā)言，可以相互補充： （1）知道了圓錐的側(cè)面展開圖是扇形； （2）會畫圓錐的側(cè)面展開圖； （3）學(xué)會了推導(dǎo)圓心角公式和圓錐側(cè)面積公式的方法； （4）會根據(jù)已知條件求圓錐的側(cè)面積和全面積； （5）學(xué)會了制作圓錐形帽子的方法。 （設(shè)計意圖：通過學(xué)生自我小結(jié)，明確了本節(jié)課的目標(biāo)，同時又實現(xiàn)了自我反饋，從而建構(gòu)起自己的知識經(jīng)驗，形成自己的見解。） 六 課后作業(yè) 基礎(chǔ)練習(xí)： （1）若一個圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角是度； （2）一個扇形的半徑為60cm，圓心角為150，若用它做成一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面半徑為； （3）底面圓半徑為3cm，高為4cm的圓錐側(cè)面積是 。 能力提升：（1）一個圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，求這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)；（2）如圖1，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，求小貓所經(jīng)過的最短路程。（要明白關(guān)鍵就是求什么） 【設(shè)計思路】 本課主要采用“主體建構(gòu)”教學(xué)模式，讓學(xué)生在解決問題中、在動手實踐中去學(xué)習(xí)，這就充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性與積極性，學(xué)習(xí)就不再是被動的接受，而是主動把新知納入到原有的知識結(jié)構(gòu)中去。 使學(xué)生正確理解展開扇形的半徑與弧長和圓錐的母線與底面周長之間的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而能準(zhǔn)確進(jìn)行圓錐的有關(guān)數(shù)據(jù)和展開圖有關(guān)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化，是本節(jié)課的教學(xué)難點之一，為了突破這個難點，主要采取三個教學(xué)策略：（1）把展開扇形卷成圓錐，再把圓錐展開成扇形（演示幾次），有意識地讓學(xué)生觀察分析上述對應(yīng)關(guān)系，這既培養(yǎng)了學(xué)生的觀察分析能力，又為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)作鋪墊。（2）給出母線a＝15cm和底面半徑r＝5cm的數(shù)量特例，讓學(xué)生去嘗試制作圓錐形帽子，學(xué)生通過討論得到共識，即必須先求出圓心角的度數(shù)，而這個特殊的圓心角有部分學(xué)生能求出來，教師再讓這部分學(xué)生當(dāng)“小老師”，把解決問題的過程與方法教給其他學(xué)生，則促成了學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”向現(xiàn)實發(fā)展水平轉(zhuǎn)化。（3）放手讓學(xué)生去大膽猜想求圓心角的公式并開展討論，再讓學(xué)生自由發(fā)言，這就解決了推導(dǎo)圓心角公式的難點，也使學(xué)生對圓錐有關(guān)數(shù)據(jù)與展開扇形有關(guān)數(shù)據(jù)之間的對應(yīng)關(guān)系有了更深層次的認(rèn)識。 整節(jié)課的思路就是要使學(xué)生在“做中學(xué)”，真正體現(xiàn)了“以學(xué)生的發(fā)展為本”的課改新理念。教師不只是把新知識傳授給學(xué)生，而是讓學(xué)生去主動建構(gòu)，但教師的引導(dǎo)與幫助對于學(xué)生的思考和新知識的建構(gòu)來說尤為重要。整節(jié)課不是老師如何去控制學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，而是要創(chuàng)設(shè)良好的環(huán)境去促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、猜想、概括、驗證等思維活動和學(xué)生的動手操作、交流討論等活動，來構(gòu)建與此相關(guān)的知識經(jīng)驗。