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橢圓的簡單幾何性質 教學 一 教材分析 1 教材的地位和作用 本節(jié)課是普通高中課程標準實驗教科書數學選修 1 1 第二章 2 1 2 第 1 課時 橢圓的簡單幾何 性質 在此之前 學生已經掌握了橢圓的定義及其標準方程 這只是單純地通過曲線建立方程的探究 而這節(jié)課是結合橢圓圖形發(fā)現幾何性質 再利用橢圓的方程探討橢圓的幾何性質 是數與形的完美結 合 讓學生在了解如何用曲線的方程研究曲線的性質的基礎上 充分認識到 由數到形 由形到數 的轉化 體會了數與形的辨證統一 也從中體驗了學數學的樂趣 受到了數學文化熏陶 為后繼研 究解析幾何中其它曲線的幾何性質奠定了重要基礎 2 教材的內容安排和處理 本課為 橢圓的簡單幾何性質 這部分內容的第一課時 主要介紹橢圓的簡單幾何性質及其初 步運用 在解析幾何中 利用曲線的方程討論曲線的幾何性質對學生來說是第一次 因此可根據學 生實際情況及認知特點 改變了教材中原有研究順序 引導學生先從觀察課前預習所作的具體圖形 入手 按照通過圖形先發(fā)現性質 在利用方程去說明性質的研究思路 循序漸近進行探究 在教學 中不僅要注重對橢圓幾何性質的理解和運用 而且更應重視對學生進行這種研究方法的思想滲透 通過教師合理的情境創(chuàng)設 師生的共同討論研究 學生的親身實踐體驗 使學生真正意義上理解在 解析幾何中 怎樣用代數方法研究曲線的性質 鞏固數形結合思想的應用 達到切實地用數學分析 解決問題的能力 3 重點 難點 教學重點 掌握橢圓的簡單幾何性質 并能初步運用其探索方法研究問題 體會數形結合思想方法在 數學中的應用 教學難點 利用曲線方程研究曲線幾何性質的基本方法和離心率定義的給出過程 二 學生的學情心理分析 我的任教班是普班 大多數學生的數學基礎較為薄弱 獨立分析問題 解決問題的能力不是很強 但是他們的思維活躍 參與意識強烈 又具備了高一學習階段的知識基礎 因此依據以上特點 在教學 設計方面 我打算借助多媒體手段 創(chuàng)設問題情境 結合圖形啟發(fā)引導 組織學生合作探究等形式 都符合我班學生的認知特點 為他們創(chuàng)設了一個自然和諧的課堂氛圍 三 教學目標 本著新課程標準的貫徹原則 結合我的學生的實際情況 我制定本節(jié)課的教學目標如下 知識與技能 掌握橢圓的簡單幾何性質 并能初步運用其探索方法研究問題 過程與方法 通過學生親身的實踐體驗 利用橢圓的方程討論橢圓的幾何性質 經歷由形到數 由數到形 的思想跨越 感知用代數的方法探究幾何性質的過程 感受 數缺形時少直觀 形缺數時難入微 的數學真諦 進一步體會 數形結合 思想在數學中的重要地位 情感 態(tài)度與價值觀 在自然和諧的教學氛圍中 通過師生間的 生生間的平等交流 塑造學生團結協作 鉆研 探究的品質和態(tài)度 培養(yǎng)學生研究問題的技能 通過對橢圓幾何性質的發(fā)現 學生得到美的感 受 體驗到探求之后的成功與喜悅 四 教學方法與手段 課堂教學應有利于學生的數學素質的形成與發(fā)展 使學生扎實地學會學習 真正的學以置用 為此課堂教學應有利于學生的數學素質的形成與發(fā)展 使學生扎實地學會學習 真正的學以置用 為此 我制定了本節(jié)課的教學方法和手段如下 我制定了本節(jié)課的教學方法和手段如下 教學方法 我采用的教學方法主要是情境激趣法 引導發(fā)現法 合作探究法等等 一 情境激趣法 注重數學知識與實際的聯系 同時也發(fā)展學生的應用意識 開闊他們的視野 二 引導發(fā)現法 符合教學原則 充分調動學生的主動性與積極性 三 合作探究法 1 體驗數學發(fā)現和創(chuàng)造的過程 發(fā)展他們的創(chuàng)新意識 2 使學生體驗到團結協作的力量以及探索發(fā)現的成就 符合學生 