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生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因為在它內部蘊含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現的形式表現出來。 －－泰戈爾 目 錄 前言 ……………………………………………………… 2 第一章 高中數學解題基本方法 ……………………… 3 一、 配方法 ……………………………………… 3 二、 換元法 ……………………………………… 7 三、 待定系數法 ………………………………… 14 四、 定義法 ……………………………………… 19 五、 數學歸納法 ………………………………… 23 六、 參數法 ……………………………………… 28 七、 反證法 ……………………………………… 32 八、 消去法 ……………………………………… 九、 分析與綜合法 ……………………………… 十、 特殊與一般法 ……………………………… 十一、 類比與歸納法 ………………………… 十二、 觀察與實驗法 ………………………… 第二章 高中數學常用的數學思想 …………………… 35 一、 數形結合思想 ……………………………… 35 二、 分類討論思想 ……………………………… 41 三、 函數與方程思想 …………………………… 47 四、 轉化（化歸）思想 ………………………… 54 第三章 高考熱點問題和解題策略 …………………… 59 一、 應用問題 …………………………………… 59 二、 探索性問題 ………………………………… 65 三、 選擇題解答策略 …………………………… 71 四、 填空題解答策略 …………………………… 77 附錄 ……………………………………………………… 一、 高考數學試卷分析 ………………………… 二、 兩套高考模擬試卷 ………………………… 三、 參考答案 …………………………………… 前 言 美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題。而當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數學思想、數學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數學思想方法。我們要有意識地應用數學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數學素質，使自己具有數學頭腦和眼光。 高考試題主要從以下幾個方面對數學思想方法進行考查： ① 常用數學方法：配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法、參數法、消去法等； ② 數學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等； ③ 數學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； ④ 常用數學思想：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想等。 數學思想方法與數學基礎知識相比較，它有較高的地位和層次。數學知識是數學內容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數學思想方法則是一種數學意識，只能夠領會和運用，屬于思維的范疇，用以對數學問題的認識、處理和解決，掌握數學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數學知識忘記了，數學思想方法也還是對你起作用。 數學思想方法中，數學基本方法是數學思想的體現，是數學的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數學思想是數學的靈魂，它與數學基本方法常常在學習、掌握數學知識的同時獲得。 可以說，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數學素質的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用，數學素質的綜合體現就是“能力”。 為了幫助學生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數學基本方法：配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法、參數法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數學思想：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想。最后談談解題中的有關策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。 在每節(jié)的內容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現。再現性題組是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現，示范性題組進行詳細的解答和分析，對方法和問題進行示范。鞏固性題組旨在檢查學習的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習題的選取，又盡量綜合到代數、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數學知識。 編者：東升高中 高建彪 fggjb@163.net 0760-2298253 第一章 高中數學解題基本方法 一、 配方法 配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。 最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。 配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如： a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab； a ＋ab＋b ＝(a＋b) －ab＝(a－b) ＋3ab＝(a＋ ) ＋（ b） ； a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ [(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ] a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) －2(ab－bc－ca)＝… 結合其它數學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ； x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再現性題組： 1. 