《第五講 全等三角形與角平分線(xiàn)(綜合、拔高)》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《第五講 全等三角形與角平分線(xiàn)(綜合、拔高)（52頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第 1 頁(yè) 共 52 頁(yè) 第五講 全等三角形與角平分線(xiàn) 綜合與拔高 一 選擇題 共 10 小題 1 如圖四邊形 ABCD 中 AD BC BCD 90 AB BC AD DAC 45 E 為 CD 上一點(diǎn) 且 BAE 45 若 CD 4 則 ABE 的面積為 A B C D 2 如圖 點(diǎn) P 為定角 AOB 的平分線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn) 且 MPN 與 AOB 互補(bǔ) 若 MPN 在繞點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中 其兩邊分別與 OA OB 相交于 M N 兩點(diǎn) 則以下結(jié)論 1 PM PN 恒成立 2 OM ON 的值不變 3 四邊形 PMON 的面積不變 4 MN 的長(zhǎng)不變 其中正確的個(gè)數(shù)為 A 4 B 3 C 2 D 1 3 如圖 在 Rt ABC 中 C 90 以頂點(diǎn) A 為圓心 適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 分 別交 AC AB 于點(diǎn) M N 再分別以點(diǎn) M N 為圓心 大于 MN 的長(zhǎng)為半徑畫(huà) 弧 兩弧交于點(diǎn) P 作射線(xiàn) AP 交邊 BC 于點(diǎn) D 若 CD 4 AB 15 則 ABD 的 面積是 A 15 B 30 C 45 D 60 4 如圖 AD 是 ABC 中 BAC 的角平分線(xiàn) DE AB 于點(diǎn) E S 第 2 頁(yè) 共 52 頁(yè) ABC 7 DE 2 AB 4 則 AC 長(zhǎng)是 A 3 B 4 C 6 D 5 5 如圖 在 ABC 中 ABC 50 ACB 60 點(diǎn) E 在 BC 的延長(zhǎng)線(xiàn)上 ABC 的平分線(xiàn) BD 與 ACE 的平分線(xiàn) CD 相交于點(diǎn) D 連接 AD 下列結(jié)論中不 正確的是 A BAC 70 B DOC 90 C BDC 35 D DAC 55 6 如圖 在 ABC 中 C 90 AC BC 4 D 是 AB 的中點(diǎn) 點(diǎn) E F 分別在 AC BC 邊上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn) E 不與點(diǎn) A C 重合 且保持 AE CF 連接 DE DF EF 在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中 有下列結(jié)論 DFE 是等腰直角三角形 四邊形 CEDF 不可能為正方形 四邊形 CEDF 的面積隨點(diǎn) E 位置的改變而發(fā)生變化 點(diǎn) C 到線(xiàn)段 EF 的最大距離為 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè) 7 如圖 OP 平分 AOB PA OA PB OB 垂足分別為 A B 下列結(jié)論中 不一定成立的是 第 3 頁(yè) 共 52 頁(yè) A PA PB B PO 平分 APB C OA OB D AB 垂直平分 OP 8 如圖 直線(xiàn) l1 l 2 l 3 表示三條相互交叉的公路 現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站 要求它到三條公路的距離相等 則供選擇的地址有 A 1 處 B 2 處 C 3 處 D 4 處 9 如圖 在 ABC 中 AQ PQ PR PS PR AB 于 R PS AC 于 S 則三個(gè)結(jié) 論 AS AR QP AR BPR QSP 中 A 全部正確 B 僅 和 正確 C 僅 正確 D 僅 和 正確 10 如圖 AOB 30 OP 平分 AOB PC OB PD OB 如果 PC 6 那么 PD 等于 A 4 B 3 C 2 D 1 二 填空題 共 10 小題 11 如圖 已知 ABE ACF E F 90 CMD 70 則 2 第 4 頁(yè) 共 52 頁(yè) 度 12 已知 ABC 中 AB BC AC 作與 ABC 只有一條公共邊 且與 ABC 全等 的三角形 這樣的三角形一共能作出 個(gè) 13 AB 是四邊形 ACBE 的對(duì)角線(xiàn) AB AC 過(guò)點(diǎn) C 作 CD AE 交 BE 于 D 若 AE DE ACD 45 BD 1 CD 5 則 AE 14 如圖 四邊形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn) AC BD 相交于點(diǎn) O ABO ADO 下列 結(jié)論 AC BD CB CD ABC ADC DA DC 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 15 如圖 AB 12 CA AB 于 A DB AB 于 B 且 AC 4m P 點(diǎn)從 B 向 A 運(yùn)動(dòng) 每分鐘走 1m Q 點(diǎn)從 B 向 D 運(yùn)動(dòng) 每分鐘走 2m P Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā) 運(yùn)動(dòng) 分鐘后 CAP 與 PQB 全等 第 5 頁(yè) 共 52 頁(yè) 16 如圖 ABC 中 C 90 CA CB 點(diǎn) M 在線(xiàn)段 AB 上 GMB A BG MG 垂足為 G MG 與 BC 相交于點(diǎn) H 若 MH 8cm 則 BG cm 17 如圖 已知在 ABC 中 A 90 AB AC CD 平分 ACB DE BC 于 E 若 BC 15cm 則 DEB 的周長(zhǎng)為 cm 18 在 Rt ABC 中 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 15 且 BD DC 3 2 則 D 到邊 AB 的距離是 19 如圖 已知 Rt ABC Rt DEC 連結(jié) AD 若 1 20 則 B 的度數(shù)是 第 6 頁(yè) 共 52 頁(yè) 20 如圖 ABC 中 ACB 90 AC 6cm BC 8cm 點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)沿 A C 路徑向終點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng) 點(diǎn) Q 從 B 點(diǎn)出發(fā)沿 B C A 路徑向終點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng) 