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天津市2017屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 一、選擇、填空題 1、若直線是曲線的切線，也是曲線的切線， ． 2、設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得0，則的取值范圍是（ ） 3、曲線在點處的切線方程為 . 4、設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，，則（ ） A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值 C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，也無極小值 5、已知為R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且，則函數(shù)的零點個數(shù)為__________ 6、曲線處的切線方程是 　A、x＝1　　　B、y＝　　　C、x＋y＝1　　　D、x－y＝1 7、已知定義在R上的函數(shù)的圖象如圖，則的解集為 　　　　　　　 8、若過曲線上的點P的切線的斜率為2，則點P的坐標(biāo)是　　　 二、解答題 1、（2016年天津市高考）（2016年天津高考）設(shè)函數(shù),，其中 (I)求的單調(diào)區(qū)間； (II) 若存在極值點，且，其中，求證：； （Ⅲ）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于. 2、（2015年天津市高考）已知函數(shù)，其中. (I)討論的單調(diào)性； (II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有； (III)若關(guān)于的方程有兩個正實根，求證： 3、（天津市八校2016屆高三12月聯(lián)考）已知函數(shù)． (Ⅰ) 若，求曲線在點處的切線； (Ⅱ) 若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍； (Ⅲ) 設(shè)函數(shù) ，若在上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍． 4、（和平區(qū)2016屆高三第四次模擬）已知函數(shù)． （Ⅰ）若，求函數(shù)在上的最小值； （Ⅱ）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的極值點情況． 5、（河北區(qū)2016屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測（三）） 已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍； （Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點，使得成立， 求實數(shù)的取值范圍． 6、（河北區(qū)2016屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測（一）） 已知函數(shù)，，其中． （Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的極值； （Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）當(dāng)時，若圖象上的點都在 所表示的平面區(qū)域內(nèi)， 求實數(shù)的取值范圍． 7、（河?xùn)|區(qū)2016屆高三第二次模擬）已知函數(shù)． （1）求函數(shù)在處切線方程； （2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）對任意，恒成立，求的范圍． 8、（河西區(qū)2016屆高三第二次模擬） 已知函數(shù)（）. （Ⅰ）當(dāng)時，求過點，且與曲線相切的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅲ）若函數(shù)的兩個極值點，，且，記表示不大于的最大 整數(shù)，試比較與的大小. 9、（河西區(qū)2016屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一））已知函數(shù)（），，圖象與軸異于原點的交點處的切線為，與軸的交點處的切線為，并且與平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）已知實數(shù)，求，，的取值范圍及函數(shù)， ，的最小值； （Ⅲ）令，給定，，，，對于兩個大于1的 正數(shù)，，存在實數(shù)滿足，，并且 使得不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 10、（紅橋區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末考試）已知函數(shù). （Ⅰ）若函數(shù)在處切線的斜率，求實數(shù)的值； （Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅲ）若，求的取值范圍. 