在正項等比數列{a }中，a sa +2a sa +a ?a =25，則 a ＋a ＝_______。 2. 方程x ＋y －4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。 A. 1 C. k∈R D. k＝ 或k＝1 3. 已知sin α＋cos α＝1，則sinα＋cosα的值為______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函數y＝log (－2x ＋5x＋3)的單調遞增區(qū)間是_____。 A. （－∞, ] B. [ ,+∞) C. (－ , ] D. [ ,3) 5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的兩根x 、x ，則點P(x ,x )在圓x +y =4上，則實數a＝_____。 【簡解】 1小題：利用等比數列性質a a ＝a ，將已知等式左邊后配方（a ＋a ） 易求。答案是：5。 2小題：配方成圓的標準方程形式(x－a) ＋(y－b) ＝r ，解r >0即可，選B。 3小題：已知等式經配方成(sin α＋cos α) －2sin αcos α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。 4小題：配方后得到對稱軸，結合定義域和對數函數及復合函數的單調性求解。選D。 5小題：答案3－ 。 Ⅱ、示范性題組： 例1. 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_____。 A. 2 B. C. 5 D. 6 【分析】 先轉換為數學表達式：設長方體長寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對角線長 ，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。 【解】設長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得： 。 長方體所求對角線長為： ＝ ＝ ＝5 所以選B。 【注】本題解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉換為三個數學表示式，觀察和分析三個數學式，容易發(fā)現使用配方法將三個數學式進行聯系，即聯系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。 例2. 設方程x ＋kx＋2=0的兩實根為p、q，若( ) +( ) ≤7成立，求實數k的取值范圍。 【解】方程x ＋kx＋2=0的兩實根為p、q，由韋達定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , ( ) +( ) ＝ ＝ ＝ ＝ ≤7， 解得k≤－ 或k≥ 。 又 ∵p、q為方程x ＋kx＋2=0的兩實根， ∴ △＝k －8≥0即k≥2 或k≤－2 綜合起來，k的取值范圍是：－ ≤k≤－ 或者 ≤k≤ 。 【注】 關于實系數一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時，可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結構特征聯想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對“△”討論，結果將出錯，即使有些題目可能結果相同，去掉對“△”的討論，但解答是不嚴密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。 例3. 設非零復數a、b滿足a ＋ab＋b =0，求( ) ＋( ) 。 【分析】 對已知式可以聯想：變形為( ) ＋( )＋1＝0，則 ＝ω （ω為1的立方虛根）；或配方為(a＋b) ＝ab 。則代入所求式即得。 【解】由a ＋ab＋b =0變形得：( ) ＋( )＋1＝0 ， 設ω＝ ，則ω ＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以： ＝ ，ω ＝ ＝1。 又由a ＋ab＋b =0變形得：(a＋b) ＝ab ， 所以 ( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝ω ＋ ＝2 。 【注】 本題通過配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質，計算表達式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯想和展開。 【另解】由a ＋ab＋b ＝0變形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，解出 ＝ 后，化成三角形式，代入所求表達式的變形式( ) ＋( ) 后，完成后面的運算。此方法用于只是未 聯想到ω時進行解題。 假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a ＋ab＋b ＝0解出：a＝ b，直接代入所求表達式，進行分式化簡后，化成復數的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計算。 Ⅲ、鞏固性題組： 1. 函數y＝(x－a) ＋(x－b) （a、b為常數）的最小值為_____。 A. 8 B. C. D.最小值不存在 2. α、β是方程x －2ax＋a＋6＝0的兩實根，則(α-1) +(β-1) 的最小值是_____。 A. － B. 8 C. 18 D.不存在 3. 已知x、y∈R ，且滿足x＋3y－1＝0，則函數t＝2 ＋8 有_____。 A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值 4. 橢圓x －2ax＋3y ＋a －6＝0的一個焦點在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。 A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6 5. 化簡：2 ＋ 的結果是_____。 A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 設F 和F 為雙曲線 －y ＝1的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足∠F PF ＝90，則△F PF 的面積是_________。 7. 若x>－1，則f(x)＝x ＋2x＋ 的最小值為___________。 8. 已知 〈β<α〈 π，cos(α-β)＝ ，sin(α+β)＝－ ，求sin2α的值。(92年高考題) 9. 設二次函數f(x)＝Ax ＋Bx＋C，給定m、n（m0； ② 是否存在一個實數t，使當t∈(m+t,n-t)時，f(x)<0 ？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值范圍。 10. 