點(diǎn) P 和 Q 分 別以每秒 1cm 和 3cm 的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng) 其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也 停止運(yùn)動(dòng) 在某時(shí)刻 分別過(guò) P 和 Q 作 PE l 于 E QF l 于 F 則點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)時(shí) 間為 時(shí) PEC 與 QFC 全等 三 解答題 共 15 小題 21 如圖 在 ABC 中 AC BC ACB 90 點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn) 點(diǎn) E 是 AB 邊 上一點(diǎn) 1 直線(xiàn) BF 垂直于 CE 于點(diǎn) F 交 CD 于點(diǎn) G 如圖 l 求證 AE CG 2 直線(xiàn) AH 垂直于 CE 垂足為 H 交 CD 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) M 如圖 2 找出圖 中與 BE 相等的線(xiàn)段 不需要添加輔助線(xiàn) 并說(shuō)明理由 22 如圖 已知 ABC 中 AB AC 10cm BC 8cm 點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn) 如果點(diǎn) P 在線(xiàn)段 BC 上以 3cm s 的速度由點(diǎn) B 向 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 同時(shí) 點(diǎn) Q 在線(xiàn)段 CA 上由 點(diǎn) C 向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 1 若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度相等 經(jīng)過(guò) 1 秒后 BPD 與 CQP 是否全等 請(qǐng)說(shuō)明理由 2 若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度不相等 當(dāng)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為多少 時(shí) 能夠使 BPD 與 CQP 全等 第 7 頁(yè) 共 52 頁(yè) 23 已知 ABC 點(diǎn) D F 分別為線(xiàn)段 AC AB 上兩點(diǎn) 連接 BD CF 交于點(diǎn) E 1 若 BD AC CF AB 如圖 1 所示 試說(shuō)明 BAC BEC 180 2 若 BD 平分 ABC CF 平分 ACB 如圖 2 所示 試說(shuō)明此時(shí) BAC 與 BEC 的數(shù)量關(guān)系 3 在 2 的條件下 若 BAC 60 試說(shuō)明 EF ED 24 如圖 四邊形 ABCD 中 B 90 AB CD M 為 BC 邊上的一點(diǎn) 且 AM 平分 BAD DM 平分 ADC 求證 1 AM DM 2 M 為 BC 的中點(diǎn) 25 如圖 已知 1 2 P 為 BN 上的一點(diǎn) PF BC 于 F PA PC 求證 PCB BAP 180 第 8 頁(yè) 共 52 頁(yè) 26 如圖 1 OA 2 OB 4 以 A 點(diǎn)為頂點(diǎn) AB 為腰在第三象限作等腰 Rt ABC 1 求 C 點(diǎn)的坐標(biāo) 2 如圖 2 P 為 y 軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 當(dāng) P 點(diǎn)向 y 軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí) 以 P 為頂點(diǎn) PA 為腰作等腰 Rt APD 過(guò) D 作 DE x 軸于 E 點(diǎn) 求 OP DE 的 值 27 如圖 1 ABC 的邊 BC 在直線(xiàn) l 上 AC BC 且 AC BC EFP 的邊 FP 也 在直線(xiàn) l 上 邊 EF 與邊 AC 重合 且 EF FP 1 示例 在圖 1 中 通過(guò)觀察 測(cè)量 猜想并寫(xiě)出 AB 與 AP 所滿(mǎn)足的數(shù)量 關(guān)系和位置關(guān)系 答 AB 與 AP 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是 2 將 EFP 沿直線(xiàn) l 向左平移到圖 2 的位置時(shí) EP 交 AC 于點(diǎn) Q 連結(jié) AP BQ 請(qǐng)你觀察 測(cè)量 猜想并寫(xiě)出 BQ 與 AP 所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān) 系 答 BQ 與 AP 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是 3 將 EFP 沿直線(xiàn) l 向左平移到圖 3 的位置時(shí) EP 的延長(zhǎng)線(xiàn)交 AC 的延長(zhǎng)線(xiàn) 于點(diǎn) Q 連結(jié) AP BQ 你認(rèn)為 2 中所猜想的 BQ 與 AP 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān) 系還成立嗎 若成立 給出證明 若不成立 請(qǐng)說(shuō)明理由 第 9 頁(yè) 共 52 頁(yè) 28 如圖 ABC 90 D E 分別在 BC AC 上 AD DE 且 AD DE 點(diǎn) F 是 AE 的中點(diǎn) FD 與 AB 相交于點(diǎn) M 1 求證 FMC FCM 2 AD 與 MC 垂直嗎 并說(shuō)明理由 29 如圖 ABC 中 BAC 90 AB AC AD BC 垂足是 D AE 平分 BAD 交 BC 于點(diǎn) E 在 ABC 外有一點(diǎn) F 使 FA AE FC BC 1 求證 BE CF 2 在 AB 上取一點(diǎn) M 使 BM 2DE 連接 MC 交 AD 于點(diǎn) N 連接 ME 求證 ME BC DE DN 30 問(wèn)題背景 如圖 1 在四邊形 ABCD 中 AB AD BAD 120 B ADC 90 E F 分別 是 BC CD 上的點(diǎn) 且 EAF 60 探究圖中線(xiàn)段 BE EF FD 之間的數(shù)量關(guān) 系 小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是 延長(zhǎng) FD 到點(diǎn) G 使 DG BE 連結(jié) AG 先證明 ABE ADG 再證明 AEF AGF 可得出結(jié)論 他的結(jié)論應(yīng)是 