的認知規(guī)律 教學手段 新課標要求 立體幾何的教學要直觀感知 操作確認 對于本節(jié)內容 我也采用了這樣的思路 本節(jié)借助多媒體輔助手段及實物投影 創(chuàng)設問題情境 并通過圖形引導學生形象直觀地體驗由數 到形的過渡 便于學生觀察 認知 探求 發(fā)現 歸納 五 學法指導 根據本節(jié)課的教學難點 教師應注意指導學生進行研究式學習和體驗式學習 興趣是前提 例如 導入 通過 神六 號這樣一個人們關注的話題引入 有利于激發(fā)學生的興趣 再如 這節(jié)課是學生第 一次利用曲線方程研究曲線性質 為了解決這一難點 在課前設計中改變了教材中原有研究順序 讓學 生從觀察一個具體橢圓圖形入手 從觀察到對稱性這一宏觀特征開始研究 符合學生的認知特點 調動 了學生主動參與教學的積極性 使他們進行自主探究與合作交流 親身體驗幾何性質的形成與論證過程 變靜態(tài)數學為動態(tài)數學 教學中也突出多媒體輔助知識產生 發(fā)展和突破重 難點的優(yōu)勢 從而強化學生對知識的過程與方 法的掌握 有利于學生對知識的理解和應用 六 教學過程 教學內容 導入新課 嘗試探究 知識鞏固 教師 引入 引導 指導 評價 這是本節(jié)課教學過程的流程圖 我將本節(jié)課的教學過程設計為五大環(huán)節(jié) 特點是以知識與技能為載體 過程與方法為主線 情感 態(tài)度與價值觀為目標的設計原則 突出多媒體這一教學手段在本節(jié)課輔助知 識產生 發(fā)展和突破重難點的優(yōu)勢 教 學 環(huán) 節(jié) 教 學 程 序 師生雙邊活動 設 計 意 圖 創(chuàng)設 情境 教師以 神州六號載人飛船順利發(fā)射升空 這一事例創(chuàng)設課堂情境 同時電腦用 FLASH 動畫 演示飛船運行軌跡的短片 利用這一歷史性事件作為教學背景 引 發(fā)學生聯想 激發(fā)學生興趣 調動學生愛 國主義熱情 導 入 新 課 教師根據情境 創(chuàng)設問題 師 通過上一節(jié)課的學習我們知道 飛船在變軌 前是沿著以地球中心為一個焦點的橢圓軌道運行 的 如果告訴你飛船的軌道方程 我們是可以作 出飛船運行的軌跡的 那么這個問題的實質是什 么呢 生 通過前面學習的曲線與方程的關系 能夠認 識到問題的實質就是已知曲線的方程求方程的曲 線的問題 結合情境將實際問題轉化為數學問題 分析解決 讓學生利用數學知識揭示問題 的實質 為本節(jié)課內容的展開作好鋪墊 同時也讓學生體會到數學與生活的聯系 進一步明確學習橢圓的重要性和必要性 嘗 試 探 討 1 檢查預習作業(yè)情況 電腦出示上節(jié)課的預習作業(yè)內容 根據橢圓方程畫出它的圖形 1 2 2 156xy2 154xy 借助投影找?guī)孜煌瑢W展示畫好的圖形 同時 電腦出示圖形 師 如果同學們用描點法畫出方程所表示的圖形 那么這種作圖方法使同學們有什么體會 有簡單 方法嗎 如果有 需要知道什么呢 學生沉思片刻后 教師強調解決這個問題需了 解橢圓方程形式下具有的簡單幾何性質 引入本 節(jié)課課題 2 結合圖形 嘗試探究 教師引導學生觀察作業(yè)中繪制的橢圓圖形 通過預習讓學生對橢圓圖形的特點有 一個初步了解和把握 為本節(jié)課研究橢圓 的幾何性質奠定了良好的基礎 大部分學 生會想到用描點法實現方程到曲線的轉化 但通過學生的實踐體驗 可進一步激勵學 生尋找捷徑 探索新知的勇氣 從而自然 過渡 引出課題 這節(jié)課是學生第一次利用曲線方程研 布置作業(yè) 激勵 課堂小結 形 成 新 知 開始以橢圓的標準方程 a b 0 2 1xyab 為例進行研究 電腦展示橢圓的標準方程 a b 0 所表示的圖形 2 1xyab 1 先引導學生觀察橢圓圖形的整體特征 歸納出這個橢圓圖形在 x 軸的上方 下方 y 軸 的左側 右側及與原點有怎樣的關系 如何利用 