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“方程的根與函數(shù)的零點”教學設(shè)計(1) 　　一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 本節(jié)課是在學生學習了《基本初等函數(shù)（Ⅰ）》的基礎(chǔ)上，學習函數(shù)與方程的第一課時，本節(jié)課中通過對二次函數(shù)圖象的繪制、分析，得到零點的概念，從而進一步探索函數(shù)零點存在性的判定，這些活動就是想讓學生在了解初等函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用計算機描繪函數(shù)的圖象，通過對函數(shù)與方程的探究，對函數(shù)有進一步的認識，解決方程根的存在性問題，為下一節(jié)《用二分法求方程的近似解》做準備． 從教材編寫的順序來看，《方程的根與函數(shù)的零點》是必修1第三章《函數(shù)的應(yīng)用》一章的開始，其目的是使學生學會用二分法求方程近似解的方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系．利用函數(shù)模型解決問題，作為一條主線貫穿了全章的始終，而方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系、用二分法求方程的近似解，是在建立和運用函數(shù)模型的大背景下展開的．方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系、用二分法求方程的近似解中均蘊涵了“函數(shù)與方程的思想”和“數(shù)形結(jié)合的思想”，建立和運用函數(shù)模型中蘊含的“數(shù)學建模思想”，是本章滲透的主要數(shù)學思想． 從知識的應(yīng)用價值來看，通過在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價值，體驗函數(shù)是描述宏觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，體會符號化、模型化的思想，體驗從系統(tǒng)的角度去思考局部問題的思想． 基于上述分析，確定本節(jié)的教學重點是：了解函數(shù)零點的概念，體會方程的根與函數(shù)零點之間的聯(lián)系，掌握函數(shù)零點存在性的判斷． 二、目標和目標解析 1．通過對二次函數(shù)圖象的描繪，了解函數(shù)零點的概念，滲透由具體到抽象思想,領(lǐng)會函數(shù)零點與相應(yīng)方程實數(shù)根之間的關(guān)系， 2．零點知識是陳述性知識，關(guān)鍵不在于學生提出這個概念。而是理解提出零點概念的作用，溝通函數(shù)與方程的關(guān)系。 3．通過對現(xiàn)實問題的分析，體會用函數(shù)系統(tǒng)的角度去思考方程的思想，使學生理解動與靜的辨證關(guān)系．掌握函數(shù)零點存在性的判斷． 4．在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的意義和價值，發(fā)展學生對變量數(shù)學的認識，體會函數(shù)知識的核心作用． 三、教學問題診斷分析 1.零點概念的認識．零點的概念是在分析了眾多圖象的基礎(chǔ)上，由圖象與軸的位置關(guān)系得到的一個形象的概念，學生可能會設(shè)法畫出圖象找到所有任意函數(shù)的可能存在的所有零點，但是并不是所有函數(shù)的圖象都能具體的描繪出，所以在概念的接受上有一點的障礙． 2.零點存在性的判斷．正因為f（a）f（b）＜0且圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點的充分而非必要條件，容易引起思維的混亂就是很自然的事了． 3.零點（或零點個數(shù)）的確定．學生會作二次函數(shù)的圖象，但是要作出一般的函數(shù)圖象（或圖象的交點）就比較困難，而在這一節(jié)課最重要的恰恰就是利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)的零點問題．這樣就在零點（或零點個數(shù)）的確定上給學生帶來一定的困難． 基于上述分析，確定本節(jié)課的教學難點是：準確認識零點的概念，在合情推理中讓學生體會到判定定理的充分非必要性，能利用適當?shù)姆椒ㄅ袛嗔泓c的存在或確定零點． 四、教學支持條件分析 考慮到學生的知識水平和理解能力，教師可借助計算機工具和構(gòu)建現(xiàn)實生活中的模型，從激勵學生探究入手，講練結(jié)合，直觀演示能使教學更富趣味性和生動性． 通過讓學生觀察、討論、辨析、畫圖，親身實踐，在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的意義和價值，發(fā)展學生對變量數(shù)學的認識，體會函數(shù)知識的核心作用． 五、教學過程設(shè)計 （一）引入課題 問題引入：求方程3x2＋6 x－1=0的實數(shù)根。 變式：解方程3x5＋6x－1=0的實數(shù)根. （一次、二次、三次、四次方程的解都可以通過系數(shù)的四則運算，乘方與開方等運算來表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家課后去閱讀本節(jié)后的“閱讀與思考”，還有如lnx+2x-6=0的實數(shù)根很難下手，我們尋求新的角度——函數(shù)來解決這個方程的問題。） 設(shè)計意圖：從學生的認知沖突中，引發(fā)學生的好奇心和求知欲，推動問題進一步的探究。通過簡單的引導(dǎo)，讓學生課后自己閱讀相關(guān)內(nèi)容，培養(yǎng)他的自學能力和更廣泛的興趣。開門見山的提出函數(shù)思想解決方程根的問題，點明本節(jié)課的目標。 （二）新知探究 1、零點的概念 問題1 求方程x2－2x－3＝0的實數(shù)根，并畫出函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象； 方程x2－2x－3＝0的實數(shù)根為-1、3。函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象如圖所示。 問題2 觀察形式上函數(shù)y＝x2－2x－3與相應(yīng)方程x2－2x－3＝0的聯(lián)系。 函數(shù)y＝0時的表達式就是方程x2－2x－3＝0。 