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全國(guó)卷W科數(shù)學(xué)模擬試題二 第Ⅰ卷 一 選擇題：本題共12題，每小題5分，共60.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的. 1．已知復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A． B． C．— D．— 2若橢圓的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（ ） A．B．C．D． 3.某程序的框圖如圖所示, 執(zhí)行該程序，若輸入的為，則輸出 的的值分別為 A. 　　 B. C. 　　 D. 4.數(shù)列{}的前n項(xiàng)和（n N+），則等于（?。? 　　A．　　　B．　　C．　　　　 D． 5. 已知，若的充分條件是 ，，則之間的關(guān)系是（ ）． （A） （B） （C） （D） 6.已知等比數(shù)列的公比，則下面說法中不正確的是（ ） A．是等比數(shù)列 B．對(duì)于，， C．對(duì)于，都有D．若，則對(duì)于任意，都有 7. 對(duì)于x∈R，恒有成立，則f(x)的表達(dá)式可能是( )． （） （） （） （） 8.已知函數(shù)的圖象與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） （　?。? A． B． C． D． 9.有能力互異的3人應(yīng)聘同一公司，他們按照?qǐng)?bào)名順序依次接受面試，經(jīng)理決定“不錄用第 一個(gè)接受面試的人，如果第二個(gè)接受面試的人比第一個(gè)能力強(qiáng)，就錄用第二個(gè)人，否則就錄用 第三個(gè)人”，記公司錄用到能力最強(qiáng)的人的概率為，錄用到能力最弱的人的概率為，則 10.已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上且，則的面積為 A 32 B 16 C 8 D 4 11.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，令，稱為數(shù)列,,…,的理想數(shù)．已知,,,…, 的理想數(shù)為2004，那么數(shù)列,,,…, 的理想數(shù)為 （ ） A 2005 B 2006 C 2007 D2008 12.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，則的大小關(guān)系正確的是（ ） A. B. C. D. 第II卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13第21必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22，23,24考生根據(jù)要求作答。 二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上） 13. 若變量，滿足約束條件 則的最大值為 . 時(shí)速（km/h） 001 002 003 004 組距 40 50 60 70 80 頻率 O 14.已知有若干輛汽車通過某一段公路，從中抽取 輛汽車進(jìn)行測(cè)速分析，其時(shí)速的頻率分布直 方圖如圖所示，則時(shí)速在區(qū)間上的汽車大 約有輛 . 主視圖 俯視圖 3 2 2 2 2 側(cè)視圖 15. 某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是 . 16. 某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)（萬元）與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間（年數(shù)，）的關(guān)系為.則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn) 年時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值是萬元. 三．解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)． 17．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與射線交于點(diǎn)．記，且． （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）求的最小值. 18.（本小題滿分12分） 2004年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國(guó)兒童基金會(huì)等權(quán)威機(jī)構(gòu)將青蒿素作為一線抗瘧藥品推廣. 2015年12月10日，我國(guó)科學(xué)家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻(xiàn)獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng). 目前，國(guó)內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速. 某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對(duì)青蒿素產(chǎn)量的影響，在山上和山下的試驗(yàn)田中分別種植了100株青蒿進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn). 現(xiàn)在從山上和山下的試驗(yàn)田中各隨機(jī)選取了4株青蒿作為樣本, 每株提取的青蒿素產(chǎn)量（單位：克）如下表所示： ① ② ③ ④ 山上 5.0 3.8 3.6 3.6 山下 3.6 4.4 4.4 3.6 （Ⅰ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)山下試驗(yàn)田青蒿素的總產(chǎn)量； （Ⅱ）記山上與山下兩塊試驗(yàn)田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為，，根據(jù)樣本數(shù)據(jù), 試估計(jì)與 的大小（只需寫出結(jié)論）； （Ⅲ）從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機(jī)選取1株，記這2株的產(chǎn)量總和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 19．（本小題滿分12分） 如圖，四邊形是梯形，，，四邊形為矩形，已知，，，. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值； A B C D D1 C1 （Ⅲ）設(shè)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），判斷直線與直線能否垂直？并說明理由. 