方程進行說明 可提示學生結合點對稱去證明 圖形對稱問題 從而引導學生得到橢圓的對稱 軸及對稱中心 2 繼續(xù)引導學生發(fā)現決定這個橢圓軌跡的 關鍵點有幾個 電腦動畫顯示各點 引入橢 圓的頂點概念 并利用方程求出頂點坐標 同時 結合圖形教師指出長軸 短軸 長半軸 短半軸 等概念 同時電腦動畫同步顯示 特別點明方程 中 a b 的幾何意義在直角三角形中的體現 3 電腦動畫顯示 過頂點 A1 A 2分別作 y 軸的平行線 過 頂點 B1 B 2分別作 x 軸的平行線 引導學生觀察四條直線構成的圖形與橢圓 的關系 體現了橢圓的什么性質 利用方 程如何說明 從而得到了橢圓的范圍 引導學生根據以上橢圓性質總結 如何畫 出一個橢圓的草圖 4 師 先請學生觀察預習作業(yè)中繪制的兩個 橢圓圖形 在形狀上有什么區(qū)別 生 相對來看一個圓些 一個扁些 師 是由什么引起這樣的區(qū)別呢 教師動畫演示橢圓標準方程 a b 0 所表示的圖形在變化過 2 1xyab 程中 引導學生發(fā)現 a 不變 b 大則 c 小 橢圓 較圓 b 小則 c 大 橢圓較扁 特別當 a b 時 c 0 橢圓為圓 并引導學生分析得出 究曲線性質 為了解決這一難點 讓學生 從觀察一個具體橢圓圖形入手 符合學生 的認知特點 達到了化抽象為形象的目的 學生借助圖形會首先觀察出橢圓的對 稱結構 因此將這個性質安排在前面也符 合學生的認知規(guī)律 但落實到利用方程形 式去說明此性質對學生來說是個難點 因 此教師通過設置問題 引導學生利用點對 稱去說明圖形對稱的方法加以證明 并強 調用數證明形的必要性 體現了由方程到 曲線 由數到形的轉化 在揭示橢圓對稱性之后 引入這一性 質讓學生對圖形的認識由整體到局部 由 面到點 符合認知習慣 通過電腦動畫展 示 使學生對概念有了直觀生動的認識 但學生對于橢圓頂點的概念可能會產生模 糊認識 誤認為是圖形與坐標軸的交點 這里教師應利用電腦動畫將橢圓在坐標系 中作平移變換 再次引導學生尋找頂點 達到強調頂點概念的作用 在學習完橢圓的頂點概念的基礎上 借助電腦演示 引入橢圓范圍 過渡自然 學生容易發(fā)現并理解 這樣對于橢圓的圖 形由內至外 由點到面進行了透徹的剖析 認知順序井然有條 從而可使學生抓住圖 形的關鍵性質 減少了認知上的障礙 順 利總結橢圓草圖的畫法 此處學生在理解上是個難點 因此教 學中先引導學生去發(fā)現橢圓圖形的形狀差 異 再充分發(fā)揮多媒體輔助手段 以輕松 愉悅的動畫演示 追尋原因 化抽象為形 象 創(chuàng)設了直觀的課堂教學效果 化解了 知識的難點 使學生在感性認識的基礎上 形成理性認識 激勵學生的學習動機 并 結合教師啟發(fā)引導 循序漸進 幫助學生 理解好離心率的定義 范圍及離心率大小 a b c 中任何一個量不變 改變另外一個量可 得到同樣的結論 由此引入刻畫橢圓形狀的幾何 量 離心率 e 強調離心率是焦距與長軸之比 與坐標系選取無關 結合以上分析 引導學生歸 納出離心率的范圍及其大小變化對橢圓形狀的影 響 對橢圓形狀的影響 知識 的鞏 固與 創(chuàng)新 電腦出示練習 1 利用以上所學的研究方法 探討橢圓 的簡單幾何性質 2 1 0 xyabb 電腦展示相應橢圓的標準方程所表示的圖形 并組織學生以 4 人小組為單位 引導學生類比 焦點在 x 軸橢圓標準方程的幾何性質的研究方 法進行探討 稍許時間后請幾組代表匯報研究 成果 之后教師給予激勵性點評 2 請你自己設計兩個焦點分別在 x 軸和 y 軸上的 橢圓的標準方程 并指出它的幾何性質 然后繪 制它的草圖 學生按照要求動手操作 教師巡視 及時了解學 生知識應用情況及實踐能力 個別問題要給予指 導 并鼓勵學生借助實物投影大膽展示自己的設 計成果 每位學生展示后 師生共同評析 最后 針對共性問題教師強調繪制草圖的注意事項 此環(huán)節(jié)是一個創(chuàng)新點 