問題3 由于形式上的聯(lián)系，則方程x2－2x－3＝0的實數(shù)根在函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象中如何體現(xiàn)？ y＝0即為x軸，所以方程x2－2x－3＝0的實數(shù)根就是y＝x2－2x－3的圖象與x軸的交點橫坐標。 設(shè)計意圖：以學生熟悉二次函數(shù)圖象和二次方程為平臺，觀察方程和函數(shù)形式上的聯(lián)系，從而得到方程實數(shù)根與函數(shù)圖象之間的關(guān)系。理解零點是連接函數(shù)與方程的結(jié)點。 初步提出零點的概念：-1、3既是方程x2－2x－3＝0的根，又是函數(shù)y＝x2－2x－3在y＝0時x的值，也是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標。-1、3在方程中稱為實數(shù)根，在函數(shù)中稱為零點。 問題4 函數(shù)y＝x2－2x＋1和函數(shù)y＝x2－2x＋3零點分別是什么？ 函數(shù)y＝x2－2x＋1的零點是-1。函數(shù)y＝x2－2x＋3不存在零點。 設(shè)計意圖：應(yīng)用定義，加深對概念的理解。 提出零點的定義：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．（zero point） 2、函數(shù)零點的判定： 研究方程的實數(shù)根也就是研究相應(yīng)函數(shù)的零點，也就是研究函數(shù)的圖象與x軸的交點情況。 （Ⅰ） 問題5 如果把函數(shù)比作一部電影，那么函數(shù)的零點就像是電影的一個瞬間，一個鏡頭。有時我們會忽略一些鏡頭，但是我們?nèi)匀荒芡茰y出被忽略的片斷?，F(xiàn)在我有兩組鏡頭（如圖），哪一組能說明他的行程一定曾渡過河？（Ⅱ） 第Ⅰ組能說明他的行程中一定曾渡過河，而第Ⅱ組中他的行程就不一定曾渡過河。 設(shè)計意圖：從現(xiàn)實生活中的問題，讓學生體會動與靜的關(guān)系，系統(tǒng)與局部的關(guān)系。 問題6 將河流抽象成x軸，將前后的兩個位置視為A、B兩點。請問當A、B與x軸怎樣的位置關(guān)系時，AB間的一段連續(xù)不斷的函數(shù)圖象與x軸一定會有交點？ A、B兩點在x軸的兩側(cè)。 設(shè)計意圖：將現(xiàn)實生活中的問題抽象成數(shù)學模型，進行合情推理，將原來學生只認為靜態(tài)的函數(shù)圖象，理解為一種動態(tài)的過程。 問題7 A、B與x軸的位置關(guān)系，如何用數(shù)學符號（式子）來表示？ A、B兩點在x軸的兩側(cè)。可以用f（a）f（b）<0來表示。 設(shè)計意圖：由原來的圖象語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言。培養(yǎng)學生的觀察能力和提取有效信息的能力。體驗語言轉(zhuǎn)化的過程。 問題8 滿足條件的函數(shù)圖象與x軸的交點一定在（a，b）內(nèi)嗎？即函數(shù)的零點一定在（a，b）內(nèi)嗎？ 一定在區(qū)間（a，b）上。若交點不在（a，b）上，則它不是函數(shù)圖象。 設(shè)計意圖：讓學生體驗從現(xiàn)實生活中抽象成數(shù)學模型時，需要一定修正。加強學生對函數(shù)動態(tài)的感受，對函數(shù)的定義有進一步的理解。 通過上述探究，讓學生自己概括出零點存在性定理： 一般地，我們有： 如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且有f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）＝0的根． （三）新知應(yīng)用與深化 例題1 觀察下表，分析函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點？ －2 －1 0 1 2 -109 -10 -1 8 107 分析：函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，又因為，所以在區(qū)間（0，1）上必存在零點。我們也可以通過計算機作圖（如圖）幫助了解零點大致的情況。 設(shè)計意圖：初步應(yīng)用零點的存在性定理來判斷函數(shù)零點的存在性問題。并引導(dǎo)學生探索判斷函數(shù)零點的方法，通過作出x，的對應(yīng)值表，來尋找函數(shù)值異號的區(qū)間，還可以借助計算機來作函數(shù)的圖象分析零點問題。而且對函數(shù)有一個零點形成直觀認識． 例題2 求函數(shù)的零點個數(shù)． 分析：用計算器或計算機作出x，的對應(yīng)值表和圖象。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2 由表可知，f (2)<0，f (3)>0,則，這說明函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點。結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，進而說明零點是只有唯一一個． 設(shè)計意圖：學生應(yīng)用例題1方法來解決例題2的零點存在性問題，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從圖象的直觀上去判斷零點的個數(shù)問題。 練習：判斷下列函數(shù)是否存在零點，指出零點所在的大致區(qū)間? ① f（x）=2xln(x-2)-3； ②f（x）= 2x＋2x－6． （四）總結(jié)歸納設(shè)計 通過引導(dǎo)讓學生回顧零點概念、意義與求法，以及零點存在性判斷，鼓勵學生積極回答，然后老師再從數(shù)學思想方面進行總結(jié)． （五）目標檢測設(shè)計 必作題： 1．教材P92習題3．1（A組）第2題； 2．求下列函數(shù)的零點： （1） （2）； （3） （4） 3．求下列函數(shù)的零點，圖象頂點的坐標，畫出各自的簡圖，并指出函數(shù)值在哪些區(qū)間上大于零，哪些區(qū)間上小于零： （1） （2）． 4．已知． （1）為何值時，函數(shù)的圖象與軸有兩個零點； （2）如果函數(shù)至少有一個零點在原點右側(cè)，求的值． 選做題：設(shè)函數(shù)． （1）利用計算機探求和時函數(shù)的零點個數(shù)； （2）當時，函數(shù)的零點是怎樣分布的？