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全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)模擬試題二 第Ⅰ卷 一 選擇題：本題共12題，每小題5分，共60.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且 只有一個(gè)是正確的. 1.若 則( ). 2.，則“”是“”的 （ ） A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充分必要條件 D 既非充分也非必要條件 3.有能力互異的3人應(yīng)聘同一公司，他們按照?qǐng)?bào)名順序依次接受面試，經(jīng)理決定“不錄用第一個(gè)接受面試的人，如果第二個(gè)接受面試的人比第一個(gè)能力強(qiáng)，就錄用第二個(gè)人，否則就錄用第三個(gè)人”，記公司錄用到能力最強(qiáng)的人的概率為，錄用到能力最弱的人的概率為，則 4.2001年至2013年北京市電影放映場(chǎng)次的情況如右圖所示．下列函數(shù)模型中，最不合適近似描述這13年間電影放映場(chǎng)次逐年變化規(guī)律的是（ ） A． B． C． D． 5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入如下四個(gè)函數(shù)( ) ①； ②； ③； ④． 則輸出函數(shù)的序號(hào)為（ ） （A）① （B）② （C）③ （D）④ 6 在的展開(kāi)中，的系數(shù)是（ ） A 7.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是( ) (A) (B) (C) (D) 8.變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為( ) A.5 B.4 C.3 D.2 9.如圖所示，陰影部分的面積是的函數(shù)．則該函數(shù)的圖像是（　?。? 10．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．則“”是“”的（ ） （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （D）既不充分又不必要條件 （C）充要條件 11.已知函數(shù)若，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( ) （A） （B） （C） （D）或 12. 已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( ) A． B． C． D． 第II卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13第21必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22，23,24考生根據(jù)要求作答。 二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上） 13.甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射擊20次，三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤? 甲的成績(jī) 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 5 5 5 5 乙的成績(jī) 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 6 4 4 6 丙的成績(jī) 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 4 6 6 4 分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)，則的大小關(guān)系為 ；分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則的大小關(guān)系為 ． 14．在△中，三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，， ，則______． 15．在區(qū)間上任取兩個(gè)數(shù)，那么函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的概率為_(kāi)________. 16. 已知點(diǎn)是的重心，，那么_____；若，，則的最小值是_____ 三．解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)． 17. （本小題滿分12分） 等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，公比為，且，． （Ⅰ）求與； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和． 18． （本小題滿分12分） 某校高一某班的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)(滿分為100分)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見(jiàn)部分如圖，據(jù)此解答下列問(wèn)題： (1)求分?jǐn)?shù)在[50,60]的頻率及全班人數(shù)； (2)求分?jǐn)?shù)在[80,90]之間的頻數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中[80,90]間的矩形的高． 19. （本小題共12分） 已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖（主視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)， （Ⅰ）求這個(gè)組合體的表面積； （Ⅱ）若組合體的底部幾何體記為，其中為正方形. （i）求證：； （ii）設(shè)點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍. 20．（本小題12分） 已知函數(shù)（且）. (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)若不等式對(duì)恒成立,求a的取值范圍. 21. （本小題12分） 已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，為其右焦點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在兩點(diǎn)之間），若與的面積相等，試求直線的方程. （本小題滿分10）請(qǐng)考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑。 22.選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分） 已知：如圖，⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠BAC=45，∠ABC =15，AD∥OC并交BC的延長(zhǎng)線于D，OC交AB于E. （Ⅰ）求∠D的度數(shù)； （Ⅱ）求證：； 23. 坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(0，)，曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為. （Ⅰ）判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系，說(shuō)明理由； (Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求|PA||PB|的值． 24.選修4—5：不等式選講（本小題滿分10分） 已知，求證： 全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)模擬試題二參考答案 一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 1-5 ABDDD 6-10 DACAC 11-12 AC 二、 填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分 13.； 14. 15. 16. ； 三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程. 17（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）設(shè)的公差為， 因?yàn)樗? 解得 或（舍），． 故 ，．……………6分 （Ⅱ）因?yàn)椋裕? 故……12分 18.解：(1)分?jǐn)?shù)在[50,60]的頻率為0.00810＝0.08. 由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在[50,60]之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為＝25. (2)分?jǐn)?shù)在[80,90]之間的頻數(shù)為25－2－7－10－2＝4，頻率分布直方圖中[80,90]間的矩形的高為10＝0.016. 19．解 (Ⅰ)=. … (Ⅱ)（i）∵長(zhǎng)方體 ∴ ∵∴又∵是邊長(zhǎng)為8的正方形∴ ∵∴. （ii）建立直角坐標(biāo)系，則,∴∵ ∴ 為平面的法向量 ∵∴. 20（本小題滿分12分） 解: 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得: ……………2分 (Ⅰ)當(dāng)時(shí), 令解得 或 解得 所以, 單調(diào)增區(qū)間為，, 單調(diào)減區(qū)間為(-1,1) ……………5分 (Ⅱ) 令,即,解得或 6分 由時(shí),列表得： x 1 + 0 － 0 + 極大值 極小值 ……………8分 對(duì)于時(shí)，因?yàn)?所以， ∴>0 ………… 10 分 對(duì)于時(shí)，由表可知函數(shù)在時(shí)取得最小值 所以，當(dāng)時(shí)， 由題意，不等式對(duì)恒成立，所以得，解得 21（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以? 設(shè)橢圓方程為，又點(diǎn)在橢圓上,所以，解得， 所以橢圓方程為. （Ⅱ）易知直線的斜率存在, 設(shè)的方程為， 由消去整理，得 ， ………………………………………………6分 由題意知， 解得. ……………………………………………………………………7分 設(shè)，，則，①，.…②. 因?yàn)榕c的面積相等， 所以，所以.③……………………………………9分 由①③消去得.④ 將代入②得.⑤ 將④代入⑤， 整理化簡(jiǎn)得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)成立. 所以直線的方程為. …………………………12分 圖3 22（本小題滿分10分） （Ⅰ）解：如圖3，連結(jié)OB. ∵ ⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠BAC=45， ∴ ∠BOC=2∠BAC =90. ∵ OB=OC，∴ ∠OBC=∠OCB=45. ∵ AD∥OC，∴ ∠D =∠OCB=45. （Ⅱ）證明：∵ ∠BAC=45，∠D =45， ∴ ∠BAC=∠D.∵ AD∥OC，∴ ∠ACE=∠DAC . 圖4 ∴ △ACE∽△DAC ． ∴ ． ∴ ． 23（Ⅰ）解：(1)直線l：2ρcos(θ－)＝，即ρcosθ＋ρsinθ＝， ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝， ∴點(diǎn)P(0，)在直線l上． （Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的普通方程為 直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程， 得3(－t)2＋(＋t)2＝15， ∴t2＋2t－8＝0，Δ＝36>0， 設(shè)方程的兩根為t1，t2， 則|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|－8|＝8. 24證明： 9