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《第13章 全等三角形》 　 一、選擇題 1．下列命題中，是真命題的是（　?。? A．若a?b＞0，則a＞0，b＞0 B．若a?b＜0，則a＜0，b＜0 C．若a?b=0，則a=0，且b=0 D．若a?b=0，則a=0，或b=0 2．如圖所示，∠E=∠F=90，∠B=∠C，AE=AF，結(jié)論： ①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM． 其中正確的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．下面關(guān)于公理和定理的聯(lián)系說法不正確的是（　?。? A．公理和定理都是真命題 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作為推理論證的依據(jù) D．公理的正確性不需證明，定理的正確性需證明 4．如圖，在等邊△ABC中，BD=CE，則∠APE等于（　?。? A．30 B．45 C．60 D．75 5．如圖，用兩個相同的三角板按照如圖方式作平行線，能解釋其中道理的定理是（　　） A．同位角相等兩直線平行 B．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 C．內(nèi)錯角相等兩直線平行 D．平行于同一條直線的兩直線平行 6．如圖，△ABC中，∠C=90，D在CB上，E為AB之中點，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20，則∠DFE=（　?。? A．40 B．50 C．60 D．70 7．如圖∠AOP=∠BOP=15，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，則PD等于（　?。? A．10 B． C．5 D．2.5 8．如下圖，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正確的等式是（　?。? A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 9．對于圖中標(biāo)記的各角，下列條件能夠推理得到a∥b的是（　?。? A．∠1=∠2 B．∠2=∠4 C．∠3=∠4 D．∠1+∠4=180 10．如圖所示，△ABC是不等邊三角形，DE=BC，以D、E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可以畫出（　　）個． A．2 B．4 C．6 D．8 　 二、填空題 11．如圖，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一個條件是　?。? 12．如圖，AB=AC，如果根據(jù)“SAS”使△ABE≌△ACD，那么需添加條件　?。? 13．請寫出一個原命題是真命題，逆命題是假命題的命題　?。? 14．下圖是由全等的圖形組成的，其中AB=3cm，CD=2AB，則AF=　?。? 15．如圖所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25，∠2=30，則∠3=　?。? 16．如圖有一張簡易的活動小餐桌，現(xiàn)測得OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，桌面離地面的高度為40cm，則兩條桌腿的張角∠COD的度數(shù)為　　度． 17．如圖，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，則圖中全等三角形有　　對． 18．如圖所示，AB∥CD，∠ABE=66，∠D=54，則∠E的度數(shù)為　　度． 　 三、解答題（共66分） 19．如圖，四邊形ABCD中，點E在邊CD上，連接AE、BE．給出下列五個關(guān)系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB．將其中的三個關(guān)系式作為題設(shè)，另外兩個作為結(jié)論，構(gòu)成一個命題． （1）用序號寫出一個真命題（書寫形式如：如果，那么）．并給出證明； （2）用序號再寫出三個真命題（不要求證明）． 20．如圖，如果AB=AC，BD=CD，那么∠B和∠C相等嗎？為什么？ 21．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，AD⊥AC交BC于點D， 求證：BC=3AD． 22．如圖，P是∠BAC內(nèi)的一點，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，AE=AF． 求證： （1）PE=PF； （2）點P在∠BAC的角平分線上． 23．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分線，AF∥DC，連接AC，CF．求證：CA是∠DCF的平分線． 24．如圖，閱讀下列材料 圖乙：把△ABC沿直線BC平行移動，可以變到△ECD的位置； 圖丙：以BC為軸把△ABC翻折180，可以變到△DBC的位置； 圖?。阂渣cA為中心把△ABC旋轉(zhuǎn)180，可以變到△AED的位置． 象這樣，其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫做三角形的全等變換． 回答下列問題： （1）在圖甲中，可以通過平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法使△ABE變到△ADF的位置？ （2）指出圖甲中，線段BE與DF之間的關(guān)系．并說明理由． 25．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點． （1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG； （2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明． 　 《第13章 全等三角形》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列命題中，是真命題的是（　　） A．若a?b＞0，則a＞0，b＞0 B．若a?b＜0，則a＜0，b＜0 C．若a?b=0，則a=0，且b=0 D．