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《第11章 三角形》 　 一．選擇題（共5小題，滿分25分，每小題5分） 1．下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長(zhǎng)度，用它們能擺成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm 2．下面四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是（　　） A． B． C． D． 3．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與它的外角和相等，則這個(gè)多邊形是（　?。? A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 4．等腰三角形的周長(zhǎng)為13cm，其中一邊長(zhǎng)為3cm，則該等腰三角形的底邊為（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 5．如圖，在△ABC中，∠BAC=90，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個(gè)數(shù)是（　?。? A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè) 　 二．填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分） 6．已知三角形的兩邊為2和5，則第三邊x的取值范圍是　　． 7．如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1260，那么這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有　　條對(duì)角線． 8．如圖是一副三角尺拼成圖案，則∠AEB=　　度． 9．如果三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角的4倍，等于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的2倍，則此三角形最小內(nèi)角的度數(shù)是　?。? 10．如圖，小亮從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)30，再沿直線前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)30，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了　　米． 　 三．解答題（共4小題，11，12題每題12分，13，14題每題13分，共50分） 11．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=68，∠BCD=31．求∠B，∠ADC的度數(shù)． 12．已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)． 13．如圖所示，△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，∠A=60，∠BDC=95，求△BDE各內(nèi)角的度數(shù)． 14．如圖，在△ABC中，∠A=50，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠ABO=20，∠ACO=30，求∠BOC的度數(shù)． 　 《第11章 三角形》 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共5小題，滿分25分，每小題5分） 1．下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長(zhǎng)度，用它們能擺成三角形的是（　?。? A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm 【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系． 【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析． 【解答】解：A、3+4＜8，不能組成三角形； B、8+7=15，不能組成三角形； C、13+12＞20，能夠組成三角形； D、5+5＜11，不能組成三角形． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的三邊關(guān)系． 判斷能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法是看較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)． 　 2．下面四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高． 【分析】根據(jù)高的畫法知，過(guò)點(diǎn)B作AC邊上的高，垂足為E，其中線段BE是△ABC的高． 【解答】解：線段BE是△ABC的高的圖是D． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】三角形的高是指從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，連接頂點(diǎn)與垂足之間的線段． 　 3．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與它的外角和相等，則這個(gè)多邊形是（　?。? A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180與多邊形的外角和定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解． 【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得 （n﹣2）?180=360， 解得n=4． 故這個(gè)多邊形是四邊形． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，熟記公式與定理是解題的關(guān)鍵． 　 4．等腰三角形的周長(zhǎng)為13cm，其中一邊長(zhǎng)為3cm，則該等腰三角形的底邊為（　?。? A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【專題】分類討論． 【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論． 【解答】解：當(dāng)腰是3cm時(shí)，則另兩邊是3cm，7cm．而3+3＜7，不滿足三邊關(guān)系定理，因而應(yīng)舍去． 當(dāng)?shù)走吺?cm時(shí)，另兩邊長(zhǎng)是5cm，5cm．則該等腰三角形的底邊為3cm． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法． 　 5．如圖，在△ABC中，∠BAC=90，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個(gè)數(shù)是（　?。? A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè) 【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)． 【分析】由“直角三角形的兩銳角互余”，結(jié)合題目條件，得∠C=∠BDF=∠BAD=∠ADE． 【解答】解：如圖，∵AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠C+∠B=90，∠BDF+∠B=90，∠BAD+∠B=90， ∴∠C=∠BDF=∠BAD， ∵∠DAC+∠C=90，∠DAC+∠ADE=90， ∴∠C=∠ADE， ∴圖中與∠C（除之C外）相等的角的個(gè)數(shù)是3， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余． 　 二．填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分） 6．已知三角形的兩邊為2和5，則第三邊x的取值范圍是　3＜x＜7?。? 【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系． 【分析】三角形的任意兩邊的和大于第三邊，已知兩邊，則第三邊的長(zhǎng)度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長(zhǎng)的范圍． 【解答】解：依題意得：5﹣2＜x＜5+2， 即3＜x＜7． 【點(diǎn)評(píng)】此類求三角形第三邊的范圍的題，實(shí)際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可． 　 7．如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1260，那么這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有　6　條對(duì)角線． 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；多邊形的對(duì)角線． 