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高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃?？碱}型及求解策略 建水二中：賈雪光 和以往的高考相比，新課標(biāo)下的高考更加注重對(duì)知識(shí)的探究過程的考查，更加體現(xiàn)了知識(shí) 在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，而線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)知識(shí)中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個(gè)分支它能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實(shí)際問題. 新課程標(biāo)準(zhǔn)下高中階段教科書中的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題主要是涉及兩個(gè)變量的、 一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是在給定一項(xiàng)任務(wù)時(shí)如何合理規(guī)劃以便能以最少的人力、物力、資金等資源來完成任務(wù)的兩種類型。兩種類型的問題解答過程都突出體現(xiàn)了優(yōu)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、劃歸與轉(zhuǎn)化的思想 同時(shí)線性規(guī)劃部分的知識(shí)在高中數(shù)學(xué)中又屬于直線與不等式部分的知識(shí)應(yīng)用內(nèi)容，與實(shí)際生活聯(lián)系緊密， 因此在近年的高考中受到越來越多的重視。它出題的形式越來越靈活，并且線性規(guī)劃與其他知識(shí)進(jìn)行交叉融合，不僅可以體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，而且還能考查學(xué)生的綜合分析問題的能力，邏輯思維能力以及解決實(shí)際問題的能力，于是此知識(shí)點(diǎn)越來越受到出題者的青睞?，F(xiàn)將近幾年這部分知識(shí)的?？碱}型和解題方法做一點(diǎn)總結(jié)，以期能為高考備考略盡微薄之力。 常見的考法分兩大類，共七種類型。 第一類為直接型，具體為： 圖1書、11 一、直接型（已知線性約束條件，探求線性目標(biāo)關(guān)系最值問題） 1、設(shè)變量x、y滿足約束條件，則的最大值為　　　?！? 解析：如圖1，畫出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-1的交點(diǎn)A(3,4)處，目標(biāo)函數(shù)z最大值為18 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2若x、y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是　（?。〢、[2,6]　B、[2,5]　C、[3,6]　D、（3,5] 解：如圖，作出可行域，作直線l：x+2y＝0，將 l向右上方平移，過點(diǎn)A（2,0）時(shí)，有最小值 2，過點(diǎn)B（2,2）時(shí)，有最大值6，故選A 求解策略：以上兩個(gè)例子主要考查與線性規(guī)劃有關(guān)的目標(biāo)函數(shù)的最值問題,由線性約束條件畫出可行域,然后求出目標(biāo)函數(shù)的最大值。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要手段之一。求解方法是：“平移找解法”。 二、求解面積型 2x + y – 6= 0 = 5 x＋y – 3 = 0 O y x A B C M y =2 3、不等式組表示的平面區(qū)域的面積為　?。ā。　　、4　B、1　C、5　D、無窮大 解：如圖，作出可行域，△ABC的面積即為所求，由梯形OMBC的面積減去梯形OMAC的面積即可，選B 求解策略：這種類型問題主要是求作出可行域再用割補(bǔ)法將可行域變換成三角形或者矩形等能夠直接求解面積的幾何圖形即可求解常見的有如上面的這種還有和絕對(duì)值不等式綜合以后來求解面積的兩種形式。 三、整點(diǎn)問題型 4（1）、滿足|x|＋|y|≤2的點(diǎn)（x，y）中整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)）有（?。? 　　A、9個(gè)　B、10個(gè)　C、13個(gè)　D、14個(gè) x y O 解：|x|＋|y|≤2等價(jià)于 作出可行域如右圖，是正方形內(nèi)部（包括邊界），想象用一張長(zhǎng)寬都為整數(shù)的網(wǎng)覆蓋到可行域上去，則容易數(shù)得可行域中的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為13個(gè)，選D 4（2）、已知滿足不等式組，求使取最大值的整數(shù)． 解：不等式組的解集為三直線：，：，：所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)與，與，與交點(diǎn)分別為，則坐標(biāo)分別為，，， 作一組平行線：平行于：，當(dāng)往右上方移動(dòng)時(shí)，隨之增大， ∴當(dāng)過點(diǎn)時(shí)最大為，但不是整數(shù)解，又由知可取， 當(dāng)時(shí)，代入原不等式組得， ∴；當(dāng)時(shí)，得或， ∴或； 當(dāng)時(shí)，， ∴，故的最大整數(shù)解為或． 求解策略：可采用網(wǎng)格化處理法如例4（1），也可采用整點(diǎn)調(diào)整法如例4（2） 即：先按“平移找解法”求出非整點(diǎn)最優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方程的知識(shí)調(diào)整最優(yōu)值，最后篩選出整點(diǎn)最優(yōu)解． 四、數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化型（已知線性約束條件，探求非線性目標(biāo)關(guān)系最值問題） 圖2 5（1）、已知?jiǎng)t的最小值是 . 解析：如圖2，只要畫出滿足約束條件的可行域，而轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方。