若a?b=0，則a=0，或b=0 【考點】命題與定理． 【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案． 【解答】解：A、a?b＞0可得a、b同號，可能同為正，也可能同為負(fù)，是假命題； B、a?b＜0可得a、b異號，所以錯誤，是假命題； C、a?b=0可得a、b中必有一個字母的值為0，但不一定同時為零，是假命題； D、若a?b=0，則a=0，或b=0，或二者同時為0，是真命題． 故選D． 【點評】本題主要考查乘法法則，只有深刻理解乘法法則才能求出正確答案，需要考生具備一定的思維能力． 　 2．如圖所示，∠E=∠F=90，∠B=∠C，AE=AF，結(jié)論： ①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM． 其中正確的有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】全等三角形的判定． 【分析】根據(jù)已知的條件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，進而可根據(jù)全等三角形得出的結(jié)論來判斷各選項是否正確． 【解答】解：∵ ， ∴△AEB≌△AFC；（AAS） ∴∠FAM=∠EAN， ∴∠EAN﹣∠MAN=∠FAM﹣∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正確） 又∵∠E=∠F=90，AE=AF， ∴△EAM≌△FAN；（ASA） ∴EM=FN；（故①正確） 由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB； 又∵∠CAB=∠BAC， ∴△ACN≌△ABM；（故④正確） 由于條件不足，無法證得②CD=DN；故正確的結(jié)論有：①③④； 故選C． 【點評】此題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，做題時要從最容易，最簡單的開始，由易到難． 　 3．下面關(guān)于公理和定理的聯(lián)系說法不正確的是（　?。? A．公理和定理都是真命題 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作為推理論證的依據(jù) D．公理的正確性不需證明，定理的正確性需證明 【考點】命題與定理． 【專題】推理填空題． 【分析】公理，也就是經(jīng)過人們長期實踐檢驗、不需要證明同時也無法去證明的客觀規(guī)律．定理：是用邏輯的方法判斷為正確并作為推理的根據(jù)的真命題．從公理和定理的概念可找到正確答案． 【解答】解：根據(jù)公理和定理的定義，可知道A，C，D是正確的，B是錯誤的． 故選B． 【點評】本題考查的是定理和公理的定義，通過對定義的理解可找到答案． 　 4．如圖，在等邊△ABC中，BD=CE，則∠APE等于（　?。? A．30 B．45 C．60 D．75 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠BAD與∠CBE的關(guān)系，根據(jù)三角形的外交的性質(zhì)，可得∠APE=∠ABP+∠BAP，根據(jù)等量代換，可得答案． 【解答】解：在等邊△ABC中，∠ABC=∠C=60，AB=BC． 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE． ∵∠APE是△ABP的外角， ∴∠APE=∠ABP+∠BAP， ∴∠APE=∠ABP+∠PBD=∠ABC=60． 故選：C． 【點評】本題考查了全等三角形，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)． 　 5．如圖，用兩個相同的三角板按照如圖方式作平行線，能解釋其中道理的定理是（　?。? A．同位角相等兩直線平行 B．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 C．內(nèi)錯角相等兩直線平行 D．平行于同一條直線的兩直線平行 【考點】平行線的判定． 【專題】操作型． 【分析】由題意，利用平行線的判定定理來推理判斷即可． 【解答】解：由圖可知，∠ABD=∠BAC，故使用的原理為內(nèi)錯角相等兩直線平行．故選C． 【點評】本題解答的關(guān)鍵是理解題意，搞清所描述的是利用內(nèi)錯角相等來畫平行線． 　 6．如圖，△ABC中，∠C=90，D在CB上，E為AB之中點，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20，則∠DFE=（　?。? A．40 B．50 C．60 D．70 【考點】直角三角形斜邊上的中線． 【分析】在直角△ABC中，由AE=BE=EC，AD=DB可以推出∠BAD=20，∠ADC=40然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系即可求出∠DFE=60． 【解答】解：∵∠C=90，AE=BE=EC，AD=DB， ∴∠BAD=20，∠ADC=40，∠DAC=∠ECA=50． ∴∠ECD=20，∠FDC=40． ∴∠DFE=60． 故選C． 【點評】此題主要考查了直角三角形的中線等于斜邊的一半和三角形的內(nèi)角和與外角和的運用． 　 7．如圖∠AOP=∠BOP=15，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，則PD等于（　?。? A．10 B． C．5 D．2.5 【考點】含30度角的直角三角形；平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AOP=∠BOP=∠CPO=15，過點P作∠OPE=∠CPO交于AO于點E，則△OCP≌△OEP，可得PE=PC=10，在Rt△PED中，求出∠PEA的度數(shù)，根據(jù)勾股定理解答． 【解答】解：∵PC∥OA， ∴∠CPO=∠POA， ∵∠AOP=∠BOP=15， ∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15， 過點P作∠OPE=∠CPO交于AO于點E，則△OCP≌△OEP， ∴PE=PC=10， ∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30， ∴PD=10=5． 故選：C． 