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1 14 全等三角形提高練習(xí) 1 如圖所示 ABC ADE BC 的延長線過點 E ACB AED 105 CAD 10 B 5 0 求 DEF 的度數(shù) 2 如圖 AOB 中 B 30 將 AOB 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 52 得到 A OB 邊 A B 與邊 OB 交于點 C A 不在 OB 上 則 A CO 的度數(shù)為多少 3 如圖所示 在 ABC 中 A 90 D E 分別是 AC BC 上的點 若 ADB EDB EDC 則 C 的 度數(shù)是多少 4 如圖所示 把 ABC 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 35 得到 A B C A B 交 AC 于點 D 若 A DC 90 則 A 5 已知 如圖所示 AB AC AD BC 于 D 且 AB AC BC 50cm 而 AB BD AD 40cm 則 AD 是多少 6 如圖 Rt ABC 中 BAC 90 AB AC 分別過點 B C 作過點 A 的垂線 BC CE 垂足分別為 D E 若 BD 3 CE 2 則 DE EF A CB D C AO BA B B A CDE DB B C A A DA C B B D ECA 2 14 7 如圖 AD 是 ABC 的角平分線 DE AB DF AC 垂足分別是 E F 連接 EF 交 AD 于 G AD 與 EF 垂直嗎 證明你的結(jié)論 8 如圖所示 在 ABC 中 AD 為 BAC 的角平分線 D E AB 于 E DF AC 于 F ABC 的面積是 28cm2 AB 20cm AC 8cm 求 DE 的長 9 已知 如圖 AB AE B E BAC EAD CAF DAF 求證 AF CD 10 如圖 AD BD AD BC 于 D BE AC 于 E AD 與 BE 相交于點 H 則 BH 與 AC 相等嗎 為什么 11 如圖所示 已知 AD 為 ABC 的高 E 為 AC 上一點 BE 交 AD 于 F 且有 BF AC FD CD 求 證 BE AC 12 DAC EBC 均是等邊三角形 AF BD 分別與 CD CE 交于點 M N 求證 1 AE BD 2 CM CN 3 CMN 為等邊三角形 4 MN BC G B C A DE F B C A DE F C D AB E F H B C A D E FB CADE NMA BD E C 3 14 13 已知 如圖 1 點 C 為線段 AB 上一點 ACM CBN 都是等邊三角形 AN 交 MC 于點 E BM 交 CN 于 點 F 1 求證 AN BM 2 求證 CEF 為等邊三角形 14 如圖所示 已知 ABC 和 BDE 都是等邊三角形 下列結(jié)論 AE CD BF BG BH 平分 AHD AHC 60 BFG 是等邊三角形 FG AD 其中正確的有 A 3 個 B 4 個 C 5 個 D 6 個 15 已知 BD CE 是 ABC 的高 點 F 在 BD 上 BF AC 點 G 在 CE 的延長線上 CG AB 求證 AG AF 16 如圖 在 ABC 中 BE CF 分別是 AC AB 兩邊上的高 在 BE 上截取 BD AC 在 CF 的延長線上截取 CG AB 連結(jié) AD AG 求證 1 AD AG 2 AD 與 AG 的位置關(guān)系如何 17 如圖 已知 E 是正方形 ABCD 的邊 CD 的中點 點 F 在 BC 上 且 DAE FAE 求證 AF AD CF 18 如圖所示 已知 ABC 中 AB AC D 是 CB 延長線上一點 ADB 60 E 是 AD 上一點 且 DE DB 求證 AC BE BC HG FA DC EB E B C AG DF HFB CAG ED A B C DE F D A B CE 4 14 19 如圖所示 已知在 AEC 中 E 9 0 AD 平分 EAC DF AC 垂足為 F DB DC 求證 BE CF 20 已知如圖 AB DE 直線 AE BD 相交于 C B D 180 AF DE 交 BD 于 F 求證 CF CD 21 如圖 OC 是 AOB 的平分線 P 是 OC 上一點 PD OA 于 D PE OB 于 E F 是 OC 上一點 連接 DF 和 EF 求證 DF EF 22 已知 如圖 BF AC 于點 F CE AB 于點 E 且 BD CD 求證 1 BDE CDF 2 點 D 在 A 的平分線上 23 如圖 已知 AB CD O 是 ACD 與 BAC 的平分線的交點 OE AC 于 E 且 OE 2 則 AB 與 CD 之間的 距離是多少 24 如圖 過線段 AB 的兩個端點作射線 AM BN 使 AM BN 按下列要求畫圖并回答 畫 MAB NBA 的平分線交于 E 1 AEB 是什么角 2 過點 E 作一直線交 AM 