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第二章：實數 本章的知識網絡結構： 知識梳理 一．數的開方主要知識點： 【1】平方根：如果一個數x的平方等于a，那么，這個數x就叫做a的平方根；也即，當時，我們稱x是a的平方根，記做：。因此： 4. 當a=0時，它的平方根只有一個，也就是0本身； 5. 當a＞0時，也就是a為正數時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數，通常記做：。 6. 當a＜0時，也即a為負數時，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若的平方根是2，則x= 　 ；的平方根是 （4）當x 時，有意義。 （5）一個正數的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個正數是多少？ 【算術平方根】： （1）如果一個正數x的平方等于a，即，那么，這個正數x就叫做a的算術平方根，記為：“”，讀作，“根號a”，其中，a稱為被開方數。特別規(guī)定：0的算術平方根仍然為0。 （2）算術平方根的性質：具有雙重非負性，即：。 （3）算術平方根與平方根的關系：算術平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數共同構成了平方根。因此，算術平方根只有一個值，并且是非負數，它只表示為：；而平方根具有兩個互為相反數的值，表示為：。 例2.（1）下列說法正確的是 （ ） A．1的立方根是； B．；（C）、的平方根是； （ D）、0沒有平方根； （2）下列各式正確的是（ ） A、 B、 C、 D、 （3）的算術平方根是 。 （4）若有意義，則___________。 （5）已知△ABC的三邊分別是且滿足，求c的取值范圍。 （6）已知：A=是的算術平方根，B=是的立方根。求A－B的平方根。 （7）（提高題）如果x、y分別是4－的整數部分和小數部分。求x － y的值. 【立方根】 （1）如果x的立方等于a，那么，就稱x是a的立方根，或者三次方根。記做：，讀作，3次根號a。注意：這里的3表示的是開根的次數。一般的，平方根可以省寫根的次數，但是，當根的次數在兩次以上的時候，則不能省略。 （2）平方根與立方根：每個數都有立方根,并且一個數只有一個立方根；但是，并不是每個數都有平方根，只有非負數才能有平方根。 例3.（1）64的立方根是 （2）若，則b等于（ ） 　A. 1000000　 B. 1000　 C. 10 　D. 10000 （3）下列說法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。 其中正確的有 （ ） A、1個 B、2個 C、3個 D、4個 【無理數】 （1）無限不循環(huán)小數的小數叫做無理數；它必須滿足“無限”以及“不循環(huán)”這兩個條件。在初中階段，無理數的表現形式主要包含下列幾種：（1）特殊意義的數，如：圓周率以及含有的一些數，如：2-，3等；（2）開方開不盡的數，如:等；（3）特殊結構的數：如：2.010 010 001 000 01…（兩個1之間依次多1個0）等。應當要注意的是：帶根號的數不一定是無理數，如：等；無理數也不一定帶根號，如： （2） 有理數與無理數的區(qū)別：（1）有理數指的是有限小數和無限循環(huán)小數，而無理數則是無限不循環(huán)小數；（2）所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數則不能寫成分數形式。 例4.（1）下列各數：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相鄰兩個3之間0的個數逐次增加2）、其中是有理數的有＿＿＿＿＿＿＿；是無理數的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序號） （2）有五個數:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中無理數有 ( )個 A 2 B 3 C 4 D 5 【實數】 （1）有理數與無理數統(tǒng)稱為實數。在實數中，沒有最大的實數，也沒有最小的實數；絕對值最小的實數是0，最大的負整數是-1。 （2）實數的性質：實數a的相反數是-a；實數a的倒數是（a≠0）；實數a的絕對值|a|=，它的幾何意義是：在數軸上的點到原點的距離。 （3）實數的大小比較法則：實數的大小比較的法則跟有理數的大小比較法則相同：即正數大于0，0大于負數；正數大于負數；兩個正數，絕對值大的就大，兩個負數，絕對值大的反而小。（在數軸上，右邊的數總是大于左邊的數）。對于一些帶根號的無理數，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。 （4）實數的運算：在實數范圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算法則和運算順序與有理數的一致。 例5. （1）下列說法正確的是（ ）； A、任何有理數均可用分數形式表示 ； B、數軸上的點與有理數一一對應 ； C、1和2之間的無理數只有 ； D、不帶根號的數都是有理數。 （2）a，b在數軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是( ) b 0 a A、 B、 C、 D、 （3）比較大小(填“>”或“<”). 3 ， ， ， ， （4）數 的大小關系是 ( ) A. B. C. D. （5）將下列各數：，用“＜”連接起來；______________________________________。 （6）若，且，則：= 。 （7）計算： （8）已知：，求代數式的值。 6.（提高題）觀察下列等式：回答問題： ① ② ③，…… （1）根據上面三個等式的信息，請猜想的結果； （2）請按照上式反應的規(guī)律，試寫出用n表示的等式，并加以驗證。 　 課后練習 重點考查題型： 一、考查題型： 1． －1的相反數的倒數是　　　　　 2． 已知｜a+3|+＝0，則實數（a+b）的相反數　　　　　 3． 數－3．14與－Л的大小關系是　　　　　 4． 和數軸上的點成一一對應關系的是　　　　　　 5． 和數軸上表示數－3的點A距離等于2．5的B所表示的數是　　　　　　 6． 在實數中Л,－,0, ,－3．14, 無理數有（　?。? （A）1　個　?。˙）2個　?。–）3個　?。―）4個 7．一個數的絕對值等于這個數的相反數，這樣的數是（　?。? （A）非負數　?。˙）非正數　?。–）負數　　（D）正數 8．若x＜－3，則｜x＋3｜等于（　　?。? （A）x＋3　　（B）－x－3　?。–）－x＋3　　（D）x－3 9．下列說法正確是（　?。? a) 有理數都是實數 （B）實數都是有理數 b) 帶根號的數都是無理數?。―）無理數都是開方開不盡的數 10．實數在數軸上的對應點的位置如圖，比較下列每組數的大小： （1） c-b和d-a （2） bc和ad 二、考點訓練： *1．判斷題： （1）如果a為實數，那么－a一定是負數；（?。? （2）對于任何實數a與b,|a－b|=|b－a|恒成立；（?。? （3）兩個無理數之和一定是無理數；（?。? （4）兩個無理數之積不一定是無理數；（?。? （5）任何有理數都有倒數；（?。　。?）最小的負數是－1；（　） （7）a的相反數的絕對值是它本身；（　） （8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，則a－b=－1；（?。? 2．把下列各數分別填入相應的集合里 －|－3|，21．3，－1．234，－,0，－,－, －,, (－)0，3－2，ctg45,1.2121121112．．．．．．中 無理數集合｛　　　　　 　　 ?。　∝摲謹导希　　　? 　　　　｝ 整數集合｛　　　 　　　 　?。》秦摂导希? 　　　　　　　　 ｝ *3．已知10，且y<|x|，用"<"連結x，－x，－|y|，y。 10．最大負整數、最小的正整數、最小的自然數、絕對值最小的實數各是什么？ 11．絕對值、相反數、倒數、平方數、算術平方根、立方根是它本身的數各是什么？ 12．把下列語句譯成式子： （1）a是負數　 ?。唬?）a、b兩數異號 　?。唬?）a、b互為相反數　　　　； （4）a、b互為倒數　　　??；(5)x與y的平方和是非負數　　　　??； （6）c、d兩數中至少有一個為零　　　 ；（7）a、b兩數均不為0　　　　　。 *13.數軸上作出表示，，－的點。 四．獨立訓練： 1．0的相反數是　　，3－л的相反數是　　， 的相反數是　　??；－л的絕對值是　　　，0　的絕對值是　　，－的倒數是　　　　　　 2．數軸上表示－3．2的點它離開原點的距離是　　　。 A表示的數是－，且AB＝，則點B表示的數是　　　　。 3?。?л,(1－),－,0．1313…,2cos60, －3－1 ,1．101001000… (兩1之間依次多一個0),中無理數有　　 　，整數有　 　　，負數有　 　　。 4. 若a的相反數是27，則｜a|＝ ；5．若|a|＝，則a= 5．若實數x，y滿足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，則x＋y的值是 6．實數可分為（　　　） （A）正數和零（B）有理數和無理數（C）負數和零 （D）正數和負數 *7．若2a與1－a互為相反數，則a等于（　　?。? 　?。ˋ）1　　 （B）－1　　 （C） （D） 8．當a為實數時，=－a在數軸上對應的點在（　　?。? (A)原點右側（B）原點左側（C）原點或原點的右側（D）原點或原點左側 *9．代數式＋＋的所有可能的值有（　　?。? （A）2個　　　（B）3個　　?。–）4個　?。―）無數個 10．已知實數a、b在數軸上對應點的位置如圖 （1）比較a－b與a+b的大小　　　　　　　 （2）化簡|b－a|+|a+b| 11．實數ａ、ｂ、ｃ在數軸上的對應點如圖所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜ 試化簡：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜ *12．已知等腰三角形一邊長為ａ，一邊長ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 。求它的周長。 ＊13．若3，ｍ，5為三角形三邊，化簡：－