設s>1，t>1，m∈R，x＝log t＋log s，y＝log t＋log s＋m(log t＋log s), ① 將y表示為x的函數y＝f(x)，并求出f(x)的定義域； ② 若關于x的方程f(x)＝0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。 二、換元法 解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。 換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟碗s的計算和推證簡化。 它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。 換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先變形為設2 ＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖捣匠痰膯栴}。 三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯系進行換元。如求函數y＝ ＋ 的值域時，易發(fā)現x∈[0,1]，設x＝sin α ，α∈[0, ]，問題變成了熟悉的求三角函數值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發(fā)現值域的聯系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x ＋y ＝r （r>0）時，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。 均值換元，如遇到x＋y＝S形式時，設x＝ ＋t，y＝ －t等等。 我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和α∈[0, ]。 Ⅰ、再現性題組： 1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.設f(x ＋1)＝log (4－x ) （a>1），則f(x)的值域是_______________。 3.已知數列{a }中，a ＝－1，a ?a ＝a －a ，則數列通項a ＝___________。 4.設實數x、y滿足x ＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。 5.方程 ＝3的解是_______________。 6.不等式log (2 －1) ?log (2 －2)〈2的解集是_______________。 【簡解】1小題：設sinx+cosx＝t∈[－ , ]，則y＝ ＋t－ ，對稱軸t＝－1，當t＝ ，y ＝ ＋ ； 2小題：設x ＋1＝t (t≥1)，則f(t)＝log [-(t-1) ＋4]，所以值域為(－∞,log 4]； 3小題：已知變形為 － ＝－1,設b ＝ ，則b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ； 4小題：設x＋y＝k，則x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1； 5小題：設3 ＝y(tǒng)，則3y ＋2y－1＝0,解得y＝ ，所以x＝－1； 6小題：設log (2 －1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)<2，解得－20，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx?cosx－2a 的最大值和最小值。 【解】 設sinx＋cosx＝t，則t∈[- , ]，由(sinx＋cosx) ＝1＋2sinx?cosx得：sinx?cosx＝ ∴ f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋ （a>0），t∈[- , ] t＝- 時，取最小值：－2a －2 a－ 當2a≥ 時，t＝ ，取最大值：－2a ＋2 a－ ； 當0<2a≤ 時，t＝2a，取最大值： 。 ∴ f(x)的最小值為－2a －2 a－ ，最大值為 。 【注】 此題屬于局部換元法，設sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx與sinx?cosx的內在聯系，將三角函數的值域問題轉化為二次函數在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數的范圍（t∈[- , ]）與sinx＋cosx對應，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數學思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關系而確定參數分兩種情況進行討論。 一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函數為f(sinxcosx，sinxcsox)，經常用到這樣設元的換元法，轉化為在閉區(qū)間上的二次函數或一次函數的研究。 例4. 設對所于有實數x，不等式x log ＋2x log ＋log >0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理） 【分析】不等式中l(wèi)og 、 log 、log 三項有何聯系？進行對數式的有關變形后不難發(fā)現，再實施換元法。 【解】 設log ＝t，則log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t，log ＝2log ＝－2t， 代入后原不等式簡化為（3－t）x ＋2tx－2t>0，它對一切實數x恒成立，所以： ，解得 ∴ t<0即log <0 0< <1，解得00恒成立，求k的范圍。 【分析】由已知條件 ＋ ＝1，可以發(fā)現它與a ＋b ＝1有相似之處，于是實施三角換元。 【解】由 ＋ ＝1，設 ＝cosθ， ＝sinθ， 即： 代入不等式x＋y－k>0得： 3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5時不等式恒成立。 【注】本題進行三角換元，將代數問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三角不等式恒成立的問題，再運用“分離參數法”轉化為三角函數的值域問題，從而求出參數范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關問題時，經常使用“三角換元法”。 y x x＋y－k>0 k 平面區(qū)域 本題另一種解題思路是使用數形結合法的思想方法：在平面直角坐標系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的區(qū)域為直線ax＋by＋c＝0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上x＋y－k>0的區(qū)域。即當直線x＋y－k＝0在與橢圓下部相切的切線之下時。