于 D 交 BN 于 C 觀察線段 DE CE 你有何發(fā)現(xiàn) 3 無論 DC 的兩端點在 AM BN 如何移動 只要 DC 經(jīng)過點 E AD BC AB AD BC CD 誰成立 并說明 理由 A E CDFB CB DA EF A BCF OPDE DA C B FE B D A C O E M N A B E D C 5 14 25 如圖 ABC 的三邊 AB BC CA 長分別是 20 30 40 其三條角平分線將 ABC 分為三個三角形 則 S ABO S BCO S CAO 等于 26 正方形 ABCD 中 AC BD 交于 O EOF 90 已知 AE 3 CF 4 則 S BEF 為多少 27 如圖 在 Rt ABC 中 ACB 45 BAC 90 AB AC 點 D 是 AB 的中點 AF CD 于 H 交 BC 于 F BE AC 交 AF 的延長線于 E 求證 BC 垂直且平分 DE 28 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直線 MN 經(jīng)過點 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 當(dāng)直線 MN 繞點 C 旋轉(zhuǎn)到圖 的位置時 求證 DE AD BE 2 當(dāng)直線 MN 繞點 C 旋轉(zhuǎn)到圖 的位置時 求證 DE AD BE 3 當(dāng)直線 MN 繞點 C 旋轉(zhuǎn)到圖 的位置時 試問 DE AD BE 具有怎樣的等量關(guān)系 請直接寫出這個等 量關(guān)系 C A BO OA D B CEF PEFB C A E D M 圖1A C NED N 圖2A C BDEM D N 圖3A C B ME 6 14 1 解 ABC AED D B 50 ACB 105 ACE 75 CAD 10 ACE 75 EFA CAD ACE 85 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和 同理可得 DEF EFA D 85 50 35 2 根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得 B B 因為 AOB 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 52 所以 BOB 52 而 A CO 是 B OC 的外角 所以 A CO B BOB 然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解 解答 解 A OB 是由 AOB 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)得到 B 30 B B 30 AOB 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 52 BOB 52 A CO 是 B OC 的外角 A CO B BOB 30 52 82 故選 D 3 全等三角形的性質(zhì) 對頂角 鄰補角 三角形內(nèi)角和定理 分析 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出 A DEB DEC ADB BDE EDC 根據(jù)鄰補角定義求出 DEC EDC 的度數(shù) 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可 解答 解 ADB EDB EDC A DEB DEC ADB BDE EDC DEB DEC 180 ADB BDE EDC 180 DEC 90 EDC 60 C 180 DEC EDC 180 90 60 30 4 分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 可得知 ACA 35 從而求得 A 的度數(shù) 又因為 A 的對應(yīng)角是 A 即可 求出 A 的度數(shù) 解答 解 三角形 ABC 繞著點 C 時針旋轉(zhuǎn) 35 得到 AB C ACA 35 A DC 90 A 55 A 的對應(yīng)角是 A 即 A A A 55 故答案為 55 點評 此題考查了旋轉(zhuǎn)地性質(zhì) 圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉(zhuǎn)固定角度的位置 移動 其中對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等 旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變 解題的關(guān)鍵是正確確定 對應(yīng)角 5 因為 AB AC 三角形 ABC 是等腰三角形 所以 AB AC BC 2AB BC 50 BC 50 2AB 2 