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14.1 勾股定理（一） （華東師大版八年級上冊第十四章第一節(jié)） 教學(xué)內(nèi)容與背景材料 本節(jié)課主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)勾股定理及其應(yīng)用． 教學(xué)設(shè)想 本節(jié)課是對勾股定理進行探索，在探索過程中，培養(yǎng)學(xué)生猜測、動手實驗以及說理的能力，發(fā)展學(xué)生的合作交流能力和數(shù)學(xué)表達能力、解決問題的能力，并且要求學(xué)生學(xué)會及時對自己的猜測進行驗證，并在驗證過程中進行回顧與思考。 教學(xué)目標 知識與技能 1．探索直角三角形三邊關(guān)系，掌握勾股定理，發(fā)展幾何思維． 2．應(yīng)用勾股定理解決簡單的實際問題（探索性問題和應(yīng)用性問題）。 3．學(xué)會簡單的合情推理與數(shù)學(xué)說理。 過程與方法： 通過動手操作探索與發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系，經(jīng)歷小組協(xié)作討論，進一步發(fā)展合作交流的能力和數(shù)學(xué)表達能力，并感受勾股定理的應(yīng)用意識． 情感態(tài)度與價值觀： 通過介紹勾股定理在中國古代的研究，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想，激勵學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)。養(yǎng)成數(shù)學(xué)說理的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生參與的積極性，嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度，體會勾股定理的應(yīng)用價值． 重難點、關(guān)鍵 重點：了解勾股定理的演繹過程，掌握勾股定理及其應(yīng)用． 難點：理解勾股定理的推導(dǎo)過程． 關(guān)鍵：通過網(wǎng)格拼圖的辦法來探索勾股定理的證明過程，理解其內(nèi)涵。 教學(xué)準備 教師準備：制作幻燈片，手持式網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)機，設(shè)計好拼圖：“探究”1、2的教具。 學(xué)生準備：手持式學(xué)習(xí)機的基本使用，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容。 學(xué)法解析 1．認知起點：已認識幾何圖形：直角三角形（含等腰直角三角形）。 2．知識線索： 3．學(xué)習(xí)方式：采用觀察、合作探究、交流的方式理解領(lǐng)會本節(jié)課內(nèi)容。 教法選擇：采用啟發(fā)、引導(dǎo)式教學(xué)法、合作探討法、演示法。 教學(xué)用具：直尺、三角板、投影儀、諾亞舟學(xué)習(xí)機。 教學(xué)過程 一、回眸歷史，感悟輝煌 【顯示投影片1】 內(nèi)容1：公元前572～前492年，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家畢達哥拉斯在一次朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，請同學(xué)們一起來觀察圖中的地面（用幻燈片顯示），你能發(fā)現(xiàn)什么呢？ 【活動方略】 教師活動：操作搜學(xué)王播放投影儀，講述畢達哥拉斯的故事（上網(wǎng)收集），引導(dǎo)學(xué)生觀察該圖片，發(fā)現(xiàn)問題． 學(xué)生活動：觀察、聽取老師的講述，從中發(fā)現(xiàn)圖片a中含有許多大大小小的等腰直角三角形． 內(nèi)容2：用圖片顯示學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)發(fā)現(xiàn)． 二、合作探究，體驗發(fā)現(xiàn) （一）教師活動：1、提出作圖任務(wù)：作一個等腰直角三角形，以每一條邊為邊長向外作正方形。 2、通過屏幕提示作圖步驟：①利用特殊三角形作一個等腰直角三角形， ②利用特殊四邊形里正方形以每一條邊為邊長作三個正方形。 3、提問：同學(xué)們，你能發(fā)現(xiàn)圖中的三個正方形的面積有什么數(shù)量關(guān)系嗎？等腰直角三角形有什么性質(zhì)嗎？ 學(xué)生活動：與同伴合作探討動手操作數(shù)學(xué)畫板，從網(wǎng)格圖中發(fā)現(xiàn)下面的現(xiàn)象：上圖右邊的三個正方形S1=SⅡ，SⅢ=SⅠ+SⅡ，即以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積． 教師小結(jié)：從圖中，我們發(fā)現(xiàn)，等腰直角三角形的三邊之間具有一種特殊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和． 教師提問：上面我們研究了等腰直角三角形三邊的性質(zhì)，但是等腰直角三角形是一種特殊的直角三角形，對于一般的直角三角形是否也有這樣的性質(zhì)呢？ （二）教師活動：請同學(xué)們觀察圖2， 1、 提出作圖要求：作一個任意的直角三角形，以每一邊為邊長向外作正方形。 2、 通過屏幕顯示作圖步驟：①利用特殊三角形作一個直角三角形， ②利用特殊四邊形里正方形以每一條邊為邊長作三個正方形。 (圖2) 3、 提問：設(shè)定每個小方格的面積均為1，（1）分別計算圖中正方形ABDE、BCIH、ACGF的面積； （2）觀察其中的規(guī)律，你能得出什么結(jié)論？