廣東省屆高三數(shù)學理一輪復(fù)習專題突破訓練:導數(shù)及其應(yīng)用.doc
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廣東省2017屆高三數(shù)學理一輪復(fù)習專題突破訓練 導數(shù)及其應(yīng)用 一、選擇、填空題 1、(2016年全國I卷)函數(shù)y=2x2–e|x|在[–2,2]的圖像大致為 (A) (B) (C) (D) 2、(2016年全國II卷)若直線是曲線的切線,也是曲線的切線, . 3、(2015年全國I卷)設(shè)函數(shù)=,其中a1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得0,則的取值范圍是( ) 4、(廣州市2016屆高三二模)曲線在點處的切線方程為 . 5、(汕頭市2016屆高三二模)已知等比數(shù)列滿足,,函數(shù)的導函數(shù)為,且,那么 . 6、(深圳市2016屆高三二模)設(shè)定義在上的函數(shù)滿足,,則( ) A.有極大值,無極小值 B.有極小值,無極大值 C.既有極大值,又有極小值 D.既無極大值,也無極小值 7、(佛山市2016屆高三教學質(zhì)量檢測(一))已知是函數(shù)的一個極大值點,則的一個單調(diào)遞減區(qū)間是( ) A. B. C. D. 8、(廣州市2016屆高三1月模擬考試)已知為R上的連續(xù)可導函數(shù),且,則函數(shù)的零點個數(shù)為__________ 9、(惠州市2016屆高三第三次調(diào)研考試)設(shè)點在曲線上,點在曲線上,則的最小值為 . 10、(揭陽市2016屆高三上期末)若函數(shù)存在唯一的零點,則實數(shù)a的取值范圍為 (A) (B) (C) (D) 二、解答題 1、(2016年全國I卷)已知函數(shù)有兩個零點. (I)求a的取值范圍; (II)設(shè)x1,x2是的兩個零點,學科.網(wǎng)證明:+x2<2. 2、(2015年全國I卷)已知函數(shù)f(x)= (Ⅰ)當a為何值時,x軸為曲線 的切線; (Ⅱ)用 表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù) ,討論h(x)零點的個數(shù) 3、(2016年全國II卷)(I)討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當時, (II)證明:當 時,函數(shù) 有最小值.設(shè)的最小值為,求函數(shù)的值域. 4、(佛山市2016屆高三二模) 設(shè)函數(shù),函數(shù).若直線 y = e - x 是曲線C : y = f ( x ) 的一條切線,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),且 f ( 1) = 1 . (Ⅰ) 求a , b 的值; (Ⅱ) 設(shè)0 < n < m < 1 ,證明: f ( m) > g ( n ) 5、(廣州市2016屆高三二模)已知函數(shù)R. (Ⅰ) 當時,求函數(shù)的最小值; (Ⅱ) 若時,,求實數(shù)的取值范圍; (Ⅲ)求證:. 6、(茂名市2016屆高三二模)已知函數(shù), (I) 將寫成分段函數(shù)的形式(不用說明理由),并求的單調(diào)區(qū)間。 (II)若,比較與的大小。 7、(深圳市2016屆高三二模)已知函數(shù),直線為曲線的切線. (1)求實數(shù)的值; (2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若函數(shù)為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍. 8、(潮州市2016屆高三上期末)已知函數(shù)。 (I)若在=1處取得極值,求實數(shù)的值; (II)若≥5-3恒成立,求實數(shù)的取值范圍; 9、(東莞市2016屆高三上期末)已知函數(shù)。 (I)設(shè),若函數(shù)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有且僅有一個極值點,求實數(shù)m的取值范圍; (II)設(shè),若函數(shù)存在兩個零點,且滿足,問:函數(shù)在處的切線能否平行于直線=1,若能,求出該切線方程,若不能,請說明理由。 10、(佛山市2016屆高三教學質(zhì)量檢測(一))設(shè)常數(shù),,. (1)當時,若的最小值為,求的值; (2)對于任意給定的正實數(shù)、,證明:存在實數(shù),當時,. 11、(廣州市2016屆高三1月模擬考試)已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù),為常數(shù))在點處的切線斜率為. (Ⅰ)求的值及函數(shù)的極值; (Ⅱ)證明:當時,; (III)證明:對任意給定的正數(shù),總存在,使得當,恒有. 12、(惠州市2016屆高三第三次調(diào)研考試)已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)若存在,使得(是自然對數(shù)的底數(shù)), 求實數(shù)的取值范圍。 參考答案 一、選擇、填空題 1、,排除A ,排除B 時, ,當時, 因此在單調(diào)遞減,排除C 故選D. 2、【解析】 的切線為:(設(shè)切點橫坐標為) 的切線為: ∴ 解得 ∴. 3、【答案】D 【解析】 試題分析:設(shè)=,,由題知存在唯一的整數(shù),使得在直線的下方. 因為,所以當時,<0,當時,>0,所以當時,=, 當時,=-1,,直線恒過(1,0)斜率且,故,且,解得≤<1,故選D. 考點:導數(shù)的綜合應(yīng)用 4、 5、 6、【答案】D 【解析】的定義域為, ∵, ∴, ∴,∴, ∴. ∵,∴. ∴, ∴在上單調(diào)遞增, ∴在上既無極大值也無極小值. 