第 10 頁(yè) 共 52 頁(yè) 探索延伸 如圖 2 若在四邊形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分別是 BC CD 上 的點(diǎn) 且 EAF BAD 上述結(jié)論是否仍然成立 并說(shuō)明理由 實(shí)際應(yīng)用 如圖 3 在某次軍事演習(xí)中 艦艇甲在指揮中心 O 處 北偏西 30 的 A 處 艦 艇乙在指揮中心南偏東 70 的 B 處 并且兩艦艇到指揮中心的距離相等 接到 行動(dòng)指令后 艦艇甲向正東方向以 60 海里 小時(shí)的速度前進(jìn) 艦艇乙沿北偏東 50 的方向以 80 海里 小時(shí)的速度前進(jìn) 1 5 小時(shí)后 指揮中心觀測(cè)到甲 乙兩艦 艇分別到達(dá) E F 處 且兩艦艇之間的夾角為 70 試求此時(shí)兩艦艇之間的距 離 31 如圖 在 ABC 中 ACB 90 AC BC E 為 AC 邊的中點(diǎn) 過(guò)點(diǎn) A 作 AD AB 交 BE 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) D CG 平分 ACB 交 BD 于點(diǎn) G F 為 AB 邊上一點(diǎn) 連接 CF 且 ACF CBG 求證 1 AF CG 2 CF 2DE 32 如圖 點(diǎn) E 是 AOB 的平分線(xiàn)上一點(diǎn) EC OA ED OB 垂足分別為 C D 求證 1 ECD EDC 2 OC OD 3 OE 是線(xiàn)段 CD 的垂直平分線(xiàn) 第 11 頁(yè) 共 52 頁(yè) 33 如圖 ABC 中 AD 平分 BAC DG BC 且平分 BC DE AB 于 E DF AC 于 F 1 說(shuō)明 BE CF 的理由 2 如果 AB 5 AC 3 求 AE BE 的長(zhǎng) 34 四邊形 ABCD 中 AC 平分 BAD CE AB 于 E ADC B 180 求證 2AE AB AD 35 如圖 1 將兩個(gè)完全相同的三角形紙片 ABC 和 DEC 重合放置 其中 C 90 B E 30 1 操作發(fā)現(xiàn) 如圖 2 固定 ABC 使 DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn) 當(dāng)點(diǎn) D 恰好落在 AB 邊上時(shí) 填空 線(xiàn)段 DE 與 AC 的位置關(guān)系是 設(shè) BDC 的面積為 S1 AEC 的面積為 S2 則 S1 與 S2 的數(shù)量關(guān)系是 2 猜想論證 第 12 頁(yè) 共 52 頁(yè) 當(dāng) DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到如圖 3 所示的位置時(shí) 小明猜想 1 中 S1 與 S2 的數(shù)量 關(guān)系仍然成立 并嘗試分別作出了 BDC 和 AEC 中 BC CE 邊上的高 請(qǐng)你證 明小明的猜想 3 拓展探究 已知 ABC 60 點(diǎn) D 是角平分線(xiàn)上一點(diǎn) BD CD 4 DE AB 交 BC 于點(diǎn) E 如 圖 4 若在射線(xiàn) BA 上存在點(diǎn) F 使 S DCF S BDE 請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的 BF 的長(zhǎng) 參考答案與試題解析 一 選擇題 共 10 小題 1 如圖四邊形 ABCD 中 AD BC BCD 90 AB BC AD DAC 45 E 為 CD 上一點(diǎn) 且 BAE 45 若 CD 4 則 ABE 的面積為 A B C D 解答 解 如圖取 CD 的中點(diǎn) F 連接 BF 延長(zhǎng) BF 交 AD 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 G 作 第 13 頁(yè) 共 52 頁(yè) FH AB 于 H EK AB 于 K 作 BT AD 于 T BC AG BCF FDG BFC DFG FC DF BCF GDF BC DG BF FG AB BC AD AG AD DG AD BC AB AG BF FG BF AF ABF G CBF FH BA FC BC FH FC 易證 FBC FBH FAH FAD BC BH AD AH 由題意 AD DC 4 設(shè) BC TD BH x 在 Rt ABT 中 AB 2 BT2 AT2 x 4 2 42 4 x 2 x 1 BC BH TD 1 AB 5 設(shè) AK EK y DE z AE 2 AK2 EK2 AD2 DE2 BE 2 BK2 KE2 BC2 EC2 4 2 z2 2y2 5 y 2 y2 12 4 z 2 由 得到 25 10y 2y2 5 8z z2 代入 可得 z 第 14 頁(yè) 共 52 頁(yè) 代入 可得 y 負(fù)根已經(jīng)舍棄 S ABE 5 故選 D 2 如圖 點(diǎn) P 為定角 AOB 的平分線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn) 且 MPN 與 AOB 互補(bǔ) 若 MPN 在繞點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中 其兩邊分別與 OA OB 相交于 M N 兩點(diǎn) 則以下結(jié)論 1 PM PN 恒成立 2 OM ON 的值不變 3 四邊形 PMON 的面積不變 4 MN 的長(zhǎng)不變 其中正確的個(gè)數(shù)為 A 4 B 3 C 2 D 1 解答 解 如圖作 PE OA 于 E PF OB 于 F PEO PFO 90 EPF AOB 180 MPN AOB 180 EPF MPN EPM FPN OP 平分 AOB PE OA 于 E PF OB 于 F PE PF 在 POE 和 POF 中 POE POF 第 15 頁(yè) 共 52 頁(yè) OE OF 在 PEM 和 PFN 中 PEM PFN EM NF PM PN 故 1 正確 S PEM S PNF S 四邊形 PMON S 四邊形 PEOF 定值 故 3 正確 OM ON OE ME OF NF 2OE 定值 故 2 正確 MN 的長(zhǎng)度是變化的 故 4 錯(cuò)誤 故選 B 3 如圖 在 Rt ABC 中 C 90 以頂點(diǎn) A 為圓心 適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 分 別交 AC AB 于點(diǎn) M N 再分別以點(diǎn) M N 為圓心 大于 MN 的長(zhǎng)為半徑畫(huà) 弧 兩弧交于點(diǎn) P 作射線(xiàn) AP 交邊 BC 于點(diǎn) D 若 CD 4 AB 15 則 ABD 的 面積是 A 15 B 30 C 45 D 60 解答 解 由題意得 AP 是 BAC 的平分線(xiàn) 過(guò)點(diǎn) D 作 DE AB 于 E 又 C 90 DE CD