【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得多邊形的邊數(shù)，再計(jì)算出對(duì)角線的條數(shù)． 【解答】解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為x，由題意得： （x﹣2）180=1260， 解得；x=9， 從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)所畫的對(duì)角線條數(shù)：9﹣3=6， 故答案為：6． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式180（n﹣2）． 　 8．如圖是一副三角尺拼成圖案，則∠AEB=　75　度． 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)三角形中內(nèi)角和定理可得．一副三角尺的度數(shù)：30，45，60，90． 【解答】解：由圖知，∠A=60，∠ABE=∠ABC﹣∠DBC=90﹣45=45， ∴∠AEB=180﹣（∠A+∠ABE）=180﹣（60+45）=75． 【點(diǎn)評(píng)】本題利用了三角形中內(nèi)角和定理：三個(gè)內(nèi)角和為180． 　 9．如果三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角的4倍，等于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的2倍，則此三角形最小內(nèi)角的度數(shù)是　36　． 【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】先根據(jù)已知三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角的4倍，互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角和為180，從而求出這個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為144、36．又知這個(gè)外角還等于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的2倍，所以可以得到這兩個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角分別為：72、72，則這個(gè)三角形各角的度數(shù)分別是36，72，72． 【解答】解：∵三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角的4倍， ∴可設(shè)這一內(nèi)角為x，則它的外角為4x， ∴有x+4x=180， 則x=36，4x=144． 又∵這個(gè)外角還等于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的2倍， ∴這兩個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角分別為：72、72， ∴這個(gè)三角形各角的度數(shù)分別是36，72，72， ∴此三角形最小內(nèi)角的度數(shù)是36． 故答案為：36 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角性質(zhì)定理，即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和． 　 10．如圖，小亮從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)30，再沿直線前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)30，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了　120　米． 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】由題意可知小亮所走的路線為一個(gè)正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案． 【解答】解：∵36030=12， ∴他需要走12次才會(huì)回到原來(lái)的起點(diǎn)，即一共走了1210=120米． 故答案為：120． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的外角和定理．任何一個(gè)多邊形的外角和都是360． 　 三．解答題（共4小題，11，12題每題12分，13，14題每題13分，共50分） 11．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=68，∠BCD=31．求∠B，∠ADC的度數(shù)． 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)． 【分析】由角平分線的性質(zhì)得到∠ACB=2∠BCD=62，所以在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理來(lái)求∠B的度數(shù)；利用△BCD外角性質(zhì)來(lái)求∠ADC的度數(shù)． 【解答】解：如圖，∵CD平分∠ACB，∠BCD=31， ∴∠ACB=2∠BCD=62， 又∵∠A=68， ∴∠B=180﹣∠A﹣∠ACB=50， ∴∠ADC=∠B+∠BCD=50+31=81． 綜上所述，∠B，∠ADC的度數(shù)分別是50，81． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)．解題時(shí)，要挖掘出隱含在題干中的已知條件：三角形內(nèi)角和是180度． 　 12．已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)． 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】多邊形的外角和是360度，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180，即可得到多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求得多邊形的邊數(shù)． 【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n， 依題意得（n﹣2）180=3360﹣180， （n﹣2）=6﹣1， n=7． ∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7． 【點(diǎn)評(píng)】任何多邊形的外角和都是360度，不隨邊數(shù)的變化而變化． 　 13．如圖所示，△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，∠A=60，∠BDC=95，求△BDE各內(nèi)角的度數(shù)． 【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠ABD與∠CBD的關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠CBD與∠BDE的關(guān)系，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠EBD的大小，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得答案． 【解答】解：∵BD是∠ABC的平分線， ∴∠ABD=∠CBD． ∵DE∥BC，交AB于點(diǎn)E， ∴∠CBD=∠BDE ∴∠EBD=∠BDE． ∵∠BDC是△ABD的外角， ∴∠A+∠ABD=∠BDC， ∴∠EBD=∠BDC﹣∠A=95﹣60=35， ∴∠BDE=∠DBE=35， ∴∠BED=180﹣∠EBD﹣∠EDB=180﹣35﹣35=110． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，難度不大，是三角形部分的基礎(chǔ)習(xí)題．解答的關(guān)鍵是要熟練掌握：（1）三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（2）三角形的內(nèi)角和為180． 　 14．如圖，在△ABC中，∠A=50，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠ABO=20，∠ACO=30，求∠BOC的度數(shù)． 【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)． 【分析】延長(zhǎng)BO交AC于E，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠1=∠A+∠ABO，∠BOC=∠ACO+∠1，再代入相應(yīng)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：延長(zhǎng)BO交AC于E， ∵∠A=50，∠ABO=20， ∴∠1=50+20=70， ∵∠ACO=30， ∴∠BOC=∠1+∠ACO=70+30=100 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系定理．