【點評】本題利用了： 1、兩直線平行，內(nèi)錯角相等； 2、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系； 3、全等三角形的判定和性質(zhì)． 　 8．如下圖，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正確的等式是（　　） A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 【考點】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等，即可進行判斷． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C， ∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE， 故A、B、C正確； AD的對應(yīng)邊是AE而非DE，所以D錯誤． 故選D． 【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知的對應(yīng)角正確確定對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵． 　 9．對于圖中標(biāo)記的各角，下列條件能夠推理得到a∥b的是（　　） A．∠1=∠2 B．∠2=∠4 C．∠3=∠4 D．∠1+∠4=180 【考點】平行線的判定． 【分析】在復(fù)雜的圖形中具有相等關(guān)系的兩角首先要判斷它們是否是同位角或內(nèi)錯角，被判斷平行的兩直線是否由“三線八角”而產(chǎn)生的被截直線． 【解答】解：A、∠1=∠2，因為它們不是a、b被截得的同位角或內(nèi)錯角，不符合題意； B、∠2=∠4，因為它們不是a、b被截得的同位角或內(nèi)錯角，不符合題意； C、∠3=∠4，因為它們不是a、b被截得的同位角或內(nèi)錯角，不符合題意； D、∠1+∠4=180，∠1的對頂角與∠4是a、b被截得的同旁內(nèi)角，符合題意． 故選D． 【點評】正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補，才能推出兩被截直線平行． 　 10．如圖所示，△ABC是不等邊三角形，DE=BC，以D、E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可以畫出（　?。﹤€． A．2 B．4 C．6 D．8 【考點】作圖—復(fù)雜作圖． 【專題】壓軸題． 【分析】可以做4個，分別是以D為圓心，AB為半徑，作圓，以E為圓心，AC為半徑，作圓．兩圓相交于兩點（D，E上下各一個），經(jīng)過連接后可得到兩個． 然后以D為圓心，AC為半徑，作圓，以E為圓心，AB為半徑，作圓．兩圓相交于兩點（D，E上下各一個），經(jīng)過連接后可得到兩個． 【解答】解：如圖： 這樣的三角形最多可以畫出4個． 故選：B． 【點評】本題考查了學(xué)生利用基本作圖作三角形的能力． 　 二、填空題 11．如圖，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一個條件是　　． 【考點】全等三角形的判定． 【專題】開放型． 【分析】要使△ABC≌△DCB，根據(jù)三角形全等的判定方法添加適合的條件即可． 【解答】解：∵AC=BD，BC=BC， ∴可添加∠ACB=∠DBC或AB=CD分別利用SAS，SSS判定△ABC≌△DCB． 故答案為：∠ACB=∠DBC（或AB=CD）． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 12．如圖，AB=AC，如果根據(jù)“SAS”使△ABE≌△ACD，那么需添加條件　?。? 【考點】全等三角形的判定． 【分析】現(xiàn)有一邊AB=AC和一公共角∠A=∠A，再找到夾這角的另一邊即可． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=∠A， ∴若以“SAS”得出△ABE≌△ACD， 則AD=AE． 故答案為：AD=AE． 【點評】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握證明全等三角形的方法：SSS，SAS，ASA，AAS． 　 13．請寫出一個原命題是真命題，逆命題是假命題的命題　?。? 【考點】命題與定理． 【專題】開放型． 【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題． 正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題． 【解答】解：逆命題是假命題的命題：對頂角相等（答案不唯一）． 【點評】本題是一道開放性題目，答案不唯一，只要符合條件即可． 考查的是同學(xué)們對命題的真假及互逆命題的概念的掌握情況． 　 14．下圖是由全等的圖形組成的，其中AB=3cm，CD=2AB，則AF=　　． 【考點】全等圖形． 【分析】根據(jù)已知圖形得出CD=2AB=6cm，進而求出即可． 【解答】解：因為AB=3cm，所以CD=2AB=6cm， 所以AF=3AB+3CD=33+36=27（cm）． 故答案為：27cm． 【點評】此題主要考查了全等圖形的性質(zhì)，得出CD的長是解題關(guān)鍵． 　 15．如圖所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25，∠2=30，則∠3=　　． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】求出∠BAD=∠EAC，證△BAD≌△EAC，推出∠2=∠ABD=30，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可． 【解答】解：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1=∠EAC， 在△BAD和△EAC中， ∴△BAD≌△EAC（SAS）， ∴∠2=∠ABD=30， ∵∠1=25， ∴∠3=∠1+∠ABD=25+30=55， 故答案為：55． 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△BAD≌△EAC． 　 16．