ABD 的面積 AB DE 15 4 30 故選 B 第 16 頁(yè) 共 52 頁(yè) 4 如圖 AD 是 ABC 中 BAC 的角平分線(xiàn) DE AB 于點(diǎn) E S ABC 7 DE 2 AB 4 則 AC 長(zhǎng)是 A 3 B 4 C 6 D 5 解答 解 如圖 過(guò)點(diǎn) D 作 DF AC 于 F AD 是 ABC 中 BAC 的角平分線(xiàn) DE AB DE DF 由圖可知 S ABC S ABD S ACD 4 2 AC 2 7 解得 AC 3 故選 A 5 如圖 在 ABC 中 ABC 50 ACB 60 點(diǎn) E 在 BC 的延長(zhǎng)線(xiàn)上 ABC 的平分線(xiàn) BD 與 ACE 的平分線(xiàn) CD 相交于點(diǎn) D 連接 AD 下列結(jié)論中不 正確的是 A BAC 70 B DOC 90 C BDC 35 D DAC 55 解答 解 ABC 50 ACB 60 BAC 180 ABC ACB 180 50 60 70 故 A 選項(xiàng)正確 BD 平分 ABC 第 17 頁(yè) 共 52 頁(yè) ABO ABC 50 25 在 ABO 中 AOB 180 BAC ABO 180 70 25 85 DOC AOB 85 故 B 選項(xiàng)錯(cuò)誤 CD 平分 ACE ACD 180 60 60 BDC 180 85 60 35 故 C 選項(xiàng)正確 BD CD 分別是 ABC 和 ACE 的平分線(xiàn) AD 是 ABC 的外角平分線(xiàn) DAC 180 70 55 故 D 選項(xiàng)正確 故選 B 6 如圖 在 ABC 中 C 90 AC BC 4 D 是 AB 的中點(diǎn) 點(diǎn) E F 分別在 AC BC 邊上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn) E 不與點(diǎn) A C 重合 且保持 AE CF 連接 DE DF EF 在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中 有下列結(jié)論 DFE 是等腰直角三角形 四邊形 CEDF 不可能為正方形 四邊形 CEDF 的面積隨點(diǎn) E 位置的改變而發(fā)生變化 點(diǎn) C 到線(xiàn)段 EF 的最大距離為 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 第 18 頁(yè) 共 52 頁(yè) A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè) 解答 解 連接 CD ABC 是等腰直角三角形 DCB A 45 CD AD DB AE CF ADE CDF SAS ED DF CDF EDA ADE EDC 90 EDC CDF EDF 90 DFE 是等腰直角三角形 故 正確 當(dāng) E F 分別為 AC BC 中點(diǎn)時(shí) 四邊形 CEDF 是正方形 故 錯(cuò)誤 如圖 2 所示 分別過(guò)點(diǎn) D 作 DM AC DN BC 于點(diǎn) M N 可以利用割補(bǔ)法可知四邊形 CEDF 的面積等于正方形 CMDN 面積 故面積保持 不變 故 錯(cuò)誤 DEF 是等腰直角三角形 DE EF 當(dāng) EF AB 時(shí) AE CF E F 分別是 AC BC 的中點(diǎn) 故 EF 是 ABC 的中位線(xiàn) EF 取最小值 2 CE CF 2 此時(shí)點(diǎn) C 到線(xiàn)段 EF 的最大距離為 第 19 頁(yè) 共 52 頁(yè) EF 故 正確 故正確的有 2 個(gè) 故選 B 7 如圖 OP 平分 AOB PA OA PB OB 垂足分別為 A B 下列結(jié)論中 不一定成立的是 A PA PB B PO 平分 APB C OA OB D AB 垂直平分 OP 解答 解 OP 平分 AOB PA OA PB OB PA PB OPA OPB APO BPO OA OB A B C 項(xiàng)正確 設(shè) PO 與 AB 相交于 E OA OB AOP BOP OE OE AOE BOE AEO BEO 90 OP 垂直 AB 而不能得到 AB 平分 OP 故 D 不成立 故選 D 8 如圖 直線(xiàn) l1 l 2 l 3 表示三條相互交叉的公路 現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站 第 20 頁(yè) 共 52 頁(yè) 要求它到三條公路的距離相等 則供選擇的地址有 A 1 處 B 2 處 C 3 處 D 4 處 解答 解 滿(mǎn)足條件的有 1 三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn) 共一處 2 三個(gè)外角兩兩平分線(xiàn)的交點(diǎn) 共三處 故選 D 9 如圖 在 ABC 中 AQ PQ PR PS PR AB 于 R PS AC 于 S 則三個(gè)結(jié) 論 AS AR QP AR BPR QSP 中 A 全部正確 B 僅 和 正確 C 僅 正確 D 僅 和 正確 解答 解 PR PS PR AB 于 R PS AC 于 S AP AP ARP ASP HL AS AR RAP SAP AQ PQ QPA SAP RAP QPA 第 21 頁(yè) 共 52 頁(yè) QP AR 而在 BPR 和 QSP 中 只滿(mǎn)足 BRP QSP 90 和 PR PS 找不到第 3 個(gè)條件 所以無(wú)法得出 BPR QSP 故本題僅 和 正確 故選 B 10 如圖 AOB 30 OP 平分 AOB PC OB PD OB 如果 PC 6 那么 PD 等于 A 4 B 3 C 2 D 1 解答 解 過(guò) P 作 PE OA 于點(diǎn) E 則 PD PE PC OB OPC POD 又 OP 平分 AOB AOB 30 OPC COP 15 ECP COP OPC 30 在直角 ECP 中 PE PC 3 則 PD PE 3 故選 B 二 填空題 共 10 小題 11 如圖 已知 ABE ACF E F 90 CMD 70 則 2 20 度 第 22 頁(yè) 共 52 頁(yè) 解答 解 AME CMD 70 在 AEM 中 1 180 90 70 20 ABE ACF EAB FAC 即 1 CAB 2 CAB 2 1 20 故填 20 12 已知 ABC 中 AB BC AC 作與 ABC 只有一條公共邊 且與 ABC 全等 的三角形 這樣的三角形一共能作出 7 個(gè) 解答 解 以 AB 為公共邊有三個(gè) 以 CB 為公共邊有三個(gè) 以 AC 為公共邊 有一個(gè) 所以一共能作出 7 個(gè) 故答案為 7 13 AB 是四邊形 ACBE 的對(duì)角線(xiàn) AB AC 過(guò)點(diǎn) C 作 CD AE 交 BE 于 D 若 AE DE ACD 45 BD 1 CD 5 則 AE 第 23 頁(yè) 共 52 頁(yè) 解答 解 連接 AD 過(guò) A 分別作 