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第13章 全等三角形 一、選擇題 1．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的點(diǎn)，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，現(xiàn)有如下結(jié)論： ①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45；④△GBE∽△ECH 其中，正確的結(jié)論有（　　） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 2．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊中點(diǎn)，BD、CE交于點(diǎn)H，BE、AH交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正確的個(gè)數(shù)是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 　 二、填空題 3．如圖，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，則CE=　　． 4．如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，AB=2，BC=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，AD上的點(diǎn)，連接CE，CF．當(dāng)∠BCE=∠ACF，且CE=CF時(shí)，AE+AF=　?。? 5．如圖，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度數(shù)是　　． 6．如圖，△ABC中，∠C=90，CA=CB，點(diǎn)M在線段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足為G，MG與BC相交于點(diǎn)H．若MH=8cm，則BG=　　cm． 7．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結(jié)論：①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當(dāng)AB=AC，∠BAC=120時(shí)，四邊形AEFD是正方形．其中正確的結(jié)論是　　．（請(qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào)）． 　 三、解答題 8．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在邊BC上，且AF=AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AF，垂足為點(diǎn)E． （1）求證：DE=AB． （2）以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點(diǎn)G．若BF=FC=1，試求的長(zhǎng)． 9．如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AC=AD． 10．如圖，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求證：∠A=∠D． 11．如圖，△ABC和△EFD分別在線段AE的兩側(cè)，點(diǎn)C，D在線段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求證：BC=FD． 12．如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點(diǎn)，連接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 13．已知：如圖，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD，其交點(diǎn)為O．求證： （1）△CDE≌△DBF； （2）OA=OD． 14．如圖，已知∠ABC=90，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC． （1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明； （2）如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 15．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE=DF，連接BE，AF．求證：BE=AF． 16．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)M，N分別在AB，AC邊上，AM=2MB，AN=2NC．求證：DM=DN． 17．在平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE和AD相交于點(diǎn)O，求證：OA=OE． 18．我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AB=CB，AD=CD．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分別是E，F(xiàn)．求證OE=OF． 　  第13章 全等三角形 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的點(diǎn)，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，現(xiàn)有如下結(jié)論： ①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45；④△GBE∽△ECH 其中，正確的結(jié)論有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠B=∠DCB=90，AB=BC，求出BG=BE，根據(jù)勾股定理得出BE=GE，即可判斷①；求出∠GAE+∠AEG=45，推出∠GAE=∠FEC，根據(jù)SAS推出△GAE≌△CEF，即可判斷②；求出∠AGE=∠ECF=135，即可判斷③；求出∠FEC＜45，根據(jù)相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判斷④． 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=∠DCB=90，AB=BC， ∵AG=CE， ∴BG=BE， 由勾股定理得：BE=GE，∴①錯(cuò)誤； ∵BG=BE，∠B=90， ∴∠BGE=∠BEG=45， ∴∠AGE=135， ∴∠GAE+∠AEG=45， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90， ∵∠BEG=45， ∴∠AEG+∠FEC=45， ∴∠GAE=∠FEC， 在△GAE和△CEF中 ∴△GAE≌△CEF，∴②正確； ∴∠AGE=∠ECF=135， ∴∠FCD=135﹣90=45，∴③正確； ∵∠BGE=∠BEG=45，∠AEG+∠FEC=45， ∴∠FEC＜45， ∴△GBE和△ECH不相似，∴④錯(cuò)誤； 即正確的有2個(gè)． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，綜合比較強(qiáng)，難度較大． 　 2．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊中點(diǎn)，BD、CE交于點(diǎn)H，BE、AH交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正確的個(gè)數(shù)是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)證得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再證△ADH≌△CDH，求得∠HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90；最后在△AGE中根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180求得∠AGE=90即可得到①正確．根據(jù)tan∠ABE=tan∠EAG=，得到AG=BG，GE=AG，于是得到BG=4EG，故②正確；根據(jù)AD∥BC，求出S△BDE=S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正確；由∠AHD=∠CHD，得到鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正確； 【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，E是AD邊上的中點(diǎn)， ∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90， 在△BAE和△CDE中 ∵， ∴△BAE≌△CDE（SAS）， ∴∠ABE=∠DCE， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45， ∵在△ADH和△CDH中， ， ∴△ADH≌△CDH（SAS）， ∴∠HAD=∠HCD， ∵∠ABE=∠DCE ∴∠ABE=∠HAD， ∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90， ∴∠ABE+∠BAH=90， ∴∠AGB=180﹣90=90， ∴AG⊥BE，故①正確； ∵tan∠ABE=tan∠EAG=， ∴AG=BG，GE=AG， ∴BG=4EG，故②正確； ∵AD∥BC， ∴S△BDE=S△CDE， ∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH， 即；S△BHE=S△CHD，故③正確； ∵△ADH≌△CDH， ∴∠AHD=∠CHD， ∴∠AHB=∠CHB， ∵∠BHC=∠DHE， ∴∠AHB=∠EHD，故④正確； 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)：①四邊相等，兩兩垂直； ②四個(gè)內(nèi)角相等，都是90度； ③對(duì)角線相等，相互垂直，且平分一組對(duì)角． 　 