如圖有一張簡易的活動小餐桌，現(xiàn)測得OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，桌面離地面的高度為40cm，則兩條桌腿的張角∠COD的度數(shù)為　　度． 【考點】直角三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【專題】壓軸題． 【分析】如圖，作BE⊥CD于E，根據(jù)題意，得在Rt△BCE中，BC=30+50=80，BE=40，由此可以推出∠BCE=30，接著可以求出∠ODC=∠BCE=30，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠COD． 【解答】解：如圖，作BE⊥CD于E， 根據(jù)題意得在Rt△BCE中， ∴BC=30+50=80，BE=40， ∴∠BCE=30， ∴∠ODC=∠BCE=30， ∴∠COD=180﹣302=120． 故填：120． 【點評】此題綜合運用了直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)． 　 17．如圖，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，則圖中全等三角形有　　對． 【考點】全等三角形的判定． 【分析】根據(jù)AB∥CD，BC∥AD可得四邊形ABCD是平行四邊形，那么AB=CD，AD=BC，利用SSS得出△ABD≌△CDB；再根據(jù)SAS證明△ABE≌△CDF，于是AE=CF，再利用SSS得出△ADE≌△CBF． 【解答】解：圖中全等三角形有3對，分別為△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF． 故答案為3． 【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL． 　 18．如圖所示，AB∥CD，∠ABE=66，∠D=54，則∠E的度數(shù)為　　度． 【考點】三角形的外角性質(zhì)；平行線的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系及平行線的性質(zhì)可直接解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BFC=∠ABE=66， 在△EFD中利用三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得到∠E=∠BFC﹣∠D=12． 【點評】本題考查了三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系及平行線的性質(zhì)，比較簡單． 　 三、解答題（共66分） 19．如圖，四邊形ABCD中，點E在邊CD上，連接AE、BE．給出下列五個關(guān)系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB．將其中的三個關(guān)系式作為題設(shè)，另外兩個作為結(jié)論，構(gòu)成一個命題． （1）用序號寫出一個真命題（書寫形式如：如果，那么）．并給出證明； （2）用序號再寫出三個真命題（不要求證明）． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；命題與定理． 【分析】（1）如果①②③，那么④⑤；先根據(jù)∠1=∠F，∠D=∠ECF，利用AAS證出△AED≌△FEC，得出AD+BC=CF+BC=BF，再根據(jù)∠1=∠2，得出AB=BF，即可證出AD+BC=AB； （2）根據(jù)命題的結(jié)構(gòu)和有關(guān)性質(zhì)、判定以及真命題的定義，寫出命題即可． 【解答】解：（1）如果①②③，那么④⑤； 理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠1=∠F，∠D=∠ECF， 在△AED和△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（AAS）， ∴AD=CF， ∴AD+BC=CF+BC=BF， ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠F， ∴AB=BF， ∴AD+BC=AB； （2）如果①③④，那么②⑤， 如果①②④，那么③⑤； 如果①③⑤，那么②④． 【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、命題與定理，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用有關(guān)性質(zhì)與定理對命題的真假進行判斷． 　 20．如圖，如果AB=AC，BD=CD，那么∠B和∠C相等嗎？為什么？ 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】探究型． 【分析】∠B和∠C相等，理由為：連接AD，由AB=AC，BD=CD，以及AD為公共邊，利用SSS可得出三角形ABD與三角形ACD全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等可得證． 【解答】解：∠B=∠C，理由為： 連接AD，如圖所示： 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C． 【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 21．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，AD⊥AC交BC于點D， 求證：BC=3AD． 【考點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】已知∠BAC=120，AB=AC，∠B=∠C=30，可得AD⊥AC，有CD=2AD，AD=BD．即可得證． 【解答】證明：在△ABC中， ∵AB=AC，∠BAC=120， ∴∠B=∠C=30， 又∵AD⊥AC， ∴∠DAC=90， ∵∠C=30 ∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30， ∴AD=DB， ∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD． 【點評】本題考查了直角三角形的有關(guān)知識和等腰三角形的性質(zhì)定理． 　 