DC BE 的垂線(xiàn) 垂足分別為 F G 過(guò) E 作 EH AD 于 H AE DE ADE DAE CD AE CDA DAE ADE CDA AG BE AF CD AG AF AGD AFD 90 AD AD AGD AFD DG FD AGB AFC 90 AB AC AGB AFC ABG ACD 45 FAC 45 FAC ACF AF CF DC DF CF DF AF DG AG 5 第 24 頁(yè) 共 52 頁(yè) 設(shè) DG t 則 AG 5 t AG BG 5 t BG BD DG 1 t 5 t 1 t t 2 DG 2 AG 3 AD 在 ADE 中 AE DE EH AD AH AD 在 Rt AEH 中 cos DAE 在 Rt ADG 中 cos ADE AE 14 如圖 四邊形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn) AC BD 相交于點(diǎn) O ABO ADO 下列 結(jié)論 AC BD CB CD ABC ADC DA DC 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 解答 解 ABO ADO 第 25 頁(yè) 共 52 頁(yè) AOB AOD 90 OB OD AC BD 故 正確 四邊形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn) AC BD 相交于點(diǎn) O COB COD 90 在 ABC 和 ADC 中 ABC ADC SAS 故 正確 BC DC 故 正確 故答案為 15 如圖 AB 12 CA AB 于 A DB AB 于 B 且 AC 4m P 點(diǎn)從 B 向 A 運(yùn)動(dòng) 每分鐘走 1m Q 點(diǎn)從 B 向 D 運(yùn)動(dòng) 每分鐘走 2m P Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā) 運(yùn)動(dòng) 4 分鐘后 CAP 與 PQB 全等 解答 解 CA AB 于 A DB AB 于 B A B 90 設(shè)運(yùn)動(dòng) x 分鐘后 CAP 與 PQB 全等 則 BP xm BQ 2xm 則 AP 12 x m 分兩種情況 若 BP AC 則 x 4 AP 12 4 8 BQ 8 AP BQ CAP PBQ 第 26 頁(yè) 共 52 頁(yè) 若 BP AP 則 12 x x 解得 x 6 BQ 12 AC 此時(shí) CAP 與 PQB 不全等 綜上所述 運(yùn)動(dòng) 4 分鐘后 CAP 與 PQB 全等 故答案為 4 16 如圖 ABC 中 C 90 CA CB 點(diǎn) M 在線(xiàn)段 AB 上 GMB A BG MG 垂足為 G MG 與 BC 相交于點(diǎn) H 若 MH 8cm 則 BG 4 cm 解答 解 如圖 作 MD BC 于 D 延長(zhǎng) MD 交 BG 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 E ABC 中 C 90 CA CB ABC A 45 GMB A GMB A 22 5 BG MG BGM 90 GBM 90 22 5 67 5 GBH EBM ABC 22 5 MD AC BMD A 45 BDM 為等腰直角三角形 第 27 頁(yè) 共 52 頁(yè) BD DM 而 GBH 22 5 GM 平分 BMD 而 BG MG BG EG 即 BG BE MHD HMD E HMD 90 MHD E GBD 90 E HMD 90 E GBD HMD 在 BED 和 MHD 中 BED MHD AAS BE MH BG MH 4 故答案是 4 17 如圖 已知在 ABC 中 A 90 AB AC CD 平分 ACB DE BC 于 E 若 BC 15cm 則 DEB 的周長(zhǎng)為 15 cm 解答 解 CD 平分 ACB ACD ECD DE BC 于 E 第 28 頁(yè) 共 52 頁(yè) DEC A 90 CD CD ACD ECD AC EC AD ED A 90 AB AC B 45 BE DE DEB 的周長(zhǎng)為 DE BE BD AD BD BE AB BE AC BE EC BE BC 15cm 18 在 Rt ABC 中 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 15 且 BD DC 3 2 則 D 到邊 AB 的距離是 6 解答 解 BC 15 BD DC 3 2 CD 6 C 90 AD 平分 BAC D 到邊 AB 的距離 CD 6 故答案為 6 19 如圖 已知 Rt ABC Rt DEC 連結(jié) AD 若 1 20 則 B 的度數(shù)是 65 第 29 頁(yè) 共 52 頁(yè) 解答 解 Rt ABC Rt DEC AC CD ACD 是等腰直角三角形 CAD 45 DEC 1 CAD 20 45 65 由 Rt ABC Rt DEC 的性質(zhì)得 B DEC 65 故答案為 65 20 如圖 ABC 中 ACB 90 AC 6cm BC 8cm 點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)沿 A C 路徑向終點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng) 點(diǎn) Q 從 B 點(diǎn)出發(fā)沿 B C A 路徑向終點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng) 點(diǎn) P 和 Q 分 別以每秒 1cm 和 3cm 的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng) 其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也 停止運(yùn)動(dòng) 在某時(shí)刻 分別過(guò) P 和 Q 作 PE l 于 E QF l 于 F 則點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)時(shí) 間為 1 或 時(shí) PEC 與 QFC 全等 解答 解 如圖 1 所示 PEC 與 QFC 全等 PC QC 第 30 頁(yè) 共 52 頁(yè) 6 t 8 3t 解得 t 1 如圖 2 所示 點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 重合 PEC 與 QFC 全等 6 t 3t 8 解得 t 故答案為 1 或 四 解答題 共 15 小題 21 如圖 在 ABC 中 AC BC ACB 90 點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn) 點(diǎn) E 是 AB 邊 上一點(diǎn) 1 直線(xiàn) BF 垂直于 CE 于點(diǎn) F 交 CD 于點(diǎn) G 如圖 l 求證 AE CG 2 直線(xiàn) AH 