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系領導 審批并簽名 B卷 廣州大學2005-2006 學年第一學期試卷 課程 數學分析 考試形式（閉卷，考試） 數信學院數學系 04級 ①②③④⑤⑥班 學號 姓名 題 號 一 二 三 四 五 總 分 評卷人 分 數 10 10 36 14 30 100 評 分 一、填 空 題 ( 共 10分 ,2分 / 題) 1 、將函數展開為麥克勞林級數 = ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2 、 將 { 展開的傅里葉級數在點0處收斂于＿＿＿＿＿。 3 、方程 在點( 0 ,0 )附近可以確定的隱函數關系為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 4 、___________ 。 5、 = 。其中S為平面 在第一卦限部分 。 二、單項選擇題 （2分/題 ，共10分） 1、冪級數的收斂半徑與收斂域為___________ 。 A、 -1 ，( - 1 , 1 ； B、 1 ，[ - 1 , 1 ] ； C、1, ( - 1 , 1 ； D、1 ， [ - 1 , 1 。 2、關于f ( x , y ) = { 不正確結論為 。 A、； B、在點( 0 , 0 )連續(xù)； C、在點( 0 , 0 )偏導數存在； D、在點( 0 , 0 )可微。 3、f 在平面光滑曲線段上連續(xù),則下列敘述正確的是 。 A、=-； B、=-； C、=； D、若f ( x , y )在L上非負,則。 4、f為連續(xù)函數,交換積分次序: ________。 A、； B、； C、； D、。 5、D:,其中 ,則線性變換T:,下積分 。 A、； B、 C、 D、 三、計算題（共6小題，每小題均為6分,共36分） 1 、 ，求微分 及二階偏導數 ( 其中 有連續(xù)偏導數 ) 。 2 、 , 其中 為拋物線 一段 , A ( 1 , 1 ) , O ( 0 , 0 ) 。 3 、 , 其中D 由 。 4 、 。 5 、 , 其中 V 為上半單位球體 : , 。 6 、 驗證 為全微分式并求其原函數 。 四、應用題 ( 共 14 分 ) 1.某公司擬通過電視及報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告，按經驗：銷售收入R ( 百萬元 )與 電視廣告費用x ( 百萬元 ) 及報紙廣告費用y ( 百萬元 ) 關系為 R ( x , y ) = 1 0 + 6 x - x + 4 y - y , 按下列情況分別求最佳廣告策略 ( 即x , y 取何值時，R 最大 ) ： ( 1 ) 若廣告總費用不限情況下； ( 2 ) 若廣告總費用為 3 ( 百萬元 ) 情況下。 （8 分） 2. 利用積分法推導半徑為 r 的球體的體積 。 ( 6 分 ) 五、證明題 （4小題，共30分） 1、 證明： 含參量反常積分 在 ( , ) 上一致收斂 。 ( 6 分 ) 2、 證明：由方程 F ( x + y + ) = 0 確定的隱函數 z = z ( x , y ) 滿足： (其中F ( u , u ) 有連續(xù)偏導數) 。 （ 8分 ） 3、 P( x ,y ,z ) ,Q( x ,y ,z ) ,R( x ,y , z )有連續(xù)偏導數 ,證明：對于任一光滑封閉曲面S , = 0 的充分必要條件為 : 。 ( 8 分 ) 4、 證明： 其中L為任一不經過原點的按段光滑的封閉曲線。 ( 8 分 )