當直線與橢圓相切時，方程組 有相等的一組實數解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3時原不等式恒成立。 Ⅲ、鞏固性題組： 1. 已知f(x )＝lgx (x>0)，則f(4)的值為_____。 A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4 2. 函數y＝(x＋1) ＋2的單調增區(qū)間是______。 A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1] 3. 設等差數列{a }的公差d＝ ，且S ＝145，則a ＋a ＋a ＋……＋a 的值為_____。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x ＋4y ＝4x，則x＋y的范圍是_________________。 5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，則 ＋ 的范圍是____________。 6. 不等式 >ax＋ 的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。 7. 函數y＝2x＋ 的值域是________________。 8. 在等比數列{a }中，a ＋a ＋…＋a ＝2，a ＋a ＋…＋a ＝12，求a ＋a ＋…＋a 。 y D C A B O x 9. 實數m在什么范圍內取值，對任意實數x，不等式sin x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。 10. 已知矩形ABCD，頂點C(4,4)，A點在曲線x ＋y ＝2 (x>0,y>0)上移動，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。 三、待定系數法 要確定變量間的函數關系，設出某些未知系數，然后根據所給條件來確定這些未知系數的方法叫待定系數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x) g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a) g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。 待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解。 使用待定系數法，它解題的基本步驟是： 第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式； 第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程； 第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。 如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析： ① 利用對應系數相等列方程； ② 由恒等的概念用數值代入法列方程； ③ 利用定義本身的屬性列方程； ④ 利用幾何條件列方程。 比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數；再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數，并把求出的系數代入已經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。 Ⅰ、再現性題組： 1. 設f(x)＝ ＋m，f(x)的反函數f (x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。 A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2 2. 二次不等式ax ＋bx＋2>0的解集是(－ , )，則a＋b的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3. 在(1－x )（1＋x） 的展開式中，x 的系數是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4. 函數y＝a－bcos3x (b<0)的最大值為 ，最小值為－ ，則y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。 5. 與直線L：2x＋3y＋5＝0平行且過點A(1,-4)的直線L’的方程是_______________。 6. 與雙曲線x － ＝1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是____________。 【簡解】1小題：由f(x)＝ ＋m求出f (x)＝2x－2m，比較系數易求，選C； 2小題：由不等式解集(－ , )，可知－ 、 是方程ax ＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關于系數a、b的方程組，易求得a＋b，選D； 3小題：分析x 的系數由C 與(－1)C 兩項組成，相加后得x 的系數，選D； 4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案 ； 5小題：設直線L’方程2x＋3y＋c＝0，點A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0； 6小題：設雙曲線方程x － ＝λ，點(2,2)代入求得λ＝3，即得方程 － ＝1。 Ⅱ、示范性題組： 例1. 已知函數y＝ 的最大值為7，最小值為－1，求此函數式。 【分析】求函數的表達式，實際上就是確定系數m、n的值；已知最大值、最小值實際是就是已知函數的值域，對分子或分母為二次函數的分式函數的值域易聯想到“判別式法”。 【解】 函數式變形為： (y－m)x －4 x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0 ∴ △＝(－4 ) －4(y－m)(y－n)≥0 即： y －(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集為(-1,7)，則－1、7是方程y －(m＋n)y＋(mn－12)＝0的兩根， 代入兩根得： 解得： 或 ∴ y＝ 或者y＝ 此題也可由解集(-1,7)而設(y＋1)(y－7)≤0,即y －6y－7≤0，然后與不等式①比較系數而得： ，解出m、n而求得函數式y(tǒng)。 【注】 在所求函數式中有兩個系數m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數值域問題，得到了含參數m、n的關于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數值域的“判別式法”：將y視為參數，函數式化成含參數y的關于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關于參數y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關鍵是否可以將函數化成一個一元二次方程。 