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2014-2015高考理科數(shù)學《二次函數(shù)與冪函數(shù)》練習題
[A組 基礎演練能力提升]
一、選擇題
1．二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋t圖象的頂點在x軸上，則t的值是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析：二次函數(shù)的圖象頂點在x軸上，∴Δ＝0，
可得t＝－4.
答案：A
2．設函數(shù)g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝
則f(x)的值域是( )
A.∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C. D.∪(2，＋∞)
解析：令x
0，解得x<－1或x>2；
令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.
故函數(shù)f(x)＝
當x<－1或x>2時，函數(shù)f(x)>(－1)2＋(－1)＋2＝2；
當－1≤x≤2時，函數(shù)f≤f(x)≤f(－1)，
即－≤f(x)≤0.
故函數(shù)f(x)的值域是∪(2，＋∞)
答案：D
3．已知函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關系為( )
A．c0，b>0.
由冪函數(shù)的性質(zhì)知，當x>1時，指數(shù)大的冪函數(shù)的函數(shù)值就大，則a>b.
綜上所述，可知c0，＝0，
∴ac＝1，c>0.
∴a＋c≥2＝2.當且僅當a＝c＝1時，取等號．
∴a＋c的最小值為2.
答案：2
8．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]時有最大值2，則a的值為________．
解析：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
當a>1時，ymax＝a；
當0≤a≤1時，ymax＝a2－a＋1；
當a<0時，ymax＝1－a.
根據(jù)已知條件：或或
解得a＝2，或a＝－1.
答案：2或－1
9．當x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值為________．
解析：由x≥0，y≥0，x＝1－2y≥0知0≤y≤，
令t＝2x＋3y2＝3y2－4y＋2，
∴t＝32＋
在上遞減，當y＝時，t取到最小值，tmin＝.
答案：
三、解答題
10．已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m為何值時，f(x)是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)？
解析：∵函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是冪函數(shù)，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
當m＝2時，－5m－3＝－13，函數(shù)y＝x－13在(0，＋∞)上是減函數(shù)；
當m＝－1時，－5m－3＝2，函數(shù)y＝x2在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
∴m＝－1.
11．(2014年玉林模擬)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a的定義域為[－1,1]時，值域為[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．
解析：f(x)＝x2－2ax＋a＝(x－a)2＋a－a2.
當a<－1時，f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)，
∴解得a＝－1(舍去)；
當－1≤a≤0時，解得a＝－1.
當01時，f(x)在[－1,1]上為減函數(shù)，
∴a不存在．
綜上可知a＝－1.
12．(能力提升)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在區(qū)間[0,1]內(nèi)有最大值－5，求a的值及函數(shù)表達式f(x)．
解析：∵f(x)＝－42－4a，
∴拋物線頂點坐標為.
①當≥1，即a≥2時，f(x)取最大值－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝1<2(舍去)；
②當0<<1，即00在x∈[1，＋∞)上恒成立，所以x2>在x∈[1，＋∞)上恒成立，所以1>，解得m<－或m>(舍去)，故m<－.
答案：A
2．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當|f(x)|≥g(x)時，h(x)＝|f(x)|；當|f(x)|0)，
∴h′(x)＝＋2x－3＝.
易知函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.
∴∴
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二次函數(shù)與冪函數(shù)
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