25 AB 又因為 AD 垂直于 BC 于 D 所以 BC 2BD BD 25 AB AB BD AD AB 25 AB AD AD 25 40 AD 40 25 15cm 6 解 BD DE CE DE D E BAD BAC CAE 180 又 BAC 90 BAD CAE 90 在 Rt ABD 中 ABD BAD 90 7 14 ABD CAE 在 ABD 與 CAE 中 ABD CAE D E AB AC ABD CAE AAS BD AE AD CE DE AD AE DE BD CE BD 3 CE 2 DE 5 7 證明 AD 是 BAC 的平分線 EAD FAD 又 DE AB DF AC AED AFD 90 邊 AD 公共 Rt AED Rt AFD AAS AE AF 即 AEF 為等腰三角形 而 AD 是等腰三角形 AEF 頂角的平分線 AD 底邊 EF 等腰三角形的頂角的平分線 底邊上的中線 底邊上的高的重合 簡寫成 三線合一 8 AD 平分 BAC 則 EAD FAD EDA DFA 90 度 AD AD 所以 AED AFD DE DF S ABC S AED S AFD 28 1 2 AB DE AC DF 1 2 20 DE 8 DE DE 2 9AB AE B E BAC EAD 則 ABC AED AC AD ACD 是等腰三角形 CAF DAF AF 平分 CAD 則 AF CD 10 解 AD BC ADB ADC 90 CAD C 90 BE AC BEC ADB 90 CBE C 90 CAD CBE AD BD BDH ADC ASA BH AC 11 解 1 證明 AD BC 已知 BDA ADC 90 垂直定義 1 2 90 直角三角形兩銳角互余 在 Rt BDF 和 Rt ADC 中 Rt BDF Rt ADC H L 2 C 全等三角形的對應(yīng)角相等 8 14 1 2 90 已證 所以 1 C 90 1 C BEC 180 三角形內(nèi)角和等于 180 BEC 90 BE AC 垂直定義 12 證明 1 DAC EBC 均是等邊三角形 AC DC EC BC ACD BCE 60 ACD DCE BCE DCE 即 ACE DCB 在 ACE 和 DCB 中 AC DC ACE DCB EC BC ACE DCB SAS AE BD 2 由 1 可知 ACE DCB CAE CDB 即 CAM CDN DAC EBC 均是等邊三角形 AC DC ACM BCE 60 又點 A C B 在同一條直線上 DCE 180 ACD BCE 180 60 60 60 即 DCN 60 ACM DCN 在 ACM 和 DCN 中 CAM CDN AC DC ACM DCN ACM DCN ASA CM CN 3 由 2 可知 CM CN DCN 60 CMN 為等邊三角形 4 由 3 知 CMN CNM DCN 60 CMN MCB 180 MN BC 13 分析 1 由等邊三角形可得其對應(yīng)線段相等 對應(yīng)角相等 進而可由 SAS 得到 CAN MCB 結(jié)論得證 2 由 1 中的全等可得 CAN CMB 進而得出 MCF ACE 由 ASA 得出 CAE CMF 即 CE CF 又 ECF 60 所以 CEF 為等邊三角形 解答 證明 1 ACM CBN 是等邊三角形 AC MC BC NC ACM 60 NCB 60 在 CAN 和 MCB 中 AC MC ACN MCB NC BC CAN MCB SAS AN BM 2 CAN CMB CAN CMB 又 MCF 180 ACM NCB 180 60 60 60 MCF ACE 在 CAE 和 CMF 中 CAE CMF CA CM ACE MCF CAE CMF ASA CE CF CEF 為等腰三角形 又 ECF 60 CEF 為等邊三角形 點評 本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題 能夠掌握并熟練運用 9 14 14 考點 等邊三角形的性質(zhì) 全等三角形的判定與性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 分析 由題中條件可得 ABE CBD 得出對應(yīng)邊 對應(yīng)角相等 進而得出 BGD BFE ABF CGB 再由邊角關(guān)系即可求解題中結(jié)論是否正確 進而可得出結(jié)論 解答 解 ABC 與 BDE 為等邊三角形 AB BC BD BE ABC DBE 60 ABE CBD 即 AB BC BD BE ABE CBD ABE CBD AE CD BDC AEB 又 DBG FBE 60 BGD BFE BG BF BFG BGF 60 BFG 是等邊三角形 FG AD BF BG AB BC ABF CBG 60 ABF CGB BAF BCG CAF ACB BCD CAF ACB BAF 60 60 120 AHC 60 FHG FBG 120 60 180 B