例2. 設橢圓中心在(2,-1)，它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點距離是 － ，求橢圓的方程。 y B’ x A F O’ F’ A’ B 【分析】求橢圓方程，根據所給條件，確定幾何數據a、b、c之值，問題就全部解決了。設a、b、c后，由已知垂直關系而聯想到勾股定理建立一個方程，再將焦點與長軸較近端點的距離轉化為a－c的值后列出第二個方程。 【解】 設橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF’|＝a ∴ 解得： ∴ 所求橢圓方程是： ＋ ＝1 也可有垂直關系推證出等腰Rt△BB’F’后，由其性質推證出等腰Rt△B’O’F’，再進行如下列式： ，更容易求出a、b的值。 【注】 圓錐曲線中，參數（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數法的生動體現；如何確定，要抓住已知條件，將其轉換成表達式。在曲線的平移中，幾何數據（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關于a－c的等式。 一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數法，基本步驟是：設方程（或幾何數據）→幾何條件轉換成方程→求解→已知系數代入。 例3. 是否存在常數a、b、c，使得等式1?2 ＋2?3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)對一切自然數n都成立？并證明你的結論。 （89年全國高考題） 【分析】是否存在，不妨假設存在。由已知等式對一切自然數n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出關于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數學歸納法證明等式對所有自然數n都成立。 【解】假設存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝ (a＋b＋c)；n＝2，得22＝ (4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得： ,解得 ， 于是對n＝1、2、3，等式1?2 ＋2?3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (3n ＋11n＋10)成立，下面用數學歸納法證明對任意自然數n，該等式都成立： 假設對n＝k時等式成立，即1?2 ＋2?3 ＋…＋k(k＋1) ＝ (3k ＋11k＋10)； 當n＝k＋1時，1?2 ＋2?3 ＋…＋k(k＋1) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ (3k ＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ (k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2) ＝ （3k ＋5k＋12k＋24）＝ [3(k＋1) ＋11(k＋1)＋10]， 也就是說，等式對n＝k＋1也成立。 綜上所述，當a＝8、b＝11、c＝10時，題設的等式對一切自然數n都成立。 【注】建立關于待定系數的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數時，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進行。本題如果記得兩個特殊數列1 ＋2 ＋…＋n 、1 ＋2 ＋…＋n 求和的公式，也可以抓住通項的拆開，運用數列求和公式而直接求解：由n(n＋1) ＝n ＋2n ＋n得S ＝1?2 ＋2?3 ＋…＋n(n＋1) ＝(1 ＋2 ＋…＋n )＋2(1 ＋2 ＋…＋n )＋(1＋2＋…＋n)＝ ＋2 ＋ ＝ (3n ＋11n＋10)，綜上所述，當a＝8、b＝11、c＝10時，題設的等式對一切自然數n都成立。 例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？ 【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標函數，將實際問題轉化為函數最大值和最小值的研究。 【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長為(30－2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為xcm。 ∴ 盒子容積 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 顯然:15－x>0，7－x>0，x>0。 設V＝ (15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） 要使用均值不等式，則 解得：a＝ ， b＝ ， x＝3 。 從而V＝ ( － )( － x)x≤ ( ) ＝ 27＝576。 所以當x＝3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm 。 【注】均值不等式應用時要注意等號成立的條件，當條件不滿足時要湊配系數，可以用“待定系數法”求。本題解答中也可以令V＝ (15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進行湊配的系數，本題也體現了“湊配法”和“函數思想”。 Ⅲ、鞏固性題組： 1. 函數y＝log x的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，則a的取值范圍是_____。 A. 2>a> 且a≠1 B. 02或01 C. a>0 D. a<－1或a>1 4. 橢圓 ＋ ＝1上有一點P，它到左準線的距離為 ，那么P點到右焦點的距離為_____。 A. 8 C. 7.5 C. D. 3 5. 奇函數f(x)的最小正周期為T，則f(－ )的值為_____。 A. T B. 0 C. D. 不能確定 6. 正三棱臺的側棱與底面成45角，則其側面與底面所成角的正切值為_____。 【簡解】1小題：利用并集定義，選B； 2小題：利用三角函數線定義，作出圖形，選B； 3小題：利用復數模的定義得 < ，選A； 4小題：利用橢圓的第二定義得到 ＝e＝ ，選A； 5小題：利用周期函數、奇函數的定義得到f(－ )＝f( )＝－f(－ )，選B； 6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。 Ⅱ、示范性題組： 例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 設w＝z ＋3 －4，求w的三角形式； ② 如果 ＝1－ｉ，求實數a、b的值。（94年全國理） 【分析】代入z進行運算化簡后，運用復數三角形式和復數相等的定義解答。 