7、B 8、0 9、 【解析】函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)圖像關(guān)于對稱,則只有直線與直線垂直時才能取得最小值。設(shè),則點到直線的距離為,令,則, 令得;令得, 則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增。 則時,所以。 則。(備注:也可以用平行于的切線求最值) 10、D 【解析】函數(shù)存在唯一的零點,即方程有唯一的實根直線與函數(shù)的圖象有唯一的交點,由,可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當時,有極小值,,故當時,直線與函數(shù)的圖象有唯一的交點. 或因由得或,若顯然存在唯一的零點,若,在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且故存在唯一的零點,若,要使存在唯一的零點,則有解得,綜上得. 二、解答題 1、⑴ 由已知得: ① 若,那么,只有唯一的零點,不合題意; ② 若,那么, 所以當時,,單調(diào)遞增 當時,,單調(diào)遞減 即: ↓ 極小值 ↑ 故在上至多一個零點,在上至多一個零點 由于,,則, 根據(jù)零點存在性定理,在上有且僅有一個零點. 而當時,,, 故 則的兩根,, ,因為,故當或時, 因此,當且時, 又,根據(jù)零點存在性定理,在有且只有一個零點. 此時,在上有且只有兩個零點,滿足題意. ③ 若,則, 當時,,, 即,單調(diào)遞增; 當時,,,即,單調(diào)遞減; 當時,,,即,單調(diào)遞增. 即: + 0 - 0 + ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 而極大值 故當時,在處取到最大值,那么恒成立,即無解 而當時,單調(diào)遞增,至多一個零點 此時在上至多一個零點,不合題意. ④ 若,那么 當時,,,即, 單調(diào)遞增 當時,,,即, 單調(diào)遞增 又在處有意義,故在上單調(diào)遞增,此時至多一個零點,不合題意. ⑤ 若,則 當時,,,即, 單調(diào)遞增 當時,,,即, 單調(diào)遞減 當時,,,即, 單調(diào)遞增 即: + 0 - 0 + ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 故當時,在處取到最大值,那么恒成立,即無解 當時,單調(diào)遞增,至多一個零點 此時在上至多一個零點,不合題意. 綜上所述,當且僅當時符合題意,即的取值范圍為. ⑵ 由已知得:,不難發(fā)現(xiàn),, 故可整理得: 設(shè),則 那么,當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增. 設(shè),構(gòu)造代數(shù)式: 設(shè), 則,故單調(diào)遞增,有. 因此,對于任意的,. 由可知、不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上,不妨設(shè),則必有 令,則有 而,,在上單調(diào)遞增,因此: 整理得:. 2、【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)當或時,由一個零點;當或時,有兩個零點;當時,有三個零點. 解析:(Ⅰ)設(shè)曲線與軸相切于點,則,,即,解得. 因此,當時,軸是曲線的切線. ……5分 (Ⅱ)當時,,從而, ∴在(1,+∞)無零點. 當=1時,若,則,,故=1是的零點;若,則,,故=1不是的零點. 當時,,所以只需考慮在(0,1)的零點個數(shù). (ⅰ)若或,則在(0,1)無零點,故在(0,1)單調(diào),而,,所以當時,在(0,1)有一個零點;當0時,在(0,1)無零點. (ⅱ)若,則在(0,)單調(diào)遞減,在(,1)單調(diào)遞增,故當=時,取的最小值,最小值為=. ① 若>0,即<<0,在(0,1)無零點. ② 若=0,即,則在(0,1)有唯一零點; ③ 若<0,即,由于,,所以當時,在(0,1)有兩個零點;當時,在(0,1)有一個零點.…10分 綜上,當或時,由一個零點;當或時,有兩個零點;當時,有三個零點. ……12分 3、【解析】⑴證明: ∵當時, ∴在上單調(diào)遞增 ∴時, ∴ ⑵ 由(1)知,當時,的值域為,只有一解. 使得, 當時,單調(diào)減;當時,單調(diào)增 記,在時,,∴單調(diào)遞增 ∴. 4、 5、(Ⅰ)解:當時,,則. …………………1分 令,得. 當時, ; 當時, . …………………………2分 ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增. ∴當時,函數(shù)取得最小值,其值為. ……………………3分 (Ⅱ)解:若時,,即.(*) 令, 則. ① 若,由(Ⅰ)知,即,故. ∴. …………………………………………4分 ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. ∴. ∴(*)式成立. …………………………………………5分 ②若,令, 則. ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 由于,. …………………………………………6分 故,使得. …………………………………………7分 則當時,,即. ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. ∴ ,即(*)式不恒成立. ………………………………………8分 綜上所述,實數(shù)的取值范圍是. ………………………………………9分 (Ⅲ)證明:由(Ⅱ)知,當時, 在上單調(diào)遞增. 則,即.