垂直于 CE 垂足為 H 交 CD 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) M 如圖 2 找出圖 中與 BE 相等的線(xiàn)段 不需要添加輔助線(xiàn) 并說(shuō)明理由 解答 解 1 點(diǎn) D 是 AB 中點(diǎn) AC BC ACB 90 CD AB ACD BCD 45 第 31 頁(yè) 共 52 頁(yè) CAD CBD 45 CAE BCG 又 BF CE CBG BCF 90 又 ACE BCF 90 ACE CBG 在 AEC 和 CGB 中 AEC CGB ASA AE CG 2 BE CM 理由 CH HM CD ED CMA MCH 90 BEC MCH 90 CMA BEC 又 ACM CBE 45 在 BCE 和 CAM 中 BCE CAM AAS BE CM 22 如圖 已知 ABC 中 AB AC 10cm BC 8cm 點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn) 如果點(diǎn) P 在線(xiàn)段 BC 上以 3cm s 的速度由點(diǎn) B 向 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 同時(shí) 點(diǎn) Q 在線(xiàn)段 CA 上由 點(diǎn) C 向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 第 32 頁(yè) 共 52 頁(yè) 1 若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度相等 經(jīng)過(guò) 1 秒后 BPD 與 CQP 是否全等 請(qǐng)說(shuō)明理由 2 若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度不相等 當(dāng)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為多少 時(shí) 能夠使 BPD 與 CQP 全等 解答 解 1 經(jīng)過(guò) 1 秒后 PB 3cm PC 5cm CQ 3cm ABC 中 AB AC 在 BPD 和 CQP 中 BPD CQP SAS 2 設(shè)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為 x x 3 cm s 經(jīng)過(guò) ts BPD 與 CQP 全等 則可 知 PB 3tcm PC 8 3tcm CQ xtcm AB AC B C 根據(jù)全等三角形的判定定理 SAS 可知 有兩種情況 當(dāng) BD PC BP CQ 時(shí) 當(dāng) BD CQ BP PC 時(shí) 兩三角形全等 當(dāng) BD PC 且 BP CQ 時(shí) 8 3t 5 且 3t xt 解得 x 3 x 3 舍去此情況 第 33 頁(yè) 共 52 頁(yè) BD CQ BP PC 時(shí) 5 xt 且 3t 8 3t 解得 x 故若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度不相等 當(dāng)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為 cm s 時(shí) 能夠使 BPD 與 CQP 全等 23 已知 ABC 點(diǎn) D F 分別為線(xiàn)段 AC AB 上兩點(diǎn) 連接 BD CF 交于點(diǎn) E 1 若 BD AC CF AB 如圖 1 所示 試說(shuō)明 BAC BEC 180 2 若 BD 平分 ABC CF 平分 ACB 如圖 2 所示 試說(shuō)明此時(shí) BAC 與 BEC 的數(shù)量關(guān)系 3 在 2 的條件下 若 BAC 60 試說(shuō)明 EF ED 解答 解 1 BD AC CF AB DCE DEC DCE FAC 90 DEC BAC DEC BEC 180 BAC BEC 180 2 BD 平分 ABC CF 平分 ACB EBC ABC ECB ACB BEC 180 EBC ECB 180 ABC ACB 180 180 BAC 90 BAC 3 作 BEC 的平分線(xiàn) EM 交 BC 于 M BAC 60 BEC 90 BAC 120 第 34 頁(yè) 共 52 頁(yè) FEB DEC 60 EM 平分 BEC BEM 60 在 FBE 與 EBM 中 FBE EBM EF EM 同理 DE EM EF DE 24 如圖 四邊形 ABCD 中 B 90 AB CD M 為 BC 邊上的一點(diǎn) 且 AM 平分 BAD DM 平分 ADC 求證 1 AM DM 2 M 為 BC 的中點(diǎn) 解答 解 1 AB CD BAD ADC 180 AM 平分 BAD DM 平分 ADC 2 MAD 2 ADM 180 MAD ADM 90 AMD 90 即 AM DM 2 作 NM AD 交 AD 于 N 第 35 頁(yè) 共 52 頁(yè) B 90 AB CD BM AB CM CD AM 平分 BAD DM 平分 ADC BM MN MN CM BM CM 即 M 為 BC 的中點(diǎn) 25 如圖 已知 1 2 P 為 BN 上的一點(diǎn) PF BC 于 F PA PC 求證 PCB BAP 180 解答 證明 如圖 過(guò)點(diǎn) P 作 PE BA 于 E 1 2 PF BC 于 F PE PF PEA PFB 90 在 Rt PEA 與 Rt PFC 中 Rt PEA Rt PFC HL PAE PCB BAP PAE 180 PCB BAP 180 26 如圖 1 OA 2 OB 4 以 A 點(diǎn)為頂點(diǎn) AB 為腰在第三象限作等腰 Rt ABC 1 求 C 點(diǎn)的坐標(biāo) 2 如圖 2 P 為 y 軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 當(dāng) P 點(diǎn)向 y 軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí) 第 36 頁(yè) 共 52 頁(yè) 以 P 為頂點(diǎn) PA 為腰作等腰 Rt APD 過(guò) D 作 DE x 軸于 E 點(diǎn) 求 OP DE 的 值 解答 解 1 如圖 1 過(guò) C 作 CM x 軸于 M 點(diǎn) MAC OAB 90 OAB OBA 90 則 MAC OBA 在 MAC 和 OBA 中 MAC OBA AAS CM OA 2 MA OB 4 OM OA AM 2 4 6 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 6 2 2 如圖 2 過(guò) D 作 DQ OP 于 Q 點(diǎn) 則 DE OQ OP DE OP OQ PQ APO QPD 90 APO OAP 90 QPD OAP 在 AOP 和 PQD 中 第 37 頁(yè) 