二、填空題 3．如圖，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，則CE=　3?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由已知條件易證△ABE≌△ACD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論． 【解答】解：△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AD=AE=2，AC=AB=5， ∴CE=BD=AB﹣AD=3， 故答案為3． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟記定理是解題的關(guān)鍵． 　 4．如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，AB=2，BC=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，AD上的點(diǎn)，連接CE，CF．當(dāng)∠BCE=∠ACF，且CE=CF時(shí)，AE+AF=　?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，證明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2，根據(jù)勾股定理得AC=4，所以AG=4﹣2，易證△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值． 【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，如圖所示， 在△BCE和△GCF中， ， ∴△BCE≌△GCF（AAS）， ∴CG=BC=2， ∵AC==4， ∴AG=4﹣2， ∵△AGF∽△CBA ∴， ∴AF==， FG==， ∴AE=2﹣=， ∴AE+AF=+=． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)，有一定的綜合性，難易適中． 　 5．如圖，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度數(shù)是　90?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ODA與∠BAE的關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠ODA與∠OAD的關(guān)系，根據(jù)直角三角形的判定，可得答案． 【解答】解：由ABCD是正方形，得 AD=AB，∠DAB=∠B=90． 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF， ∴∠BAE=∠ADF． ∵∠BAE+∠EAD=90， ∴∠OAD+∠ADO=90， ∴∠AOD=90， 故答案為：90． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，直角三角形的判定． 　 6．如圖，△ABC中，∠C=90，CA=CB，點(diǎn)M在線段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足為G，MG與BC相交于點(diǎn)H．若MH=8cm，則BG=　4　cm． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】如圖，作MD⊥BC于D，延長(zhǎng)DE交BG的延長(zhǎng)線于E，構(gòu)建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4． 【解答】解：如圖，作MD⊥BC于D，延長(zhǎng)MD交BG的延長(zhǎng)線于E， ∵△ABC中，∠C=90，CA=CB， ∴∠ABC=∠A=45， ∵∠GMB=∠A， ∴∠GMB=∠A=22.5， ∵BG⊥MG， ∴∠BGM=90， ∴∠GBM=90﹣22.5=67.5， ∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5． ∵M(jìn)D∥AC， ∴∠BMD=∠A=45， ∴△BDM為等腰直角三角形 ∴BD=DM， 而∠GBH=22.5， ∴GM平分∠BMD， 而BG⊥MG， ∴BG=EG，即BG=BE， ∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90， ∴∠MHD=∠E， ∵∠GBD=90﹣∠E，∠HMD=90﹣∠E， ∴∠GBD=∠HMD， ∴在△BED和△MHD中， ， ∴△BED≌△MHD（AAS）， ∴BE=MH， ∴BG=MH=4． 故答案是：4． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)． 　 7．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結(jié)論：①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當(dāng)AB=AC，∠BAC=120時(shí)，四邊形AEFD是正方形．其中正確的結(jié)論是　①②?。ㄕ?qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào)）． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；正方形的判定． 【專題】壓軸題． 【分析】由三角形ABE與三角形BCF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，∠ABE=∠CBF=60，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EBF與三角形DFC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到EF=AC，再由三角形ADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF=AD，AE=DF，利用對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形，若AB=AC，∠BAC=120，只能得到AEFD為菱形，不能為正方形，即可得到正確的選項(xiàng)． 【解答】解：∵△ABE、△BCF為等邊三角形， ∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60， ∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE， 在△ABC和△EBF中， ， ∴△ABC≌△EBF（SAS）， ∴EF=AC， 又∵△ADC為等邊三角形， ∴CD=AD=AC， ∴EF=AD=DC， 同理可得△ABC≌△DFC， ∴DF=AB=AE=DF， ∴四邊形AEFD是平行四邊形，選項(xiàng)②正確； ∴∠FEA=∠ADF， ∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF， 在△FEB和△CDF中， ． ∴△FEB≌△CDF（SAS），選項(xiàng)①正確； 若AB=AC，∠BAC=120，則有AE=AD，∠EAD=120，此時(shí)AEFD為菱形，選項(xiàng)③錯(cuò)誤， 故答案為：①②． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，以及正方形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題 8．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在邊BC上，且AF=AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AF，垂足為點(diǎn)E． （1）求證：DE=AB． （2）以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點(diǎn)G．若BF=FC=1，試求的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；矩形的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算． 【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠B=∠C=90，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS證明△ADE≌△FAB，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可； （2）連接DF，先證明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再證明△ADF是等邊三角形，得出∠DAE=60，∠ADE=30，由AE=BF=1，根據(jù)三角函數(shù)得出DE，由弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90，AB=BC=AD=DC，AD∥BC， ∴∠EAD=∠AFB， ∵DE⊥AF， ∴∠AED=90， 在△ADE和△FAB中，， ∴△ADE≌△FAB（AAS）， ∴DE=AB； （2）解：連接DF，如圖所示： 在△DCF和△ABF中，， ∴△DCF≌△ABF（SAS）， ∴DF=AF， ∵AF=AD， ∴DF=AF=AD， ∴△ADF是等邊三角形， ∴∠DAE=60， ∵DE⊥AF， ∴∠AED=90， ∴∠ADE=30， ∵△ADE≌△FAB， ∴AE=BF=1， ∴DE=AE=， ∴的長(zhǎng)==． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)以及弧長(zhǎng)公式；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 　 9．如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AC=AD． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】先證出∠ABC=∠ABD，再由ASA證明△ABC≌△ABD，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可． 