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2013屆高三二輪復(fù)習(xí) 立體幾何專題三 2013-4-2 立體幾何綜合問題：以角度，距離，體積為主要考點(diǎn)，搭配三視圖，函數(shù). 1、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點(diǎn)．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （1）當(dāng)x=2時(shí)，求證：BD⊥EG ； （2）若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為， 求的最大值； （3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-E的余弦值． 2、一個(gè)幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成，點(diǎn)、、在圓的圓周上，其正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，如圖3所示，其中，，，． （1）求證：； （2）求二面角的平面角的大?。? A O D E E A 側(cè)（左）視圖 A1 D1 A D11 A11 E B C O D 圖3 1、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點(diǎn)．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）. （1）當(dāng)x=2時(shí)，求證：BD⊥EG ； （2）若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為， 求的最大值； x y z （3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值．?（1）方法一： AE⊥EF， ∵平面平面，且相交于EF ∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz． ，又為BC的中點(diǎn)，BC=4， ．則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）， （－2，2，2），（2，2，0）， （－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴．………………4分 方法二：作DH⊥EF于H，連BH，GH， 由平面平面知：DH⊥平面EBCF， 而EG平面EBCF，故EG⊥DH． 為平行四邊形， 且， 四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H， 故EG⊥平面DBH， 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．………4分 （2）∵AD∥面BFC， H 所以 =VA-BFC＝ ， 即時(shí)有最大值為． ………8分 （3）方法一： H _ E M F D B A C G 設(shè)平面DBF的法向量為，∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0），∴………10分 （－2，2，2）， 則 ， 即， 取，∴ ，面BCF一個(gè)法向量為，………12分 則cos<>=，………13分 由于所求二面角D-BF-E的平面角為銳角，所以此二面角的余弦值為．………14分 2、一個(gè)幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成，點(diǎn)、、在圓的圓周上，其正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，如圖3所示，其中，，，． （1）求證：； （2）求二面角的平面角的大?。? A O D E E A 側(cè)（左）視圖 A1 D1 A D11 A11 E B C O D 圖3 方法1：（1）證明：因?yàn)?，，所以，即? 又因?yàn)?，，所以平面? 因?yàn)?，所以．……………?分 （2）解：因?yàn)辄c(diǎn)、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑． A D11 A11 E B C O D 設(shè)圓的半徑為，圓柱高為，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得， …………6分解得 所以，．………7分 過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接， 由（1）知，，，所以平面． 因?yàn)槠矫?，所以? 所以為二面角的平面角．………9分 由（1）知，平面，平面， 所以，即△為直角三角形． 在△中，，，則． 由，解得． 因?yàn)椋?3分 所以． 所以二面角的平面角大小為．……14分 方法2：（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑． A D11 A11 E B C O D 設(shè)圓的半徑為，圓柱高為，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得， …2分解得 所以，．…………3分 A D11 A11 E B C O D x y z 以點(diǎn)為原點(diǎn)，、所在的射線分別為軸、軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．……5分 因?yàn)椋? 所以． 所以．……9分 （2）解：設(shè)是平面的法向量， 因?yàn)?，所以? 取，則是平面的一個(gè)法向量．……11分 由（1）知，，又，，所以平面． 所以是平面的一個(gè)法向量．……12分 因?yàn)椋? 所以． 而等于二面角的平面角， 所以二面角的平面角大小為．………14分 方法3：（1）證明：因?yàn)椋?，所以，即? 又因?yàn)椋?，所以平面? 因?yàn)椋? 所以．……………4分 （2）解：因?yàn)辄c(diǎn)、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑． A D11 A11 E B C O D 設(shè)圓的半徑為，圓柱高為，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得， ……………6分解得 所以，．……………7分 A D11 A11 E B C O D x y z 以點(diǎn)為原點(diǎn)，、所在的射線分別為軸、軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．………9分 設(shè)是平面的法向量， 則即 取，則是平面的一個(gè)法向量． ……11分 由（1）知，，又，，所以平面． 所以是平面的一個(gè)法向量．………12分 因?yàn)椋? 所以． 而等于二面角的平面角， 所以二面角的平面角大小為．………14分