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第二十章 曲線(xiàn)積分 教學(xué)目的：1.理解第一、二型曲線(xiàn)積分的有關(guān)概念；2.掌握兩種類(lèi)型曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法，同時(shí)明確它們的聯(lián)系。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是曲線(xiàn)積分的概念、計(jì)算；難點(diǎn)是曲線(xiàn)積分的計(jì)算。 教學(xué)時(shí)數(shù)：10學(xué)時(shí) 1 第一型曲線(xiàn)積分 一. 第一型線(xiàn)積分的定義: 1. 幾何體的質(zhì)量: 已知密度函數(shù) , 分析線(xiàn)段的質(zhì)量 2. 曲線(xiàn)的質(zhì)量: 3. 第一型線(xiàn) 積分的定義: 定義及記法. 線(xiàn)積分 ,. 4. 第一型線(xiàn)積分的性質(zhì): P198 二. 第一型線(xiàn)積分的計(jì)算: 1. 第一型曲線(xiàn)積分的計(jì)算: 回顧“光滑曲線(xiàn)”概念 . Th20.1 設(shè)有光滑曲線(xiàn) , . 是定義在上的連續(xù)函數(shù) . 則 . ( 證 ) P199 若曲線(xiàn)方程為 : , 則 . 的方程為 時(shí)有類(lèi)似的公式. 例1 設(shè) 是半圓周 , . . P200例1 例2 設(shè) 是曲線(xiàn) 上從點(diǎn) 到點(diǎn) 的一段. 計(jì)算第一型曲線(xiàn)積分 . P200例2 空間曲線(xiàn) 上的第一型曲線(xiàn)積分: 設(shè)空間曲線(xiàn) ,. 函數(shù) 連續(xù)可導(dǎo), 則對(duì) 上的連續(xù)函數(shù) , 有 . 例3 計(jì)算積分 , 其中 是球面 被平面 截得的圓周 . P201例3 解 由對(duì)稱(chēng)性知 , , = . ( 注意 是大圓 ) 2 第二型曲線(xiàn)積分 一. 第二型曲線(xiàn)積分的定義: 1.力場(chǎng)沿平面曲線(xiàn)從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功: 先用微元法 , 再用定義積分的方法討論這一問(wèn)題 , 得 , 即 . 2. 穩(wěn)流場(chǎng)通過(guò)曲線(xiàn) ( 從一側(cè)到另一側(cè) ) 的流量: 解釋穩(wěn)流場(chǎng). ( 以磁場(chǎng)為例 ). 設(shè)有流速場(chǎng) . 求在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)曲線(xiàn)AB從左側(cè)到右側(cè)的流量E . 設(shè)曲線(xiàn)AB上點(diǎn) 處的切向量為 , ( 是切向量方向與X軸正向的夾角. 切向量方向按如下方法確定: 法線(xiàn)方 向是指從曲線(xiàn)的哪一側(cè)到哪一側(cè), 在我們現(xiàn)在的問(wèn)題中是指從左側(cè)到右側(cè)的方向. 切向量方向與法線(xiàn)向按右手法則確定, 即以右手拇指所指為法線(xiàn)方向, 則食指所指為切線(xiàn)方向 .) .在弧段上的流量 . , 因此 , . 由 , 得 . 于是通過(guò)曲線(xiàn)AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為 . 3. 第二型曲線(xiàn)積分的定義: 閉路積分的記法. 按這一定義 , 有 力場(chǎng) 沿平面曲線(xiàn) 從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功為 . 流速場(chǎng) 在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)曲線(xiàn)AB從左側(cè)到　 右側(cè)的總流量E為 .　 第二型曲線(xiàn)積分的鮮明特征是曲線(xiàn)的方向性 . 對(duì)二型曲線(xiàn)積分有,因此,定積分是第二型曲線(xiàn)積分中當(dāng)曲線(xiàn)為X軸上的線(xiàn)段時(shí)的特例. 可類(lèi)似地考慮空間力場(chǎng) 沿空間曲線(xiàn)AB所作的功. 導(dǎo)出空間曲線(xiàn)上的第二型曲線(xiàn)積分 . 4. 第二型曲線(xiàn)積分的性質(zhì): 第二型曲線(xiàn)積分可概括地理解為向量值函數(shù)的積累問(wèn)題 . 與我們以前討論過(guò)的積分相比, 除多了一層方向性的考慮外, 其余與以前的積累問(wèn)題是一樣的, 還是用Riemma的思想建立的積分 . 因此 , 第二型曲線(xiàn)積分具有(R )積分的共性 , 如線(xiàn)性、關(guān)于函數(shù)或積 分曲線(xiàn)的可加性 . 但第二型曲線(xiàn)積分一般不具有關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性 , 這是由于一方面向量值函數(shù)不能比較大小, 另一方面向量值函數(shù)在小弧段上的積分還與弧段方向與向量方向之間的夾角有關(guān). 二. 第二型曲線(xiàn)積分的計(jì)算: 曲線(xiàn)的自然方向: 設(shè)曲線(xiàn)L由參數(shù)式給出. 稱(chēng)參數(shù)增大時(shí)曲線(xiàn)相應(yīng)的方向?yàn)樽匀环较? 設(shè)L為光滑或按段光滑曲線(xiàn) , L : . A , B ; 函數(shù) 和 在L上連續(xù), 則沿L的自然方向( 即從點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向)有 . (證略) 例1 計(jì)算積分 , L的兩個(gè)端點(diǎn)為A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 積分從點(diǎn)A到點(diǎn)B或閉合, 路徑為 ⅰ> 直線(xiàn)段AB ⅱ> 拋物線(xiàn) ; ⅲ> A( 1, 1 ) D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折線(xiàn)閉合路徑 . P205例1 例2 計(jì)算積分 , 這里L(fēng) : ⅰ> 沿拋物線(xiàn) 從點(diǎn)O( 0 , 0 )到點(diǎn)B( 1 , 2 ); ⅱ> 沿直線(xiàn) 從點(diǎn)O( 0 , 0 )到點(diǎn)B( 1 , 2 ); ⅲ> 沿折線(xiàn)閉合路徑O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). P205例1 例3 計(jì)算第二型曲線(xiàn)積分 I = , 其中L是螺旋線(xiàn), 從 到 的一段 . P207例3 例4 求在力場(chǎng) 作用下, ⅰ> 質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A 沿螺旋線(xiàn)到點(diǎn)B 所作的功, 其中　 L : , .　 ⅱ> 質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A 沿直線(xiàn)L 到點(diǎn)B 所作的功 P207例4