由圖易知A（1，2）是滿足條件的最優(yōu)解。的最小值是為5。 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如時(shí),可把z看作是動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。 5（2）已知變量x，y滿足約束條件則 的取值范圍是（ ）. （A）[，6] （B）（－∞，]∪[6，＋∞） （C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6] 解析 是可行域內(nèi)的點(diǎn)M（x，y）與原點(diǎn)O （0，0）連線的斜率，當(dāng)直線OM過點(diǎn)（，）時(shí)，取得 最小值；當(dāng)直線OM過點(diǎn)（1，6）時(shí)，取得最大值6. 答案A 求解策略：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)時(shí)非線性函數(shù)時(shí)，一般要借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后根據(jù)其幾何意義，數(shù)形結(jié)合，來求其最優(yōu)解。近年來，在高考中出現(xiàn)了求目標(biāo)函數(shù)是非線性函數(shù)的范圍問題.這些問題主要考察的是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,出題形式越來越靈活,對(duì)考生的能力要求越來越高.常見的有以上兩種，求解過程中要充分考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，再聯(lián)系數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用。 五、約束條件變動(dòng)型（約束條件設(shè)計(jì)成含有參數(shù)的形式，考查目標(biāo)函數(shù)取值范圍問題）。 6、在約束條件下，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)C 的最大值的變化范圍是（） A. B. C. D. 解析：畫出可行域如圖3所示,當(dāng)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)在處取得最大值, 即;當(dāng)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值,即,故,從而選D; O 2x – y = 0 y 2x – y + 3 = 0 7、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)（0,0）和（－1,1），則m的取值范圍是　?。ā。? 　A、（-3,6）　B、（0,6）　C、（0,3）　D、（-3,3） 解：|2x－y＋m|＜3等價(jià)于 由右圖可知 ,故0＜m＜3，選C 求解策略：這兩道題的設(shè)計(jì)都很有新意，求解時(shí)可以先作出可行域，尋求最優(yōu)解條件，然后轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)Z關(guān)于S的函數(shù)關(guān)系來求解。最終是采用平移過原點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)的方法來求解，其實(shí)質(zhì)還是考查線性規(guī)劃的通性通法。 第二類是逆向考查： 六、線性規(guī)劃的逆向問題（已知平面區(qū)域，逆向考查約束條件；已知最優(yōu)解求解約束條件或者是目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)。） 例8 （1）已知雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是（） (A) (B) (C) (D) 解析：雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域（如圖4所示）時(shí)有。 例8 （2）給出平面區(qū)域如圖所示.若當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝ 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝ax－y取最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范 圍是 . 解析 當(dāng)直線y＝ax－z（a＜0）過點(diǎn)（， ），且不與直線AC，BC重合時(shí),－z取得最大值，從而z取得最小值. kAC＝＝－ ，kBC＝＝－ . 所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－ ，－ ）. 求解策略：第一題考查雙曲線的漸近線方程以及線性規(guī)劃問題。驗(yàn)證法或排除法是最效的方法。第二題通過作出可行域，在挖掘的幾何意義的條件下，借助用數(shù)形結(jié)合利用各直線間的斜率變化關(guān)系，建立滿足題設(shè)條件的的不等式組即可求解。求解本題需要較強(qiáng)的基本功，同時(shí)對(duì)幾何動(dòng)態(tài)問題的能力要求較高。 七、你想考查與基本不等式綜合 例9、已知目標(biāo)函數(shù)滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值是為（ ）A、2 B、4 C、6 D、8 解析：作出可行域，得在直線2x-y=2與直線8x-y=4的交點(diǎn)A(1,4)處，目標(biāo)函數(shù)z最大值為8即此時(shí)，即又由知道的最小值為4所以選擇B 例10、已知x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為10，則的最小值是為（ ）A、6 B、7 C、8 D、9 解析：作出可行域，得在直線2x-y=3與直線x-y=-1的交點(diǎn)A(4,5)處，目標(biāo)函數(shù)z最大值為10即此時(shí)， 又由于===(20+20+) 所以有所以本題選擇C 求解策略：這種類型題目不僅要注意線性規(guī)劃的問題，同時(shí)還要考慮基本不等式應(yīng)用時(shí)的條件，即“一正，二定，三相等”如上面兩道題目就是本類型題目的代表很是值得研習(xí)。