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青海省西寧五中片區(qū)2013年大聯(lián)考 數(shù)學(xué)（理）試卷 考試時間：120分鐘 滿分：150分 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷第22～24題為選考題，其它題為必考題?？忌鞔饡r，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項： 1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。 2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂,如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標(biāo)號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。 3．請按照題號在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。 4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。 5．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑。 第Ⅰ卷（選擇題 共60分） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分 1．已知集合，集合，集合， 則（ ） A． B. C . D . 2．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（ ） A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．已知向量，，若與共線，則的值為( ) A． B． C． D． 4．在長為12cm的線段AB上任取一點C. 現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC,CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為（ ） : A. B. C. D. 5. 某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（ ） A．4種 B．10種 C．18種 D．20種 x A B P y O 6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)是圖象的最高點，是圖象與軸的交點，則（ ） A. B. C. D. 7．如圖是一個算法的流程圖，若輸出的結(jié)果是31，則判斷框中整數(shù)M的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8.已知某幾何體的三視圖如圖，其中正(主)視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 9．已知數(shù)列滿足，則=（ ） A．0 B． C． D． 10．設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的離心率為( ) A． B． C． D． 2 11. 已知為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖像是（ ） 12. 定義域為的偶函數(shù)滿足對，有，且當(dāng) 時，，若函數(shù)在上至多三個零點，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上． 13.設(shè)為坐標(biāo)原點，點坐標(biāo)為，若滿足不等式組： 則的最大值為 14．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為、、，若則 15．在三棱錐S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，AC的中點為M，∠SMB的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積是 16.下列四個判斷： ①； ②已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，），P（X≤6）=0．72，則P（X≤0）=0．28; ③已知的展開式的各項系數(shù)和為32，則展開式中x項的系數(shù)為20； ④，其中正確命題的序號是 . 三、解答題：本大題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程． 17．(本題滿分12分)已知等差數(shù)列滿足. （1）求； （2）數(shù)列滿足 , 為數(shù)列的前項和，求. 18．（本題滿分 12 分）某高校在今年的自主招生考試成績中隨機抽取 100 名考生的筆試成績，分為 5組制出頻率分布直方圖如圖所示． （1）求a， b , c , d ; （2）該校決定在成績較好的 3 , 4 , 5 組用分層抽樣抽取 6 名學(xué)生進(jìn)行面試， 則每組應(yīng)各抽多少名學(xué)生？ （3）在（2）的前提下，已知面試有 4 位考官，被抽到的 6 名學(xué)生中有兩名被指定甲考官面試， 其余 4 名則隨機分配給 3 位考官中的一位對其進(jìn)行面試，求這 4 名學(xué)生分配到的考官個數(shù) X 的分布列和期望． 19. （本題滿分 12 分）如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD， PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點. (1)求證：BM∥平面PAD； (2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點N，使MN平面PBD； (3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦. 20．（本小題滿分12分） 已知橢圓過點，離心率， 若點在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢點”，直線L交橢圓C于A、B兩點，若點A、B的“橢點”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點 （1）求橢圓C的方程； （2）若橢圓C的右頂點為D，上頂點為E，試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關(guān)系，并證明 [21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)， （1）若函數(shù)滿足，且在定義域內(nèi)恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （2）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； （3）當(dāng)時，試比較與的大小 請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑. 22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講 如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB＝BC，AD是 BC邊上的高，AE是⊙O的直徑． （1）求證：ACBC＝ADAE； （2）過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點F，若 AF＝4，CF＝6，求AC的長． 23．（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 以直角坐標(biāo)系原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)，0＜α＜π）．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝． （1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)直線與曲線C相交于A、B兩點，當(dāng)α變化時，求｜AB｜的最小值． 24．（本題滿分 10 分）選修 4 一 5 ：不等式 若存在實數(shù) x 使成立，求實數(shù) a 的取值范圍。 2013西寧五中片區(qū)高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）答案[ 一、選擇題： 題號 1 2 3[ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C B D B A B B A B 二、 填空題： 13．12 14． 15． 16．② 三、解答題： 17． ———————5分 ————————8分 ——————10分 ———12分 19．答案：（1）是的中點，取PD的中點，則 ，又 四邊形為平行四邊形 ∥， ∥ ……………..（4分） （2）以為原點，以、、 所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，， 在平面內(nèi)設(shè)，，， 由 由 是的中點，此時 （8分） （3）設(shè)直線與平面所成的角為 ，，設(shè)為 故直線與平面所成角的正弦為 （12分） 解法二： （1）是的中點，取PD的中點，則 ，又 四邊形為平行四邊形 ∥， ∥ ………（4分） （2）由（1）知為平行四邊形 ，又 同理， 為矩形 ∥，，又 作故 交于，在矩形內(nèi)，， ， 為的中點 當(dāng)點為的中點時， ……… （8分） （3）由（2）知為點到平面的距離，為直線與平面所成的角，設(shè)為， 直線與平面所成的角的正弦值為 ……….(12分) 20. 解答(Ⅰ)由已知 解得，，方程為４ 分 (Ⅱ) 設(shè)，則 （1）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為 聯(lián)立得： 有 ① 由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O可得： 整理得： ② 將①式代入②式得：, ７ 分 又點到直線的距離 所以 10 分 (2) 當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)方程為（） 聯(lián)立橢圓方程得： 代入得到即， 綜上：的面積是定值 又的面積，所以二者相等. 12分 21．(1) 由， ， 令，可得在上遞減， 在上遞增，所以 即 4分 （2） ，， 時，函數(shù)在單調(diào)遞增 ，[ ， ， ，必有極值，在定義域上不單調(diào) 8分 （3）由(I)知在(0,1)上單調(diào)遞減 ∴時，即 而時， 12分