通過組織學生 以合作交流的方式探討問題 培養(yǎng)學生團 體協作的能力和積極探索的習慣 同時也 培養(yǎng)學生運用類比化歸的思想解決實際問 題的能力 再次讓學生親身感受了利用方 程研究曲線的過程 通過本題使學生體驗 這節(jié)課所學的性質是橢圓自身固有的性質 與坐標系的選取無關 在由一般到特殊的認知規(guī)律指導下 此題把主動權交給學生 目的是考查對以 上橢圓的幾何性質掌握情況的同時提高學 生的參與意識 并且借助電腦投影讓個別 學生有機會展示 講解自己的設計成果 從而增強了學生的求知勇氣和展現自我的 信心 師生共同評析設計情況的優(yōu)劣 重 在發(fā)現學生的思維差異和思維認識層次 歸納 小結 建構 知識 網絡 教師向學生提出 通過這節(jié)課的學習 你學到 什么 體驗到什么 掌握了什么 引導學生從知 識 思想方法和研究問題的方法三個方面進行總 結 學生討論 反思 不足之處師生共同補充完 善如下 知識總結 教師設計關于性質的表格 學生填表 并總 結 記憶這些性質的關鍵是抓住兩條線 對稱軸 一個框 范圍 七個點 一個中心 兩個焦 點 四個頂點 和用 e 刻畫圓扁 利用這些性質 作圖的關鍵是 教師編一個順口溜 一個框 四個點 注意光滑和圓扁 莫忘對稱要體現 思想方法總結 本節(jié)課主要利用了數形結合的思想和類比化 歸的思想研究性質的 平時學習中要注意數學思 以圖表的形式對所學內容進行總結 可使學生對知識有個清晰條理的認識 而 用順口溜的表達形式總結橢圓的作圖過程 使學生印象深刻 通俗易懂 在總結研究方法的同時為學生自主探究 想方法的運用 掌握利用曲線方程研究曲線性質的基本方法 即通過研究曲線的對稱性 頂點 范圍 離心率 等 這樣就可以從整體上把握曲線了 雙曲線 拋物線的性質作好鋪墊 布置 作業(yè) 鞏固 提高 根據本節(jié)課的學習 結合你的體會 寫一 篇題為 魅力無限的橢圓 的短文 格式不 限 在預習教材中的例 4 的基礎上 證明 若 F1 F 2分別是 的左 右焦點 則 2 1xyab 橢圓上任一點 P x y 到焦點的距離 焦半 徑 為多少 同時思考當橢圓的焦點在 y 軸 上時 結論如何 本作業(yè)主要意圖是想把學生的情感 態(tài) 度 價值觀融入到所學的知識中 關注學 生的情感和態(tài)度 同時也激勵學生去挖掘 橢圓更多的幾何性質 此題意圖是引導學生去深入探究 為 進一步研究橢圓的性質做準備 板書設計 課題 8 2 1 a b 0 2 1xyab2 1 0 xyab 1 對稱性 2 頂點 長軸 短軸 3 范圍 4 離心率 影響橢圓形狀 定義 范圍 板書設計要體現出教學的程序性 概括 性 指導性 藝術性 給學生直觀清晰的 感覺 七 教學評價的分析 1 這節(jié)課安排了創(chuàng)設情境 導入新課 嘗試探求 類比探究 總結和作業(yè)等幾個教學環(huán)節(jié) 它是 在教師引導下 通過學生積極思考 自主探求 合作探究 從而實現教學目的的要求 完成教學任務的 一種教學方法 2 著重培養(yǎng)學生掌握數學的基本思想和提高學生探究問題的能力是設計這堂課的出發(fā)點 教學中注意應用建構主義的數學學習理論 引導認知主體積極參與到探索 發(fā)現 討論 交流的學 習活動中去 使課堂教學成為學生親自參與的充滿豐富生動的數學思維活動的場所 在整個教學過程的 設計中 采用啟導法 合作探討法等教學方法實施教學 注重引導學生 通過探索 有利于培養(yǎng)學生的 創(chuàng)新能力 體現教育改革的時代精神 3 教學中采用多媒體的手段 利用幻燈片 幾何畫板軟件制作課件 增強學生對知識的直觀感受 有利于完善認知結構 4 時間大致安排 創(chuàng)設情境引入課題約 3 分鐘 嘗試探求歸納新知約 20 分鐘 類比探究約 7 分鐘 知識鞏固與提高約 10 分鐘 小結作業(yè) 5 分鐘 當然 依據上課的具體情況可進行適當的調整