11、（天津市六校2016屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考）已知函數(shù) （Ⅰ）當(dāng)時，求在處的切線方程； （Ⅱ）令，已知函數(shù)有兩個極值點，且，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若存在，使不等式對任意（取值范圍內(nèi)的值）恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 12、（天津市十二區(qū)縣重點高中2016屆高三畢業(yè)班第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，． (Ⅰ)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍； (Ⅱ)若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值； (Ⅲ)當(dāng)時，若與的圖象有兩個交點，試比較與的大小．（取為，取為，取為） 13、（天津市十二區(qū)縣重點學(xué)校2016屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考（二））已知直線是函數(shù)的切線（其中）. (I)求實數(shù)的值； (II)若對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）若函數(shù)的兩個零點為，證明：+. 14、（武清區(qū)2016屆高三5月質(zhì)量調(diào)查（三））已知函數(shù)，，． （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若存在，使得成立，求的取值范圍； （3）設(shè)是函數(shù)的兩個零點，求證． 15、（天津市和平區(qū)2016屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量調(diào)查）已知函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）設(shè)函數(shù),若在區(qū)間上至少存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍. 參考答案 一、填空、選擇題 1、【解析】 的切線為：（設(shè)切點橫坐標(biāo)為） 的切線為： ∴ 解得 ∴． 2、【答案】D 【解析】 試題分析：設(shè)=，，由題知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方. 因為，所以當(dāng)時，＜0，當(dāng)時，＞0，所以當(dāng)時，=， 當(dāng)時，=-1，，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D. 考點：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 3、 4、【答案】D 【解析】的定義域為， ∵， ∴， ∴，∴， ∴． ∵，∴． ∴， ∴在上單調(diào)遞增， ∴在上既無極大值也無極小值． 5、0　　 6、B　　　7、A　　8、（e，e） 二、解答題 1、【解析】（1） ① ，單調(diào)遞增； ②，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 （2）由得 ∴ （3）欲證在區(qū)間上的最大值不小于，只需證在區(qū)間上存在， 使得即可 ①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減 遞減，成立 當(dāng)時， ∵ ∴ 若時，，成立 當(dāng)時，， 所以，在區(qū)間上的最大值不小于成立 2、試題解析：(I)由，可得，其中且， 下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)為奇數(shù)時：令，解得或， 當(dāng)變化時，的變化情況如下表： 所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. (2)當(dāng)為偶數(shù)時， 當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減. 所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (II)證明：設(shè)點的坐標(biāo)為，則，，曲線在點處的切線方程為，即，令，即，則 由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因為，所以當(dāng)時， ，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意的正實數(shù)都有，即對任意的正實數(shù)，都有. (III)證明：不妨設(shè)，由(II)知，設(shè)方程的根為，可得 ，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，又由(II)知可得. 類似的，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得，當(dāng)， ，即對任意， 設(shè)方程的根為，可得，因為在上單調(diào)遞增，且 考點：1.導(dǎo)數(shù)的運算；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式. 3、(Ⅰ) ， 則切線為：，即； (Ⅱ) ， 即，對恒成立， 設(shè)， 在上增，減，則 ，即 (Ⅲ) 設(shè)函數(shù) ， 則原問題在上至少存在一點，使得． ，則在增，，舍； ，， ，，則，舍； ， 則在增，，整理得 綜上， 4、解：（Ⅰ）當(dāng)時，，其定義域為，，……2分 所以在上是增函數(shù)，當(dāng)時，． 故函數(shù)在上的最小值是1．…………………………………………3分 （Ⅱ）由題設(shè)條件，得，設(shè)， 依題意，在區(qū)間上存在子區(qū)間使不等式成立．…………………………………………5分 因為函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線， 所以只需或即可．