【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z ＋3 －4＝(1＋ｉ) ＋3 －4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是 （cos ＋ｉsin ）； 由z＝1＋ｉ，有 ＝ ＝ ＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。 由題設條件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； 根據復數相等的定義，得： ， 解得 。 【注】求復數的三角形式，一般直接利用復數的三角形式定義求解。利用復數相等的定義，由實部、虛部分別相等而建立方程組，這是復數中經常遇到的。 例2. 已知f(x)＝－x ＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log f(x)的定義域，判定在( ,1)上的單調性。 【分析】要判斷函數的單調性，必須首先確定n與c的值求出函數的解析式，再利用函數的單調性定義判斷。 【解】 解得： ∴ f(x)＝－x ＋x 解f(x)>0得：0 ， x +x > ∴ (x +x )( x +x )〉 ＝1 ∴ f(x )－f(x )>0即f(x)在( ,1)上是減函數 ∵ <1 ∴ y＝log f(x) 在( ,1)上是增函數。 A’ A D C’ C O H B’ B 【注】關于函數的性質：奇偶性、單調性、周期性的判斷，一般都是直接應用定義解題。本題還在求n、c的過程中，運用了待定系數法和換元法。 例3. 如圖，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中點。 ① 證明：AB’∥平面DBC’； ② 假設AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度數。（94年全國理） 【分析】 由線面平行的定義來證①問，即通過證AB’平行平面DBC’內的一條直線而得；由二面角的平面角的定義作出平面角，通過解三角形而求②問。 【解】 ① 連接B’C交BC’于O, 連接OD ∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四邊形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中點 △AB’C中， D是AC中點 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’ ② 作DH⊥BC于H，連接OH ∴ DH⊥平面BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH為所求二面角的平面角。 設AC＝1，作OE⊥BC于E，則DH＝ sin60＝ ，BH＝ ，EH＝ ； Rt△BOH中，OH ＝BHEH＝ ， ∴ OH＝ ＝DH ∴∠DOH＝45，即二面角D—BC’—C的度數為45。 【注】對于二面角D—BC’—C的平面角，容易誤認為∠DOC即所求。利用二面角的平面角定義，兩邊垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH，再證得垂直于棱的垂線DO，最后連接兩個垂足OH，則∠DOH即為所求，其依據是三垂線定理。本題還要求解三角形十分熟練，在Rt△BOH中運用射影定理求OH的長是計算的關鍵。 此題文科考生的第二問為：假設AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在側面BB’C’C的 射影長。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義，先作平面的垂線，連接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，連接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以 ＝ ＝ ，EF＝ B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’EEF＝BE 即 B’E ＝1，所以B’E＝ 。 y M F A x 例4. 求過定點M(1,2)，以x軸為準線，離心率為 的橢圓的下頂點的軌跡方程。 【分析】運動的橢圓過定點M，準線固定為x軸，所以M到準線距離為2。抓住圓錐曲線的統(tǒng)一性定義，可以得到 ＝ 建立一個方程，再由離心率的定義建立一個方程。 【解】設A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，則橢圓上定點M到準線距離為2，下頂點A到準線距離為y。根據橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到： ，消m得：（x－1） ＋ ＝1， 所以橢圓下頂點的軌跡方程為（x－1） ＋ ＝1。 【注】求曲線的軌跡方程，按照求曲線軌跡方程的步驟，設曲線上動點所滿足的條件，根據條件列出動點所滿足的關系式，進行化簡即可得到。本題還引入了一個參數m,列出的是所滿足的方程組，消去參數m就得到了動點坐標所滿足的方程，即所求曲線的軌跡方程。在建立方程組時，巧妙地運用了橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義。一般地，圓錐曲線的點、焦點、準線、離心率等問題，常用定義法解決；求圓錐曲線的方程，也總是利用圓錐曲線的定義求解，但要注意橢圓、雙曲線、拋物線的兩個定義的恰當選用。 Ⅲ、鞏固性題組： 1． 函數y＝f(x)＝a ＋k的圖像過點(1,7)，它的反函數的圖像過點(4,0)，則f(x)的表達式是___。 2. 過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影分別為A 、B ,則∠A FB 等于_____。 A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|x A}，則下列關系正確的是_____。 A. A B B. A B C. A∈B D. A B 4. 雙曲線3x －y ＝3的漸近線方程是_____。 A. y＝3x B. y＝ x C. y＝ x D. y＝ x 5. 已知定義在R上的非零函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則f(x)是_____。 A.奇函數 B.偶函數 C.非奇非偶函數 D.既奇既偶函數 6. C ＋C ＝________。 7. Z＝4(sin140－ｉcos140)，則復數 的輻角主值是__________。 8. 不等式ax ＋bx＋c>0的解集是(1,2)，則不等式bx ＋cx＋a<0解集是__________。 9. 已知數列{a }是等差數列，求證數列{b }也是等差數列，其中b ＝ (a ＋a ＋…＋a )。 10. 已知F 、F 是橢圓 ＋ ＝1 (a>b>0)的兩個焦點，其中F 與拋物線y ＝12x的焦點重合，M是兩曲線的一個焦點，且有cos∠M F F ?cos∠MF F ＝ ，求橢圓方程。 五、數學歸納法 歸納是一種有