共 52 頁(yè) AOP PQD AAS PQ OA 2 即 OP DE 2 27 如圖 1 ABC 的邊 BC 在直線(xiàn) l 上 AC BC 且 AC BC EFP 的邊 FP 也 在直線(xiàn) l 上 邊 EF 與邊 AC 重合 且 EF FP 1 示例 在圖 1 中 通過(guò)觀察 測(cè)量 猜想并寫(xiě)出 AB 與 AP 所滿(mǎn)足的數(shù)量 關(guān)系和位置關(guān)系 答 AB 與 AP 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是 AB AP AB AP 2 將 EFP 沿直線(xiàn) l 向左平移到圖 2 的位置時(shí) EP 交 AC 于點(diǎn) Q 連結(jié) AP BQ 請(qǐng)你觀察 測(cè)量 猜想并寫(xiě)出 BQ 與 AP 所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān) 系 答 BQ 與 AP 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是 BQ AP BQ AP 3 將 EFP 沿直線(xiàn) l 向左平移到圖 3 的位置時(shí) EP 的延長(zhǎng)線(xiàn)交 AC 的延長(zhǎng)線(xiàn) 于點(diǎn) Q 連結(jié) AP BQ 你認(rèn)為 2 中所猜想的 BQ 與 AP 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān) 系還成立嗎 若成立 給出證明 若不成立 請(qǐng)說(shuō)明理由 解答 解 1 AB AP AB AP 2 BQ AP BQ AP 第 38 頁(yè) 共 52 頁(yè) 3 成立 證明 如圖 EPF 45 CPQ 45 AC BC CQP CPQ CQ CP 在 Rt BCQ 和 Rt ACP 中 Rt BCQ Rt ACP SAS BQ AP 延長(zhǎng) QB 交 AP 于點(diǎn) N PBN CBQ Rt BCQ Rt ACP BQC APC 在 Rt BCQ 中 BCQ CBQ 90 APC PBN 90 PNB 90 QB AP 28 如圖 ABC 90 D E 分別在 BC AC 上 AD DE 且 AD DE 點(diǎn) F 是 AE 的中點(diǎn) FD 與 AB 相交于點(diǎn) M 1 求證 FMC FCM 2 AD 與 MC 垂直嗎 并說(shuō)明理由 第 39 頁(yè) 共 52 頁(yè) 解答 1 證明 ADE 是等腰直角三角形 F 是 AE 中點(diǎn) DF AE DF AF EF 又 ABC 90 DCF AMF 都與 MAC 互余 DCF AMF 在 DFC 和 AFM 中 DFC AFM AAS CF MF FMC FCM 2 AD MC 理由 由 1 知 MFC 90 FD FA FE FM FC FDE FMC 45 DE CM AD MC 29 如圖 ABC 中 BAC 90 AB AC AD BC 垂足是 D AE 平分 BAD 交 BC 于點(diǎn) E 在 ABC 外有一點(diǎn) F 使 FA AE FC BC 第 40 頁(yè) 共 52 頁(yè) 1 求證 BE CF 2 在 AB 上取一點(diǎn) M 使 BM 2DE 連接 MC 交 AD 于點(diǎn) N 連接 ME 求證 ME BC DE DN 解答 證明 1 BAC 90 AB AC B ACB 45 FC BC BCF 90 ACF 90 45 45 B ACF BAC 90 FA AE BAE CAE 90 CAF CAE 90 BAE CAF 在 ABE 和 ACF 中 ABE ACF ASA BE CF 2 如圖 過(guò)點(diǎn) E 作 EH AB 于 H 則 BEH 是等腰直角三角形 HE BH BEH 45 第 41 頁(yè) 共 52 頁(yè) AE 平分 BAD AD BC DE HE DE BH HE BM 2DE HE HM HEM 是等腰直角三角形 MEH 45 BEM 45 45 90 ME BC 由題意得 CAE 45 45 67 5 CEA 180 45 67 5 67 5 CAE CEA 67 5 AC CE 在 Rt ACM 和 Rt ECM 中 Rt ACM Rt ECM HL ACM ECM 45 22 5 又 DAE 45 22 5 DAE ECM BAC 90 AB AC AD BC AD CD BC 在 ADE 和 CDN 中 第 42 頁(yè) 共 52 頁(yè) ADE CDN ASA DE DN 30 問(wèn)題背景 如圖 1 在四邊形 ABCD 中 AB AD BAD 120 B ADC 90 E F 分別 是 BC CD 上的點(diǎn) 且 EAF 60 探究圖中線(xiàn)段 BE EF FD 之間的數(shù)量關(guān) 系 小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是 延長(zhǎng) FD 到點(diǎn) G 使 DG BE 連結(jié) AG 先證明 ABE ADG 再證明 AEF AGF 可得出結(jié)論 他的結(jié)論應(yīng)是 EF BE DF 探索延伸 如圖 2 若在四邊形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分別是 BC CD 上 的點(diǎn) 且 EAF BAD 上述結(jié)論是否仍然成立 并說(shuō)明理由 實(shí)際應(yīng)用 如圖 3 在某次軍事演習(xí)中 艦艇甲在指揮中心 O 處 北偏西 30 的 A 處 艦 艇乙在指揮中心南偏東 70 的 B 處 并且兩艦艇到指揮中心的距離相等 接到 行動(dòng)指令后 艦艇甲向正東方向以 60 海里 小時(shí)的速度前進(jìn) 艦艇乙沿北偏東 50 的方向以 80 海里 小時(shí)的速度前進(jìn) 1 5 小時(shí)后 指揮中心觀測(cè)到甲 乙兩艦 艇分別到達(dá) E F 處 且兩艦艇之間的夾角為 70 試求此時(shí)兩艦艇之間的距 第 43 頁(yè) 共 52 頁(yè) 離 解答 解 問(wèn)題背景 EF BE DF 探索延伸 EF BE DF 仍然成立 證明如下 如圖 延長(zhǎng) FD 到 G 使 DG BE 連接 AG B ADC 180 ADC ADG 180 B ADG 在 ABE 和 ADG 中 ABE ADG SAS AE AG BAE DAG EAF BAD GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF EAF GAF 在 AEF 和 GAF 中 AEF GAF SAS EF FG FG DG DF BE DF EF BE DF 實(shí)際應(yīng)用 如圖 連接 EF 延長(zhǎng) AE BF 相交于點(diǎn) C AOB 30 90 90 70 140 第 44 頁(yè) 共 52 頁(yè) EOF 70 EOF AOB 又 OA OB OAC OBC 90 30 70 50 180 符合探索延伸中的條件 結(jié)論 EF AE BF 成立 