……………………………………………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ），可知． （ⅰ）當(dāng)時，在上恒成立， 此時，函數(shù)無極值點；………………………………………………10分 （ⅱ）當(dāng)時，若，即時， 在上恒成立，此時，函數(shù)無極值點； 若，即時，易知當(dāng)時，，此時； 當(dāng)或時，，此時． 所以當(dāng)時，是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，………………………………………………………………………13分 綜上，當(dāng)時，函數(shù)無極值點；當(dāng)時，是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點．………………………………………14分 5、解：（Ⅰ）當(dāng)時，，， ，， ∴曲線在點處的切線方程為．………… 4分 （Ⅱ）∵， 要使函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)， 只需在上恒成立． ∴，即，也即恒成立． 又，∴的取值范圍為． ………… 8分 （Ⅲ）∵在上是減函數(shù)， ∴，即． （1）當(dāng)時，， ∴，∴在上是減函數(shù)； ∴，不合題意． （2）當(dāng)時， ∵， ∴． ∴． 令，由（Ⅱ）知，在上是增函數(shù)， ∴． ∴，不合題意． （3）當(dāng)時， 由（Ⅱ）知， 在上是增函數(shù)， ， 又在上是減函數(shù)， ∴只需，又， 即， 解得． ∴的取值范圍是． ………… 14分 6、解：（Ⅰ）當(dāng)時， 的定義域為， ． …… 2分 列表討論和的變化情況： ＋ 0 － 極大值 ∴當(dāng)時，取得極大值. …… 4分 （Ⅱ）當(dāng)時，． 的定義域為， ． …… 6分 令，得或． （1）當(dāng)，即時， 由，解得，由，解得或， ∴在上單調(diào)遞減， 在，上單調(diào)遞增； ……7分 （2）當(dāng)，即時，在上，， ∴在上單調(diào)遞增； ……8分 （3）當(dāng)，即時， 由，解得，由，解得或， ∴在上單調(diào)遞減， 在，上單調(diào)遞增． ……9分 （Ⅲ）∵圖象上的點都在 所表示的平面區(qū)域內(nèi)， ∴當(dāng)時，恒成立， 即當(dāng)時，恒成立． 只需． ……10分 （1）當(dāng)時，由（Ⅱ）知， ? 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴在上無最大值，不滿足條件； ? 當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增， ∴在上無最大值，不滿足條件；……11分 （2）當(dāng)時，，在上，， ∴在上單調(diào)遞減，成立; ……12分 （3）當(dāng)時，，在上，， ∴在上單調(diào)遞減，成立． ……13分 綜上可知，實數(shù)的取值范圍是． ……14分 7、（1） 切線斜率， 切線方程 ……4分 （2）令， 即 當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù) 當(dāng)時， 在上為增函數(shù)， 在上為減函數(shù) 當(dāng)時，在R上恒為增函數(shù) 當(dāng)時，在上為增函數(shù)， 在上為減函數(shù) ……10分 （3）由已知在上的最大值小于等于 當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增 的最大值為 解為 當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù) 的最大值為或 即 ，（）恒成立 即 （）恒成立 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減 的最大值為 解為 成立 綜上所述 ……14分 8、（Ⅰ）解：當(dāng)時，曲線， 設(shè)切點坐標(biāo)為，， 由，所以斜率，則切線方程為， 因為切線過點，，所以，解得， 所以切線方程為. …………3分 （Ⅱ）解：函數(shù)的定義域為，， ， 令， 當(dāng)時，恒成立， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，； 當(dāng)時， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，； 當(dāng)時， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，. …………7分 （Ⅲ）解：， 令，得， 由題意，方程有兩個不相等的正數(shù)根，，且， 則，解得， ，，則， 由，得， …………9分 所以，，， ， 當(dāng)，時，，即函數(shù)是，上的增函數(shù)， 所以，故的取值范圍是，， …………11分 則， 同理可求，，， ， 當(dāng)，時，，即函數(shù)是，上的減函數(shù)， 所以，故的取值范圍是，， …………12分 則或， 當(dāng)時，； 當(dāng)時，. …………14分 9、（Ⅰ）解：的圖象與軸異于原點的交點為，， ， 的圖象與軸的交點，， ， 由題意可得，即，所以， …………2分 所以，. …………3分 （Ⅱ）當(dāng)，時，， 所以在，上單調(diào)遞增，所以，， 即 的取值范圍是，. …………5分 ， 令，在，時，， 所以在，上單調(diào)遞增，， 圖象的對稱軸為，拋物線開口向上， ①當(dāng)即時，， ②當(dāng)即時，， ③當(dāng)即時，. …………8分 （Ⅲ）解：， ，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時，. ①當(dāng)，時，有，，得，，同理，， 由的單調(diào)性知，， 從而，符合題設(shè). ②當(dāng)時，有， ， 由的單調(diào)性知， 所以，與題設(shè)不符. ③當(dāng)時，同理可得，，得，與題設(shè)不符. 