G H F 四點共圓 FB GB FHB GHB BH 平分 GHF 題中 都正確 故選 D 點評 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)問題 能夠熟練掌握 15 考點 全等三角形的判定與性質(zhì) 分析 仔細分析題意 若能證明 ABF GCA 則可得 AG AF 在 ABF 和 GCA 中 有 BF AC CG AB 這兩組邊相等 這兩組邊的夾角是 ABD 和 ACG 從已知條件中可推出 ABD ACG 在 Rt AGE 中 G GAE 90 而 G BAF 則可得出 GAF 90 即 AG AF 解答 解 AG AF AG AF BD CE 分別是 ABC 的邊 AC AB 上的高 ADB AEC 90 ABD 90 BAD ACG 90 DAB ABD ACG 在 ABF 和 GCA 中 BF AC ABD ACG AB CG ABF GCA SAS AG AF G BAF 又 G GAE 90 度 BAF GAE 90 度 GAF 90 AG AF 點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì) 要求學(xué)生利用全等三角形的判定條件及等量關(guān)系靈活解題 考查學(xué)生對幾何知識的理解和掌握 運用所學(xué)知識 培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力 范圍較廣 16 1 證明 BE AC AEB 90 ABE BAC 90 10 14 CF AB AFC AFG 90 ACF BAC 90 G BAG 90 ABE ACF BD AC CG AB ABD GCA SAS AG AD 2 AG AD 證明 ABD GCA BAD G GAD BAD BAG G BAG 90 AG AD 17 過 E 做 EG AF 于 G 連接 EF ABCD 是正方形 D C 90 AD DC DAE FAE ED AD EG AF DE EG AD AG E 是 DC 的中點 DE EC EG EF EF Rt EFG Rt ECF GF CF AF AG GF AD CF 18 因為 角 EDB 60 DE DB 所以 EDB 是等邊三角形 DE DB EB 過 A 作 BC 的垂線交 BC 于 F 因為 ABC 是等腰三角形 所以 BF CF 2BF BC 又 角 DAF 30 所以 AD 2DF 又 DF DB BF 所以 AD 2 DB BF 2DB 2BF 2DB BC AE ED 2DB BC 其中 ED DB 所以 AE DB BC AE BE BC 19 補充 B 是 FD 延長線上一點 ED DF 角平分線到兩邊上的距離相等 BD CD 角 EDB FDC 對頂角 則三角形 EDB 全等 CDF 則 BE CF 或者補充 B 在 AE 邊上 ED DF 角平分線到兩邊上的距離相等 DB DC 則兩直角三角形 EDB 全等 CDF HL 即 BE CF 20 解 AF DE D AFC B D 180 AFC AFB 180 11 14 B AFB AB AF DE AFC 和 EDC 中 B AFB ACF ECD 對頂角 AF DE AFC EDC CF CD 21 證明 點 P 在 AOB 的角平分線 OC 上 PE OB PD AO PD PE DOP EOP PDO PEO 90 DPF EPF 在 DPF 和 EPF 中 PD PE DPF EPF PF PF SAS DPF EPF DF EF 22 考點 全等三角形的判定與性質(zhì) 專題 證明題 分析 1 根據(jù)全等三角形的判定定理 ASA 證得 BED CFD 2 連接 AD 利用 1 中的 BED CFD 推知全等三角形的對應(yīng)邊 ED FD 因為角平分線上的點 到角的兩邊的距離相等 所以點 D 在 A 的平分線上 解答 證明 1 BF AC CE AB BDE CDF 對頂角相等 B C 等角的余角相等 在 Rt BED 和 Rt CFD 中 B C BD CD 已 知 BDE CDF BED CFD ASA 2 連接 AD 由 1 知 BED CFD ED FD 全等三角形的對應(yīng)邊相等 AD 是 EAF 的角平分線 即點 D 在 A 的平分線上 點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì) 常用的判定方法有 ASA AAS SAS SSS HL 等 做題 時需靈活運用 23 考點 角平分線的性質(zhì) 分析 要求二者的距離 首先要作出二者的距離 過點 O 作 FG AB 可以得到 FG CD 根據(jù)角平分線 的性質(zhì)可得 OE OF OG 即可求得 AB 與 CD 之間的距離 12 14 解答 解 過點 O 作 FG AB AB CD BFG FGD 180 BFG 90 FGD 90 FG CD FG 就是 AB 與 CD 之間的距離 O 為 BAC ACD 平分線的交點 