【解答】證明：∵∠3=∠4， ∴∠ABC=∠ABD， 在△ABC和△ABD中，， ∴△ABC≌△ABD（ASA）， ∴AC=AD． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求證：∠A=∠D． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】先證出∠ACB=∠DCE，再由SAS證明△ABC≌△DEC，得出對(duì)應(yīng)角相等即可． 【解答】證明：∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACB=∠DCE， 在△ABC和△DEC中，， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴∠A=∠D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 　 11．如圖，△ABC和△EFD分別在線段AE的兩側(cè)，點(diǎn)C，D在線段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求證：BC=FD． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)已知條件得出△ACB≌△DEF，即可得出BC=DF． 【解答】證明：∵AB∥EF， ∴∠A=∠E， 在△ABC和△EFD中 ∴△ABC≌△EFD（SAS） ∴BC=FD． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形全等的判定方法，難度適中． 　 12．如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點(diǎn)，連接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠ADE=∠BAF，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BF與AE的關(guān)系，再根據(jù)等量代換，可得答案． 【解答】解：線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)F=BF+EF，理由如下： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90． ∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F， ∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90， ∴∠ADE+∠DAE=90，∠DAE+∠BAF=90， ∴∠ADE=∠BAF． 在△ABF和△DAE中， ∴△ABF≌△DAE （AAS）， ∴BF=AE． ∵AF=AE+EF， AF=BF+EF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了正方形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等量代換． 　 13．已知：如圖，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD，其交點(diǎn)為O．求證： （1）△CDE≌△DBF； （2）OA=OD． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)三角形中位線，可得DF與CE的關(guān)系，DB與DC的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得答案； （2）根據(jù)三角形的中位線，可得DF與AE的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可得答案． 【解答】證明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位線， ∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC． ∵DF∥CE， ∴∠C=∠BDF． 在△CDE和△DBF中， ∴△CDE≌△DBF （SAS）； （2）∵DE、DF是△ABC的中位線， ∴DF=AE，DF∥AE， ∴四邊形DEAF是平行四邊形， ∵EF與AD交于O點(diǎn)， ∴AO=OD 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用了三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊的性的判定與性質(zhì)． 　 14．如圖，已知∠ABC=90，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC． （1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明； （2）如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，即可判斷三角形的形狀； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，∠FDC=90，即可得出∠FCD=∠APD=45． 【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD與△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90， ∴∠BDC+∠FDA=90， ∴△CDF是等腰直角三角形； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，如圖， ∵AF⊥AD，∠ABC=90， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD與△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90， ∴∠BDC+∠FDA=90， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠FCD=45， ∵AF∥CE，且AF=CE， ∴四邊形AFCE是平行四邊形， ∴AE∥CF， ∴∠APD=∠FCD=45． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用．解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵． 　 15．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE=DF，連接BE，AF．求證：BE=AF． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=AD，每一個(gè)角都是直角可得∠BAE=∠D=90，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可． 【解答】證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴BE=AF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直的定義，求出兩三角形全等，從而得到BE=AF是解題的關(guān)鍵． 　 16．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)M，N分別在AB，AC邊上，AM=2MB，AN=2NC．求證：DM=DN． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD是頂角的平分線，再利用全等三角形進(jìn)行證明即可． 【解答】證明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC， ∴AM=AN， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴∠MAD=∠NAD， 在△AMD與△AND中， ， ∴△AMD≌△AND（SAS）， ∴DM=DN． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明． 　 17．在平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE和AD相交于點(diǎn)O，求證：OA=OE． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）． 【專題】證明題． 【分析】由在平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD對(duì)折，使點(diǎn)C落在E處，即可求得∠DBE=∠ADB，得出OB=OD，再由∠A=∠C，證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可． 【解答】證明：平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD對(duì)折，使點(diǎn)C落在E處， 可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C， ∴OB=OD， 在△AOB和△EOD中， ， ∴△AOB≌△EOD（AAS）， ∴OA=OE． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 18．們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AB=CB，AD=CD．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分別是E，F(xiàn)．求證OE=OF． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題；新定義． 【分析】欲證明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通過(guò)全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的對(duì)應(yīng)角相等得到∠ABD=∠CBD，問(wèn)題就迎刃而解了． 【解答】證明：∵在△ABD和△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD平分∠ABC． 又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．