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1、 階段知能檢測（六） 第Ⅰ卷 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若a2＜b2，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)＜b B.＞ C．|a|＜|b| D．a(chǎn)3＜b3 【解析】　∵a2＜b2，∴＜，即|a|＜|b|. 【答案】　C 2．如果a＞b＞c，且有a＋b＋c＝0，則(　　) A．a(chǎn)·b＞a·c B．a(chǎn)·c＞b·c C．a(chǎn)·|b|＞c·|b| D．a(chǎn)2＞b2＞c2 【解析】　∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0， ∴

2、a＞0，c＜0， ∴a·b＞a·c. 【答案】　A 3．(2011·浙江高考)若實數(shù)x，y滿足不等式組則3x＋4y的最小值是(　　) A．13 B．15 C．20 D．28 【解析】　作出可行域，如圖所示，兩條直線的交點為A(3,1)，作直線3x＋4y＝0，并將它向右上平移，當過點A(3,1)時，3x＋4y取得最小值，且最小值為3×3＋4×1＝13. 【答案】　A 4．設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋，經(jīng)計算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論(　　) A．f(2n)＞ B．f(n2)≥

3、C．f(2n)≥ D．以上都不對 【解析】　∵f(2)＝，f(4)＞2＝，f(8)＞，f(16)＞3＝，f(32)＞，∴猜想：f(2n)≥. 【答案】　C 5．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4 C．a(chǎn)≥4，或a≤－4 D．a(chǎn)＜－4，或a＞4 【解析】　由題意知Δ＝a2－16＞0，解得a＞4或a＜－4. 【答案】　D 6．已知＋＝1(x＞0，y＞0)，則x＋y的最小值為(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 【解析】　x＋y＝(x＋y)(＋)＝10＋＋≥1

4、0＋2＝18，當且僅當＝時取等號． 【答案】　D 7．若不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集為{x|－2＜x＜1}，則函數(shù)y＝f(－x)的圖象為(　　) 【解析】　由題意知，方程ax2－x－c＝0的兩根為x1＝－2，x2＝1， 則有∴. ∴f(x)＝－x2－x＋2， ∴f(－x)＝－x2＋x＋2， 令f(－x)＝0得x＝2或x＝－1，選B. 【答案】　B 8．(2011·廣東高考)已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定，若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則z＝·的最大值為(　　) A．4 B．3 C．4 D．3 【解析】　由線性約束

5、條件畫出可行域如圖所示，目標函數(shù)z＝·＝x＋y，將其化為y＝－x＋z，結(jié)合圖形可知，目標函數(shù)的圖象過點(，2)時，z最大，將點(，2)的坐標代入z＝x＋y，得z的最大值為4. 【答案】　C 第Ⅱ卷 二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，滿分30分) 9．若點P(x，y)在直線x＋3y－2＝0上，則3x＋27y的最小值是________． 【解析】　由題意知，x＋3y＝2， ∴3x＋27y≥2＝2＝6， 當且僅當3x＝27y，即x＝1，y＝時等號成立． 【答案】　6 10．若實數(shù)x，y滿足則目標函數(shù)z＝的最大值是________． 【解析】　線性約束條件對應(yīng)的可行域

6、為△ABC(如圖)．而z＝為點(x，y)與(－1,0)連線的斜率．由圖形知，zmax＝＝2. 【答案】　2 11．給出下列命題： 命題1：點(1,1)是直線y＝x與雙曲線y＝的一個交點； 命題2：點(2,4)是直線y＝2x與雙曲線y＝的一個交點； 命題3：點(3,9)是直線y＝3x與雙曲線y＝的一個交點； …… 請觀察上面命題，猜想出命題n(n是正整數(shù))為________． 【解析】　觀察所給命題知，命題n中交點坐標為(n，n2)， 直線方程為y＝nx，雙曲線方程為y＝， 故命題n是“點(n，n2)是直線y＝nx與雙曲線y＝的一個交點”． 【答案】　點(n，n2)是直線y

7、＝nx與雙曲線y＝的一個交點 12．已知等差數(shù)列{an}中，有＝，則在等比數(shù)列{bn}中，會有類似的結(jié)論________． 【解析】　由等比數(shù)列的性質(zhì)b1b30＝b2b29＝…＝b11b20， ∴＝. 【答案】?。? 13．若loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，則a的取值范圍是________． 【解析】　∵a2＋1≥1且loga(a2＋1)＜0，∴0＜a＜1， 由loga(a2＋1)＜loga(2a)得a2＋1＞2a，恒成立， 由loga(2a)＜0得2a＞1，∴a＞. 綜上知＜a＜1. 【答案】　(，1) 14．已知正項等比數(shù)列{an}滿足：a7＝a6＋2a5，

8、若存在兩項am，an使得＝4a1，則＋的最小值為________． 【解析】　設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q，且q＞0. 由a7＝a6＋2a5，得q2－q－2＝0，解得q＝2. 由＝4a1，得2m＋n－2＝24， 即m＋n＝6. 故＋＝(m＋n)(＋)＝＋(＋)≥＋＝，當且僅當n＝2m時等號成立． 【答案】　 三、解答題(本大題共6小題，滿分80分．解答時需寫出文字說明、證明過程和演算步驟) 15．(本小題滿分12分)已知a＞0，b＞0，求證：＋≥a＋b. 【證明】　＋－(a＋b)＝(－a)＋(－b) ＝＋ ＝(a－b)(a＋b)(－)＝(a－b)2(a＋b)， ∵a