22．如圖，P是∠BAC內(nèi)的一點，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，AE=AF． 求證： （1）PE=PF； （2）點P在∠BAC的角平分線上． 【考點】角平分線的性質(zhì)；直角三角形全等的判定． 【專題】證明題． 【分析】（1）連接AP，根據(jù)HL證明△APF≌△APE，可得到PE=PF； （2）利用（1）中的全等，可得出∠FAP=∠EAP，那么點P在∠BAC的平分線上． 【解答】證明：（1）如圖，連接AP并延長， ∵PE⊥AB，PF⊥AC ∴∠AEP=∠AFP=90 又AE=AF，AP=AP， ∵在Rt△AFP和Rt△AEP中 ∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL）， ∴PE=PF． （2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP， ∴∠EAP=∠FAP， ∴AP是∠BAC的角平分線， 故點P在∠BAC的角平分線上． 【點評】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，以及角平分線的有關(guān)知識，作射線AP是解答本題的關(guān)鍵． 　 23．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分線，AF∥DC，連接AC，CF．求證：CA是∠DCF的平分線． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】先證△ABF≌△CBF，得出AF=FC，利用等腰三角形的性質(zhì)可知∠3=∠4，再利用平行線的性質(zhì)可證出∠4=∠5，等量代換，可得：∠3=∠5．那么AC就是∠DCF的平分線． 【解答】證明：∵BF是∠ABC的平分線， ∴∠1=∠2， 又AB=BC，BF=BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴FA=FC， ∴∠3=∠4， 又AF∥DC， ∴∠4=∠5， ∴∠3=∠5， ∴CA是∠DCF的平分線． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)、判定，全等三角形的判定和性質(zhì)；找著并利用△ABF≌△CBF是正確解答題目的關(guān)鍵． 　 24．如圖，閱讀下列材料 圖乙：把△ABC沿直線BC平行移動，可以變到△ECD的位置； 圖丙：以BC為軸把△ABC翻折180，可以變到△DBC的位置； 圖?。阂渣cA為中心把△ABC旋轉(zhuǎn)180，可以變到△AED的位置． 象這樣，其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫做三角形的全等變換． 回答下列問題： （1）在圖甲中，可以通過平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法使△ABE變到△ADF的位置？ （2）指出圖甲中，線段BE與DF之間的關(guān)系．并說明理由． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；作圖-平移變換． 【分析】（1）△ABE繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90變到△ADF的位置； （2）延長BE交DF于M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可直接得到BE=DF，然后延長BE交DF于M，再證明∠FDA+∠MED=90，可得BE⊥DF． 【解答】解：（1）圖甲中，可以△ABE繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90變到△ADF的位置； （2）BE=DF且BE⊥DF； 延長BE交DF于M， 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ADF≌△ABE，∠DAF=∠DAB，BE=DF，∠FDA=∠ABE， ∵∠DAF+∠DAB=180， ∴∠DAF=∠DAB=90， ∴∠ABE+∠AEB=90， ∵∠FDA=∠ABE，∠DEM=∠AEB， ∴∠FDA+∠MED=90， ∴∠DME=180﹣90=90， ∴BE⊥DF． 【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等． 　 25．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點． （1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG； （2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【專題】幾何綜合題；壓軸題． 【分析】（1）首先根據(jù)點D是AB中點，∠ACB=90，可得出∠ACD=∠BCD=45，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG， （2）根據(jù)垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90，∠BEC+∠MCH=90，再根據(jù)AC=BC，∠ACM=∠CBE=45，得出△BCE≌△CAM，進而證明出BE=CM． 【解答】（1）證明：∵點D是AB中點，AC=BC， ∠ACB=90， ∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45， ∴∠CAD=∠CBD=45， ∴∠CAE=∠BCG， 又∵BF⊥CE， ∴∠CBG+∠BCF=90， 又∵∠ACE+∠BCF=90， ∴∠ACE=∠CBG， 在△AEC和△CGB中， ∴△AEC≌△CGB（ASA）， ∴AE=CG， （2）解：BE=CM． 證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED， ∴∠CMA+∠MCH=90，∠BEC+∠MCH=90， ∴∠CMA=∠BEC， 又∵∠ACM=∠CBE=45， 在△BCE和△CAM中，， ∴△BCE≌△CAM（AAS）， ∴BE=CM． 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，難度適中．