與同伴交流． 學(xué)生活動：分四人小組動手操作數(shù)學(xué)畫板，討論，并踴躍發(fā)表自己的看法． 思路點撥：實際上，以斜邊為邊長的正方形的面積，等于某個正方形的面積減去4個直角三角形的面積． 【設(shè)計意圖】通過歷史情境引入，使學(xué)生感受到古代文明的成就．在大自然中，看似平淡無奇的現(xiàn)象有時卻隱藏著深刻的哲理，激發(fā)學(xué)生的求知欲． 發(fā)揮數(shù)學(xué)畫板及時作圖計算、直觀的優(yōu)勢，積累直觀表象，讓學(xué)生體會對任意的直角三角形，都有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 （三）問題牽引： 猜想：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．（命題1） 教師活動：介紹在北京召開的2002年國際數(shù)學(xué)家大會的會標，其圖案正是“弦圖”， 它實際就是我國古代趙爽應(yīng)用拼圖解釋“命題1”的一種圖案，通過介紹拼圖過程讓學(xué)生領(lǐng)悟勾股定理的推理。 【設(shè)計意圖】“趙爽證法”以教師講解為主，學(xué)生參與分析為輔，讓學(xué)生形成拼圖意識，感受我國科學(xué)家的偉大發(fā)明。 三、聯(lián)系實際，應(yīng)用所學(xué) 問題探究1： 一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？ 思路點撥：從觀察實驗可知，木板橫著進，豎著進，都無法從門框內(nèi)通過，因此，嘗試斜著通過，而對角線AC或BD是斜著能通過的最大長度．只要測出AC或BD，與木板的寬比較，就能知道木板是否能通過． 【活動方略】 教師活動：拿出教具：如圖的木框，幾塊木板，演示引導(dǎo)學(xué)生思考． 學(xué)生活動：觀察、討論，得到必須應(yīng)用勾股定理，利用諾亞舟學(xué)習(xí)機的圖形計算功能求出木框的斜邊AC2=AB2+BC2=12+22=5，AC=≈2.236，然后以此為尺寸，來判斷薄木板能否通過木框，2.236＞2.2，結(jié)論是可以！ 問題探究2：如圖，一個3cm長的梯子，AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？ 思路點撥：從BD=OD-OB可以看出，必需先求OB，OD，因此，可以通過勾股定理在Rt△AOB，Rt△COD中求出OB和OD，最后將BD求出． 【活動方略】 教師活動：作出圖形，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、應(yīng)用勾股定理，提問個別學(xué)生． 學(xué)生活動：觀察、交流，從中尋找出Rt△AOB，Rt△COD，以此為基礎(chǔ)應(yīng)用勾股定理求得OB和OD． 【課堂演練】 演練題：在Rt△ABC中，已知兩直角邊a與b的和為pcm，斜邊長為qcm，求這個三角形的面積． 思路點撥：因為Rt△的面積等于ab，所以只要求出ab即可，由條件知a+b=p，c=q，聯(lián)想勾股定理a2+b2=c2，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．由a+b=p，a2+b2=q2求出ab． 教師活動：操作投影儀，組織學(xué)生演練，以練促思；引導(dǎo)學(xué)生進行等式變形． 學(xué)生活動：先獨立思考，完成演練題1，再爭取上臺演示． 解：∵a+b=p，c=q， ∴a2+2ab+b2=（a+b）2=p2，a2+b2=q2（勾股定理） ∴2ab=p2-q2 ∴SRt△ABC=ab=（p2-q2）cm2 【設(shè)計意圖】以兩個探究為素材，幫助學(xué)生應(yīng)用勾股定理，再通過設(shè)置的演練題來靈活學(xué)生的思維． 四、隨堂練習(xí)，鞏固深化 1．課本P76 “練習(xí)”1、2． 2．【探研時空】 （1）若已知△ABC的兩邊分別為3和4，你能求出第三邊嗎？為什么？ （2）如圖，已知：在△ABC，∠A=90，D、E分別在AB、AC上，你能探究出CD2+BE2=BC2+DE2嗎？ （提示：BE2+CD2=AD2+AC2+AB2+AE2=（AD2+AE2）+（AC2+AB2）=（DE2+BC2） 五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃? 1．勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90，a2+b2=c2。 2．勾股定理適用于任何形狀的直角三角形，在直角三角形中，已知任意兩邊的長都可以求出第三邊的長． 六、布置作業(yè)，專題突破 1．課本P77 習(xí)題 七、課后反思 通過本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)實施學(xué)生基本能掌握直角三角形的勾股定理（兩直角邊的平方等于斜邊的平方），并能應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中知道直角三角形的任意兩邊求第三邊的問題。 在課堂引入中能有趣的激發(fā)學(xué)生探求勾股定理的興趣，使本節(jié)課有一個良好的開端，接下來是合作探究，體驗發(fā)現(xiàn)，利用搜學(xué)王可以更有效、更準確的探究出勾股定理三邊之間的關(guān)系，除了讓學(xué)生有興趣以外還更準確更具有說服力，比傳統(tǒng)教學(xué)模式的枯燥乏味效果增加了不少。在應(yīng)用部分利用搜學(xué)王的計算功能可以讓學(xué)生更準確的計算出應(yīng)該得出的結(jié)果。同時可以利用搜學(xué)王的習(xí)題功能及時訓(xùn)練本節(jié)課勾股定理的應(yīng)用，做到及時有效?？傊盟褜W(xué)王可以大大提高教學(xué)和學(xué)習(xí)效果。