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1、第第2 2講講 概率概率考情分析考情分析總綱目錄考點一 古典概率考點二 幾何概型考點三 概率與統(tǒng)計的綜合問題考點一 古典概型1.古典概型的概率公式:P(A)=.mnA中所含的基本事件數(shù)基本事件總數(shù)2.古典概型的兩個特點:(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.典型例題典型例題(2017山東,16,12分)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游.(1)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率;(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,求這2個國家包括A1但不包括B1的概率.解析解析

2、(1)由題意知,從6個國家中任選兩個國家,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3,共15個.所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3個,則所求事件的概率P=.(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共9個.包括A1但不包括B1的事件所

3、包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2個,則所求事件的概率P=.3151529求古典概型概率的方法正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件數(shù).(1)對于較復雜的題目,列出事件數(shù)時要正確分類,分類時應不重不漏.(2)當直接求解有困難時,可考慮求出所求事件的對立事件的概率.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017課標全國,11,5分)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.B.C.D.1101531025答案答案D畫出樹狀圖如圖:可知所有的基本事件共有25個,滿足題意的基本事件有1

4、0個,故所求概率P=.故選D.1025252.定義“上升數(shù)”是一個數(shù)中右邊的數(shù)字比左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如123,568,2479等),任取一個兩位數(shù),這個兩位數(shù)為“上升數(shù)”的概率為()A.B.C.D.15253545答案答案B兩位數(shù)10,11,12,99共90個,其中十位數(shù)為1的“上升數(shù)”為12,13,19共8個,十位數(shù)為2的“上升數(shù)”為23,24,29共7個,十位數(shù)為8的“上升數(shù)”為89,只有1個,則所有兩位數(shù)中的“上升數(shù)”共8+7+6+1=36個,則這個兩位數(shù)為“上升數(shù)”的概率P=,選B.8 (8 1)2369025考點二 幾何概型1.幾何概型的概率公式:P(A)=.()()A構成事件

5、的區(qū)域長度 面積或體積試驗的全部結(jié)果所構成的區(qū)域長度 面積或體積2.幾何概型應滿足兩個條件:(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個.(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.典型例題典型例題(1)(2017課標全國,4,5分)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是()A.B. C.D.148124(2)(2017江蘇,7,5分)記函數(shù)f(x)=的定義域為D.在區(qū)間-4,5上隨機取一個數(shù)x,則xD的概率是.(3)已知長方形ABCD中,AB=4,BC=1,M為AB的中點

6、,則在此長方形內(nèi)隨機取一點P,P與M的距離小于1的概率為.26xx解析解析(1)設正方形的邊長為2,則正方形的內(nèi)切圓的半徑為1,其中黑色部分和白色部分關于正方形的中心對稱,則黑色部分的面積為,所以在正方形內(nèi)隨機取一點,此點取自黑色部分的概率P=,故選B.(2)由6+x-x20,得-2x3,即D=-2,3,P(xD)=.(3)如圖,點P位于以M為圓心,1為半徑的半圓內(nèi)部,由幾何概型的概率公式可得所求概率為=.222 283( 2)5( 4) 5921124 18答案答案(1)B(2) (3) 598求解幾何概型的概率應把握兩點(1)當構成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時,應考慮

7、使用幾何概型的概率公式求解.(2)尋找構成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域,有時需要設出變量,在坐標系中表示所需要的區(qū)域.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017甘肅張掖第一次診斷)在區(qū)間0,上隨機取一個數(shù),則使sin+cos2成立的概率為.222答案答案12解析解析由sin+cos2,得sin1,結(jié)合0,得,使sin+cos2成立的概率為=.2222240,22222122.(2017云南第一次統(tǒng)考)若在區(qū)間-4,4內(nèi)隨機取一個數(shù)m,在區(qū)間-2,3內(nèi)隨機取一個數(shù)n,則使得方程x2+2mx-n2+4=0有兩個不相等的實數(shù)根的概率為. 答案答案1-10解析解析方程x2+2mx-n2+4

8、=0有兩個不相等的實數(shù)根,0,即(2m)2-4(-n2+4)0,m2+n24,總的事件的集合=(m,n)|-4m4,-2n3,所表示的平面區(qū)域(如圖中矩形)的面積S=85=40,而滿足條件的事件的集合是(m,n)|m2+n24,-4m4,-2n3,圖中陰影部分的面積S=40-22=40-4,由幾何概型的概率計算公式得所求事件的概率P=1-.SS4044010考點三 概率與統(tǒng)計的綜合問題在統(tǒng)計與概率的綜合問題中,將對總體的估計與概率進行綜合,是一類常見的方式,將樣本進行匯總,制成頻率分布直方圖與概率知識進行綜合命題也是一種經(jīng)常考查的方式.典型例題典型例題(2017北京,17,13分)某大學藝術專

9、業(yè)400名學生參加某次測評,根據(jù)男女學生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下頻率分布直方圖:(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數(shù)小于70的概率;(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人,試估計總體中分數(shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù);(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.解析解析(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02+0.04)10=0.6,所以樣本中分數(shù)小于70的頻率

10、為1-0.6=0.4.所以從總體的400名學生中隨機抽取一人,其分數(shù)小于70的概率估計為0.4.(2)根據(jù)題意,樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9,分數(shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為100-1000.9-5=5.所以總體中分數(shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400=20.(3)由題意可知,樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02+0.04)10100=60,所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60=30.所以樣本中的男生人數(shù)為302=60,女生人數(shù)為100-60=40,男生和女生人數(shù)的比例為60 40=3 2.所以根據(jù)分層抽樣原理,總體中男生和女

11、生人數(shù)的比例估計為3 2.510012解答概率與統(tǒng)計綜合問題的兩點注意(1)明確頻率與概率的關系,頻率可近似替代概率.(2)此類問題中的概率模型多是古典概型,在求解時,要明確基本事件的構成.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓(2017課標全國,18,12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計

12、劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.解析解析(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當且僅當最高氣溫低于25,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25的頻率為=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6

13、.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25,則Y=6450-4450=900;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y=6300+2(450-300)-4450=300;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(450-200)-4450=-100.2 163690所以,Y的所有可能值為900,300,-100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20的頻率為=0.8,因此Y大于零的概率的估計值為0.8.362574901.(2017天津,3,5分)有5支彩筆(除顏色外無差別),顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取

14、出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A.B.C.D.45352515隨堂檢測隨堂檢測答案答案C從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,有以下10種情況:(紅,黃),(紅,藍),(紅,綠),(紅,紫),(黃,藍),(黃,綠),(黃,紫),(藍,綠),(藍,紫),(綠,紫).其中含有紅色彩筆的有4種情況:(紅,黃),(紅,藍),(紅,綠),(紅,紫),所以所求事件的概率P=,故選C.410252.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.B.C.D.7105838310答案答案B行人在紅燈亮起的25秒

15、內(nèi)到達該路口,即滿足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈,根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P=,故選B.2540583.(2017廣西三市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=logax+lo8(a0,且a1),在集合中任取一個數(shù)a,則f(3a+1)f(2a)0的概率為()A.B.C.D.1ga1 1 1, ,3,4,5,6,74 3 214381234答案答案B3a+12a,f(3a+1)f(2a),f(x)=logax-loga8,a1,又f(2a)0,2a8,即a4,故所求概率為.384.(2017湖北七市(州)聯(lián)考)在數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個數(shù)相加,和是偶數(shù)的概率為.答案答案25解析解析在1,2,3,4,5中任取兩個數(shù),其結(jié)果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種情況,其中兩個數(shù)相加,和為偶數(shù)的有(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4種情況,所以所求概率P=.41025