綜上所述，得，. …………14分 10、（Ⅰ）因為， 解得：.---------------------------------------------------------------------------------3分 （Ⅱ）的定義域為(0,+), ， 當(dāng)a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；----------------------------5分 當(dāng)a≤－1時，＜0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；----------------------------6分 當(dāng)－1＜a＜0時，令＝0,解得x=. 當(dāng)x∈(0, )時, ＞0；單調(diào)增， x∈(，+)時，＜0, 單調(diào)減--------------------------------------------10分 （Ⅲ）， 得： ------------------------------------------------11分 令 則， 當(dāng)時，單調(diào)遞增， 當(dāng)時，單調(diào)遞減， 所以，， -----------------------------------------------13分 故 ---------------------------------------------14分 11、（1） 時 在處的切線方程為…3分 （2） ， 所以，所以． …6分 （3）由，解得， ∵，∴． 而在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增． …7分 ∴在上，． …8分 所以，“存在，使不等式恒成立”等價于“不等式恒成立”， 即，不等式對任意的（）恒成立． …9分 令，則． ． …10分 ①當(dāng)時，，在上遞減． ，不合題意． ②當(dāng)時，． 若，記，則在上遞減． 在此區(qū)間上有，不合題意． 因此有，解得， 所以，實數(shù)的取值范圍為． …14分 12、解：(Ⅰ) ,則， ……1分 ∵在上單調(diào)遞增，∴對，都有， ……2分 即對，都有，∵，∴， 故實數(shù)的取值范圍是． ……4分 (Ⅱ) 設(shè)切點，則切線方程為， 即，亦即， ……5分 令，由題意得， …6分 令，則， ……7分 當(dāng)時 ，，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增， ∴，故的最小值為． ……9分 (Ⅲ)由題意知，， 兩式相加得，兩式相減得， ……10分 即，∴， 即，　　 ……11分　　 不妨令，記，令，則， ……12分 ∴在上單調(diào)遞增，則， ∴，則，∴， 又， ∴，即， ……13分 令，則時，，∴在上單調(diào)遞增， 又， ∴，則，即． ……14分 13、解：(Ⅰ)由題意得，設(shè)切點（） 所以，得. 則 ， ……………3分 (Ⅱ)由（1）知對任意都成立， ，即對任意都成立， ………5分 令， ………6分 ； 在上單增，上單減， ………7分 ………8分 …………9分 (Ⅲ)證明：由題意知函數(shù)，所以， 因為是函數(shù)的兩個零點，所以，相減得， ………10分 不妨令，則，則，所以，， ………11分 要證+ 只要證 只要證 ………12分 即證 令 令 對恒成立在上單增 在上單增， 即 在上單增 ,即原不等式成立. ……………14分 14、（1）…………………1分 令，得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為；…………………2分 令，得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為.…………………3分 （2）記，則， ………………………4分 ∵，∴， ∴函數(shù)為上的增函數(shù)，…………5分 ∴當(dāng)時，的最小值為………………………6分 ∵存在，使得成立，∴………………………7分 即，解得或即為所求. ………………………8分 （3）由（1）可知，是函數(shù)的極小值點，也是最小值點，即最小值為， 顯然只有時，函數(shù)有兩個零點，設(shè)，易知， ．………9分 ∵ ，………………………10分 令，由（2）可知在上單調(diào)遞增，…………11分 ∴，又∵，∴，即…………12分 ∴，又∵，………………………13分 且由（1）知在上單調(diào)遞減，∴，∴．………14分 15、（Ⅰ）解: 當(dāng)時,,, …………………（1 分） , ………………………（2 分） 曲線在點處的斜率為, ………………………（3 分） 故曲線在點處的切線方程為, 即. ………………………（4 分） （Ⅱ）解: . ………………………（5 分） 令,要使在定義域內(nèi)是增函數(shù), 只需≥在區(qū)間內(nèi)恒成立. ………………………（6 分） 依題意,此時的圖象為開口向上的拋物線, , 其對稱軸方程為,, 則只需≥,即≥時,≥,≥, …………………（8 分） 所以定義域內(nèi)為增函數(shù),實數(shù)的取值范圍是. ………（9 分） （Ⅲ）解: 構(gòu)造函數(shù),,依題意, ……………（10分） 由（Ⅱ）可知≥時,為單調(diào)遞增函數(shù), 即在上單調(diào)遞增, …………………（12分） ,則, 此時,,即成立. 當(dāng)≤時,因為,, 故當(dāng)值取定后,可視為以為變量的單調(diào)遞增函數(shù), 則≤,, 故≤, 即≤,不滿足條件. 所以實數(shù)的取值范圍是. ………………………（14分）