20. （本題滿分12分） 已知函數(shù). （Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)的零點(diǎn)和極值； （Ⅲ）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的最小值. 21. （本小題12分） 已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，為其右焦點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在兩點(diǎn)之間），若與的面積相等，試求直線的方程. （本小題滿分10）請(qǐng)考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑。 22.選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分） 已知：如圖，⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠BAC=45，∠ABC =15，AD∥OC并交BC的延長(zhǎng)線于D，OC交AB于E. （Ⅰ）求∠D的度數(shù)； （Ⅱ）求證：； (Ⅲ)求值. 23．選修4-4：極坐標(biāo)參數(shù)方程選講 分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程化為普通方程： （Ⅰ）為參數(shù)，為常數(shù)； （Ⅱ）為參數(shù)，為常數(shù)； 24.選修4—5：不等式選講（本小題滿分10分） 已知，求證： 全國(guó)卷W科數(shù)學(xué)模擬試題二參考答案 第Ⅰ卷 一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 1-5 DACDB;2-10 DCADA 11-12 CC 二、 填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推證過程. 17.（Ⅰ）解：依題意，所以． 因?yàn)椋?，所以? 所以． （Ⅱ）解：由三角函數(shù)定義，得，從而． 所以 ． 因?yàn)?，所?， 所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值． 18解: (I)由山下試驗(yàn)田4株青蒿樣本青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù) …………………2分 則山下試驗(yàn)田株青蒿的青蒿素產(chǎn)量估算為 g …………………3分 （Ⅱ）比較山上、山下單株青蒿素青蒿素產(chǎn)量方差和，結(jié)果為. …………………6分 （Ⅲ）依題意，隨機(jī)變量可以取， , , , …………………8分 7.2 7.4 8 8.2 8.6 9.4 p 隨機(jī)變量的分布列為 隨機(jī)變量的期望. 19．（本小題滿分12分） （Ⅰ）證明：由為矩形，得， 又因?yàn)槠矫?，平面? 所以平面， 同理平面， 又因?yàn)椋? 所以平面平面, 又因?yàn)槠矫妫? 所以平面. ………… 3分 （Ⅱ）解：由平面中，，，得， 又因?yàn)椋? 所以平面，所以， 又因?yàn)樗倪呅螢榫匦危业酌嬷信c相交一點(diǎn)， 所以平面，因?yàn)?，所以平? 過在底面中作，所以兩兩垂直，以分 別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， …5 則，，，，，， 所以,. A B C D D1 C1 P y x z 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 由，，得 令，得. ………………8分 易得平面的法向量. 所以. 即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為. ………………8 （Ⅲ）結(jié)論：直線與不可能垂直. 證明：設(shè)，， 由，，，， 得，，，， . … 若，則，即， 因?yàn)椋? 所以，解得，這與矛盾. 所以直線與不可能垂直. ……12分 20.解：（Ⅰ）因?yàn)?，所? 因?yàn)椋郧€在處的切線方程為.……………………..3分 （Ⅱ）令，解得， 所以的零點(diǎn)為. 由解得， 則及的情況如下： 2 0 極小值 ……………………….7分 所以函數(shù)在 時(shí),取得極小值……………………….7分 （Ⅲ）法一： 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，. 若，由（Ⅱ）可知的最小值為，的最大值為，所以“對(duì)任意，有恒成立”等價(jià)于 即， 解得. 所以的最小值為1. …….12分 法二： 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，. 且由（Ⅱ）可知，的最小值為， 若，令，則 而，不符合要求， 所以. 當(dāng)時(shí)，, 所以，即滿足要求， 綜上，的最小值為1. ……………………….12分 法三： 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，. 且由（Ⅱ）可知，的最小值為， 若，即時(shí)， 令則任取, 有 所以對(duì)成立， 所以必有成立，所以，即. 而當(dāng)時(shí)，, 所以，即滿足要求， 而當(dāng)時(shí)，求出的的值，顯然大于1， 綜上，的最小值為1. ……………………….12分 21（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以? 設(shè)橢圓方程為，又點(diǎn)在橢圓上,所以，解得， 所以橢圓方程為. （Ⅱ）易知直線的斜率存在, 設(shè)的方程為， 由消去整理，得 ， ………………………………………………6分 由題意知， 解得. ……………………………………………………………………7分 設(shè)，，則，①，.…②. 因?yàn)榕c的面積相等， 所以，所以.③……………………………………9分 由①③消去得.④ 將代入②得.⑤ 將④代入⑤， 整理化簡(jiǎn)得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)成立. 所以直線的方程為. …………………………12分 圖3 22（本小題滿分10分）（Ⅰ）解：如圖3，連結(jié)OB. ∵ ⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠BAC=45， ∴ ∠BOC=2∠BAC =90. ∵ OB=OC，∴ ∠OBC=∠OCB=45. ∵ AD∥OC，∴ ∠D =∠OCB=45. （Ⅱ）證明：∵ ∠BAC=45，∠D =45， ∴ ∠BAC=∠D. ∵ AD∥OC，∴ ∠ACE=∠DAC . 圖4 ∴ △ACE∽△DAC ． ∴ ． ∴ ． (Ⅲ)解法一：如圖4，延長(zhǎng)BO交DA的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)OA. ∵ AD∥OC，∴ ∠F=∠BOC=90. ∵ ∠ABC =15， ∴ ∠OBA =∠OBC－∠ABC =30. ∵ OA = OB， ∴ ∠FOA=∠OBA＋∠OAB =60，∠OAF =30. ∴ .∵ AD∥OC，∴ △BOC ∽△BFD ． ∴ ．∴ ，即的值為2. 解法二：作OM⊥BA于M，設(shè)⊙O的半徑為r，可得BM=，OM=，，，BE=，AE=，所以. 23．（本小題滿分10分） 解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，即； 當(dāng)時(shí)， 而，即 （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即； 當(dāng)時(shí)，，，即； 當(dāng)時(shí)，得，即 得 即。 24證明： 24.選修4—5;不等式選講（本小題滿分10分） 已知>0,求證: 證明： 又∵>0,∴>0,, ∴ ∴ ∴