…………………………………10分 ∴. …………………………………………11分 ∴,即. …………………………………………12分 6、解:(1)………………………………………1分 ……………………………………………2分 當時,單調(diào)遞減, 當時,單調(diào)遞增………………………………3分 所以的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為………………4分 (2)令.則, 記,則時,在是增函數(shù), 所以在上,, 在內(nèi)單調(diào)遞增。 而, ………………5分 , , 且. 又因為在上是增函數(shù)且連續(xù)不間斷,所以在內(nèi)有唯一的零點, 不妨設(shè)為,即,其中. ………………6分 又由于在內(nèi)單調(diào)遞增,則當時,; 當時,. 那么. 再令,則有 .……………………………………7分 1) 當時, , 在上遞增. 又 所以 時, . 故當時, ………………8分 2) 當時, ,在上單調(diào)遞增. , , 為上單調(diào)遞增且連續(xù)不間斷,知在有唯一個零點,不妨設(shè)為,則,其中. 故當時,, ; …………9分 當時, , …………10分 3) 當時,易知在上單調(diào)遞減。 又, , 為上單調(diào)遞減且連續(xù)不間斷, 在 有唯一的零點,不妨設(shè)為, 即,其中.由在上單調(diào)遞減, 有當時,; …………11分 當時,. ……………12分 7、【解析】(1)對求導得, 設(shè)直線與曲線切于點,則 , 解得.所以的值為1. (2)記函數(shù),下面考察函數(shù)的符號. 對函數(shù)求導得. 當時恒成立. 當時,, 從而. ∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減. ∵,∴. 又曲線在上連續(xù)不間斷,所以由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知 惟一的,使 ∴. ∴, 從而 ∴ 由函數(shù)為增函數(shù),且曲線在上連續(xù)不斷知在,上恒成立. ①當時,在上恒成立,即在上恒成立. 記,則, 當變化時,,變化情況如下表: 極小值 ∴. 故“在上恒成立”只需,即. ②當時,,當時,在上恒成立. 綜合(1)(2)知,當時,函數(shù)為增函數(shù). 故實數(shù)的取值范圍是. 8.解:(Ⅰ)∵, ∴.………………………………….….. 1分 由題意得,即,解得.…………….. 2分 經(jīng)檢驗,當時,函數(shù)在取得極大值.……….. 3分 ∴.………………………………………………………..……….4分 (Ⅱ)設(shè),則函數(shù)的定義域為. ∴當時,恒成立. 于是,故.………….…………………….……5分 ∵. ∴方程有一負根和一正根,.其中不在函數(shù)定義域內(nèi). 當時,,函數(shù)單調(diào)遞減. 當時,,函數(shù)單調(diào)遞增. ∴在定義域上的最小值為.……………………………………….……7分 依題意.即.又, 于是,又,所以. ∴,即,…………..……9分 令,則. 當時,,所以是增函數(shù). 又,所以的解集為.…... 11分 又函數(shù)在上單調(diào)遞增, ∴. 故的取值范圍是.……………………………….……………………12分 解法二:由于的定義域為, 于是可化為.……………………..……5分 設(shè).則. 設(shè),則. 當時,,所以在減函數(shù). 又, ∴當時,,即當時,, ∴在上是減函數(shù). ∴當時,.………….……..…8分 當時,先證, 設(shè),, 是增函數(shù)且,,即, 當時, …..11分 綜上所述的最大值為2. ∴的取值范圍是.………………………………………….………12分 9、 10、【解析】………………1分 將代入得,………………3分 由,得,且當時,,遞減;………………4分 時,,遞增;故當時,取極小值, 因此最小值為,令,解得.………………6分 (Ⅱ)因為,………………7分 記,故只需證明:存在實數(shù),當時,, [方法1] ,………………8分 設(shè),,則 易知當時,,故 ………………10分 又由解得:,即 取,則當時, 恒有. 即當時, 恒有成立.………………12分 [方法2] 由,得:,………………8分 故是區(qū)間上的增函數(shù).令,,, 則,因為,………………10分 故有 令,解得: , 設(shè)是滿足上述條件的最小正整數(shù),取,則當時, 恒有, 即成立.………………12分 11、 12、解:(Ⅰ).……………………(1分) 因為當時,,在上是增函數(shù), 因為當時,,在上也是增函數(shù), 所以當或,總有在上是增函數(shù),……………………………(2分) 又,所以的解集為,的解集為,……(3分) 故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.……………………(4分) (Ⅱ)因為存在,使得成立, 而當時,, 所以只要即可.………………………………………(5分) 又因為,,的變化情況如下表所示: 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以當時,的最小值,的最大值為和中的最大值.………(7分) 因為, 令,因為, 所以在上是增函數(shù). 而,故當時,,即; 當時,,即.………………………………(9分) 所以,當時,,即, 函數(shù)在上是增函數(shù),解得;…………………(10分) 當時,,即, 函數(shù)在上是減函數(shù),解得.………………(11分) 綜上可知,所求的取值范圍為.……………………… (12分)- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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