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數(shù)學(xué)物理方程試題(楊春) 一、化方程為標(biāo)準(zhǔn)形(10分) 二、分離變量法求定解問(wèn)題(10分) 三、一無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱殼，半徑為a，把它充電到電勢(shì)，求圓柱殼內(nèi)電場(chǎng)中的電勢(shì)分布(用分離變量法求解)(15分) 數(shù)學(xué)物理方程試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、 解：，方程屬于拋物型………1分 特征方程為：，得…..1分 令…….1分 ………..1分 ……….2分 ……. 1分 ……. 1分 ………1分 ………1分 二、解：令…….1分 將其代入定解問(wèn)題可以得到： 1分 1分 (2)的解為： 2分 對(duì)于(1)，由分離變量法可得一般解為 ……………………….2分 由初始條件可求得： 2分 所以，原定解問(wèn)題的解為： 1分。 三、解：由于圓柱殼無(wú)限長(zhǎng)，所以可以作為二維問(wèn)題處理。在柱內(nèi)無(wú)自由電荷，所以柱內(nèi)電勢(shì)滿足拉普拉斯方程。定解問(wèn)題為： 3分 令得： 與…………………….1分 固有值問(wèn)題為： ，求得固有值為： 固有函數(shù)為： …………………………………2分 的解為： ，……………2分 于是定解問(wèn)題的一般解為： ……1分 由有限性條件得：………………..1分 ………………….1分 3分 所以定解問(wèn)題的解為： 或 ……………..1分