即 EF 1 5 60 80 210 海里 答 此時(shí)兩艦艇之間的距離是 210 海里 31 如圖 在 ABC 中 ACB 90 AC BC E 為 AC 邊的中點(diǎn) 過(guò)點(diǎn) A 作 AD AB 交 BE 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) D CG 平分 ACB 交 BD 于點(diǎn) G F 為 AB 邊上一點(diǎn) 連接 CF 且 ACF CBG 求證 1 AF CG 2 CF 2DE 解答 證明 1 ACB 90 CG 平分 ACB ACG BCG 45 又 ACB 90 AC BC CAF CBF 45 第 45 頁(yè) 共 52 頁(yè) CAF BCG 在 AFC 與 CGB 中 AFC CBG ASA AF CG 2 延長(zhǎng) CG 交 AB 于 H CG 平分 ACB AC BC CH AB CH 平分 AB AD AB AD CG D EGC 在 ADE 與 CGE 中 ADE CGE AAS DE GE 即 DG 2DE AD CG CH 平分 AB DG BG AFC CBG CF BG CF 2DE 第 46 頁(yè) 共 52 頁(yè) 32 如圖 點(diǎn) E 是 AOB 的平分線(xiàn)上一點(diǎn) EC OA ED OB 垂足分別為 C D 求證 1 ECD EDC 2 OC OD 3 OE 是線(xiàn)段 CD 的垂直平分線(xiàn) 解答 證明 1 OE 平分 AOB EC OA ED OB ED EC 即 CDE 為等腰三角形 ECD EDC 2 點(diǎn) E 是 AOB 的平分線(xiàn)上一點(diǎn) EC OA ED OB DOE COE ODE OCE 90 OE OE OED OEC AAS OC OD 3 OC OD 且 DE EC OE 是線(xiàn)段 CD 的垂直平分線(xiàn) 33 如圖 ABC 中 AD 平分 BAC DG BC 且平分 BC DE AB 于 E DF AC 于 F 1 說(shuō)明 BE CF 的理由 2 如果 AB 5 AC 3 求 AE BE 的長(zhǎng) 第 47 頁(yè) 共 52 頁(yè) 解答 1 證明 連接 BD CD AD 平分 BAC DE AB DF AC DE DF BED CFD 90 DG BC 且平分 BC BD CD 在 Rt BED 與 Rt CFD 中 Rt BED Rt CFD HL BE CF 2 解 在 AED 和 AFD 中 AED AFD AAS AE AF 設(shè) BE x 則 CF x AB 5 AC 3 AE AB BE AF AC CF 5 x 3 x 解得 x 1 BE 1 AE AB BE 5 1 4 34 四邊形 ABCD 中 AC 平分 BAD CE AB 于 E ADC B 180 第 48 頁(yè) 共 52 頁(yè) 求證 2AE AB AD 解答 證明 過(guò) C 作 CF AD 于 F AC 平分 BAD FAC EAC CE AB CF AD DFC CEB 90 AFC AEC AF AE CF CE ADC B 180 FDC EBC FDC EBC DF EB AB AD AE EB AD AE DF AD AF AE 2AE 2AE AB AD 35 如圖 1 將兩個(gè)完全相同的三角形紙片 ABC 和 DEC 重合放置 其中 C 90 B E 30 1 操作發(fā)現(xiàn) 如圖 2 固定 ABC 使 DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn) 當(dāng)點(diǎn) D 恰好落在 AB 邊上時(shí) 填空 第 49 頁(yè) 共 52 頁(yè) 線(xiàn)段 DE 與 AC 的位置關(guān)系是 DE AC 設(shè) BDC 的面積為 S1 AEC 的面積為 S2 則 S1 與 S2 的數(shù)量關(guān)系是 S 1 S2 2 猜想論證 當(dāng) DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到如圖 3 所示的位置時(shí) 小明猜想 1 中 S1 與 S2 的數(shù)量 關(guān)系仍然成立 并嘗試分別作出了 BDC 和 AEC 中 BC CE 邊上的高 請(qǐng)你證 明小明的猜想 3 拓展探究 已知 ABC 60 點(diǎn) D 是角平分線(xiàn)上一點(diǎn) BD CD 4 DE AB 交 BC 于點(diǎn) E 如 圖 4 若在射線(xiàn) BA 上存在點(diǎn) F 使 S DCF S BDE 請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的 BF 的長(zhǎng) 解答 解 1 DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)點(diǎn) D 恰好落在 AB 邊上 AC CD BAC 90 B 90 30 60 ACD 是等邊三角形 第 50 頁(yè) 共 52 頁(yè) ACD 60 又 CDE BAC 60 ACD CDE DE AC B 30 C 90 CD AC AB BD AD AC 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì) ACD 的邊 AC AD 上的高相等 BDC 的面積和 AEC 的面積相等 等底等高的三角形的面積相等 即 S1 S2 故答案為 DE AC S 1 S2 2 如圖 DEC 是由 ABC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)得到 BC CE AC CD ACN BCN 90 DCM BCN 180 90 90 ACN DCM 在 ACN 和 DCM 中 ACN DCM AAS AN DM BDC 的面積和 AEC 的面積相等 等底等高的三角形的面積相等 即 S1 S2 第 51 頁(yè) 共 52 頁(yè) 3 如圖 過(guò)點(diǎn) D 作 DF1 BE 易求四邊形 BEDF1 是菱形 所以 BE DF1 且 BE DF 1 上的高相等 此時(shí) S DCF1 S BDE 過(guò)點(diǎn) D 作 DF2 BD ABC 60 F 1D BE F 2F1D ABC 60 BF 1 DF1 F 1BD ABC 30 F 2DB 90 F 1DF2 ABC 60 DF 1F2 是等邊三角形 DF 1 DF2 BD CD ABC 60 點(diǎn) D 是角平分線(xiàn)上一點(diǎn) DBC DCB 60 30 CDF 1 180 BCD 180 30 150 CDF 2 360 150 60 150 CDF 1 CDF2 在 CDF 1 和 CDF 2 中 CDF 1 CDF 2 SAS 點(diǎn) F2 也是所求的點(diǎn) ABC 60 點(diǎn) D 是角平分線(xiàn)上一點(diǎn) DE AB DBC BDE ABD 60 30 又 BD 4 BE 4 cos30 2 第 52 頁(yè) 共 52 頁(yè) BF 1 BF 2 BF1 F1F2 故 BF 的長(zhǎng)為 或