OE AC 交 AC 于 E OE OF OG 角平分線上的點 到角兩邊距離相等 AB 與 CD 之間的距離等于 2 OE 4 故答案為 4 點評 本題主要考查角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質(zhì) 作出 AB 與 CD 之間的距離是正確解決 本題的關(guān)鍵 24 考點 梯形中位線定理 平行線的性質(zhì) 三角形內(nèi)角和定理 等腰三角形的性質(zhì) 專題 作圖題 探究型 分析 1 由兩直線平行同旁內(nèi)角互補 及角平分線的性質(zhì)不難得出 1 3 90 再由三角形內(nèi)角和等 于 180 即可得出 AEB 是直角的結(jié)論 2 過 E 點作輔助線 EF 使其平行于 AM 由平行線的性質(zhì)可得出各角之間的關(guān)系 進一步求出邊之間的 關(guān)系 3 由 2 中得出的結(jié)論可知 EF 為梯形 ABCD 的中位線 可知無論 DC 的兩端點在 AM BN 如何移動 只要 DC 經(jīng)過點 E AD BC 的值總為一定值 解答 解 1 AM BN MAB ABN 180 又 AE BE 分別為 MAB NBA 的平分線 1 3 1 2 MAB ABN 90 AEB 180 1 3 90 即 AEB 為直角 2 過 E 點作輔助線 EF 使其平行于 AM 如圖則 EF AD BC AEF 4 BEF 2 3 4 1 2 AEF 3 BEF 1 AF FE FB F 為 AB 的中點 又 EF AD BC 根據(jù)平行線等分線段定理得到 E 為 DC 中點 ED EC 13 14 3 由 2 中結(jié)論可知 無論 DC 的兩端點在 AM BN 如何移動 只要 DC 經(jīng)過點 E 總滿足 EF 為梯形 ABCD 中位線的條件 所以總有 AD BC 2EF AB 點評 本題是計算與作圖相結(jié)合的探索 對學(xué)生運用作圖工具的能力 以及運用直角三角形 等腰三角形 性質(zhì) 三角形內(nèi)角和定理 及梯形中位線等基礎(chǔ)知識解決問題的能力都有較高的要求 25 如圖 ABC 的三邊 AB BC CA 長分別是 20 30 40 其三條角平分線將 ABC 分為三個三角形 則 S ABO S BCO S CAO 等于 A 1 1 1 B 1 2 3 C 2 3 4 D 3 4 5 考點 角平分線的性質(zhì) 專題 數(shù)形結(jié)合 分析 利用角平分線上的一點到角兩邊的距離相等的性質(zhì) 可知三個三角形高相等 底分別是 20 30 40 所以面積之比就是 2 3 4 解答 解 利用同高不同底的三角形的面積之比就是底之比可知選 C 故選 C 點評 本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式 做題時應(yīng)用了三 個三角形的高時相等的 這點式非常重要的 26 解 正方形 ABCD AB BC AO BO CO ABC AOB COB 90 ABO BCO 45 BOF COF 90 EOF 90 BOF BOE 90 COF BOE BOE COF ASA BE CF CF 4 BE 4 AE 3 AB AE BE 3 4 7 BF BC CF 7 4 3 S BEF BE BF 2 4 3 2 6 27 考點 線段垂直平分線的性質(zhì) 全等三角形的判定與性質(zhì) 專題 證明題 分析 證明出 DBP EBP 即可證明 BC 垂直且平分 DE 解答 證明 在 ADC 中 DAH ADH 90 ACH ADH 90 DAH DCA BAC 90 BE AC CAD ABE 90 又 AB CA 在 ABE 與 CAD 中 DAH DC A CAD AB 14 14 E AB AC ABE CAD ASA AD BE 又 AD BD BD BE 在 Rt ABC 中 ACB 45 BAC 90 AB AC 故 ABC 45 BE AC EBD 90 EBF 90 45 45 DBP EBP SAS DP EP 即可得出 BC 垂直且平分 DE 點評 此題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為證明出 DBP EBP 通過利用圖中所給信息 證明出兩三角形相似 而證明相似可以通過證明角相等和線段相等來實現(xiàn) 28 1 證明 ACB 90 ACD BCE 90 而 AD MN 于 D BE MN 于 E ADC CEB 90 BCE CBE 90 ACD CBE 在 Rt ADC 和 Rt CEB 中 ADC CEB ACD CBE AC CB Rt ADC Rt CEB AAS AD CE DC BE DE DC CE BE AD 2 證明 在 ADC 和 CEB 中 ADC CEB 90 ACD CBE AC CB ADC CEB AAS AD CE DC BE DE CE CD AD BE 3 DE BE AD 證明的方法與 2 相同已贊同 9 評論 2