9、＞0，b＞0， ∴＞0，a＋b＞0，(a－b)2≥0， ∴(a－b)2(a＋b)≥0，即＋－(a＋b)≥0， ∴＋≥a＋b. 16．(本小題滿分13分)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且0＜x＜c時，f(x)＞0. (1)證明：是f(x)＝0的一個根； (2)證明：＞c. 【證明】　(1)∵f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點， ∴f(x)＝0有兩個不相等的實根x1，x2. ∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的一個根． 又x1·x2＝， ∴x2＝(≠0)．∴是f(x)＝0的一個根． (2)假設(shè)＜c，又＞0

10、， 由0＜x＜c時，f(x)＞0，知f()＞0， 這與f()＝0矛盾，∴≥c. 又∵≠c.∴＞c. 17．(本小題滿分13分)某研究所計劃利用“神七”宇宙飛船進行新產(chǎn)品搭載實驗，計劃搭載新產(chǎn)品A、B，要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實驗費用和預計產(chǎn)生收益來決定具體安排，通過調(diào)查，有關(guān)數(shù)據(jù)如表： 產(chǎn)品A(件) 產(chǎn)品B(件) 研制成本與搭載 費用之和(萬元/件) 20 30 計劃最大資 金額300萬元 產(chǎn)品重量(千克/件) 10 5 最大搭載 重量110千克 預計收益(萬元/件) 80 60 試問：如何安排這兩種產(chǎn)品的件數(shù)進行搭載，才

11、能使總預計收益達到最大，最大收益是多少？ 【解】　設(shè)搭載產(chǎn)品A x件，產(chǎn)品B y件， 預計總收益z＝80x＋60y. 則作出可行域，如圖． 作出直線l0：4x＋3y＝0并平移，由圖象得，當直線經(jīng)過M點時z能取得最大值， 由解得即M(9,4)． 所以zmax＝80×9＋60×4＝960(萬元)． 即搭載產(chǎn)品A 9件，產(chǎn)品B 4件，可使得總預計收益最大，為960萬元． 18．(本小題滿分14分)祖國大陸開放臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農(nóng)民在那里申辦了個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務(wù)．某臺商到大陸

12、一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元．設(shè)f(n)表示前n年的純利潤(f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額)． (1)從第幾年開始獲取純利潤？ (2)若干年后，該臺商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案； ①年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠； ②純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠． 問哪種方案更合算？ 【解】　由題意知，每年的經(jīng)費是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)純利潤與年數(shù)的關(guān)系為f(n)， 則f(n)＝50n－[12n＋×4]－72 ＝－2n2＋40n－72. (1)獲取純利潤就

13、是要求f(n)＞0，即－2n2＋40n－72＞0， 解得2＜n＜18.又n∈N，故從第三年開始獲利． (2)①年平均利潤＝＝40－2(n＋)≤16. 當且僅當n＝6時取等號． 故此方案共獲利6×16＋48＝144(萬美元)，此時n＝6. ②f(n)＝－2(n－10)2＋128， 當n＝10時，f(n)max＝128 故第②種方案共獲利128＋16＝144(萬美元)． 故比較兩種方案，獲利都是144萬美元． 但第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①種方案更合算． 19．(本小題滿分14分)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺

14、繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形． (1)求出f(5)的值； (2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達式； (3)求＋＋＋…＋的值． 【解】　(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴f(5)＝25＋4×4＝41. (2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4

15、)＝16＝4×4， 由上式規(guī)律得出f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)， f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)， f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)， … f(2)－f(1)＝4×1， ∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1] ＝2(n－1)·n， ∴f(n)＝2n2－2n＋1. (3)當n≥2時，＝ ＝(－)， ∴＋＋＋…＋ ＝1＋(1－＋－＋…＋－) ＝1＋(1－)＝－. 20．(本小題滿分14分)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝，Sn＝n2an－n(n－1)(n∈N*)． (1)

16、寫出Sn與Sn－1(n≥2)的遞推關(guān)系式； (2)求S1，S2，S3，猜想Sn的表達式，并證明之． 【解】　(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1， ∴Sn＝n2(Sn－Sn－1)－n(n－1)， ∴Sn＝Sn－1＋. (2)已知S1＝a1＝且Sn＝Sn－1＋， ∴S2＝，S3＝. 由S1，S2，S3猜想Sn＝. 下面利用數(shù)學歸納法證明 ①當n＝1時，由條件S1＝a1＝，適合Sn＝， ∴n＝1時，猜想成立． ②假設(shè)當n＝k時，猜想成立，即Sk＝. 當n＝k＋1時，Sk＋1＝Sk＋ ＝·＋＝. 故當n＝k＋1時，Sn＝成立． 根據(jù)①和②知，對n∈N*，Sn＝成立． - 7 - 用心 愛心 專心