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初中數(shù)學(xué)新人教版八上期考壓軸題匯編（三角形部分） 一、動點(diǎn)問題： 例1（1）如圖10，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90，M為AB中點(diǎn)，AF=CE，請判斷△MEF的形狀. 　?。?）已知：如圖11在Rt△ABC中, AC=BC, ∠C=90，點(diǎn)D為AB上任一點(diǎn)，DF⊥AC于F， DE⊥BC于E，M為BC的中點(diǎn). 　?、?判斷△MEF是什么形狀的三角形并證明你的結(jié)論. 　?、?當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動時(shí)，四邊形FMEC的面積是否會改變,并證明你的結(jié)論． 　　③ 當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上運(yùn)動時(shí)，如圖12，①中的結(jié)論還成立嗎？ 　　　 　　思路點(diǎn)撥：在等腰三角形中，M為底邊AB的中點(diǎn)，連結(jié)CM是常用的輔助線． 　　解析：（1）△MEF是等腰直角三角形． 　　　　?。?）①△MEF是等腰直角三角形．理由如下： 　　　　　　　　 連結(jié)CM，如圖13 　　　　　　　　 ∵DF⊥AC于F， DE⊥BC于E，∠ACB=90 　　　　　　　　 ∴四邊形CEDF為長方形，∴DF=CE 　　　　　　　　 ∵在Rt△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90， 　　　　　　　　 M為AB中點(diǎn)， 　　　　　　　　 ∴∠A=∠1=45，CM⊥AB，AM=BM=CM．　　　　　　　　　　　圖 13 　　　　　　　　 ∵在Rt△ADF中，∠A=45 　　　　　　　　 ∴AF=DF，∴AF=CE 　　　　　　　　 ∵在△AMF和△CME中 　　　　　　　　 　　　　　　　　 ∴△AMF≌△CME（SAS） 　　　　　　　　 ∴MF=ME，∠2=∠3 　　　　　　　　 ∵∠2+∠CMF=90，∴∠3+∠CMF=90，即∠EMF=90 　　　　　　　　 ∴△MEF是等腰直角三角形． 　　　　　　　 ②當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動時(shí)，四邊形FMEC的面積不會改變，證明如下： 　　　　　　　　 由①可知，△AMF≌△CME，∴S△AMF=S△CME． 　　　　　　　　 ∵S△ACM=S△BCM，∴S△CMF=S△BME， 　　　　　　　　 ∴S四邊形FMEC=S△CMF+ S△CME=S△ABC． 　　　　　　　　 ∴四邊形FMEC的面積不會改變． 　　　　　　　 ③成立，理由如下：連結(jié)CM，如圖14 　　　　　　　　 ∵DF⊥AC于F， DE⊥BC于E，∠ACB=90 　　　　　　　　 ∴四邊形CEDF為長方形，∴DF=CE 　　　　　　　　 ∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90，M為AB中點(diǎn)， 　　　　　　　　 ∴∠BAC=∠1=45，CM⊥AB，AM=BM=CM． 　　　　　　　　 ∴∠MAF=∠MCE=135． 　　　　　　　　 ∵在Rt△ADF中，∠DAF=∠BAC=45 　　　　　　　　 ∴AF=DF，∴AF=CE 　　　　　　　　 ∵在△AMF和△CME中 　　　　　　　　 　　　　　　　　 ∴△AMF≌△CME（SAS） 　　　　　　　　 ∴MF=ME，∠AMF=∠CME 　　　　　　　　 ∵∠CME+∠AME=90，∴∠AMF+∠AME=90，即∠EMF=90 　　　　　　　　 ∴△MEF是等腰直角三角形． 　　總結(jié)升華：對比（2）中的①與③，都是先證明四邊形CEDF是長方形，從而得到AF=CE，接著證△AMF≌△CME，得到MF=ME，且∠EMF=90，可以看出這兩問的證明思路大體上是相同的．也就是說，在這類問題中，可以通過第一問的解決來推測下面問題的推理方法，從而達(dá)到解題的目的． 　　舉一反三 　　【變式1】已知四邊形中，，，，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖15），易證．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖16和圖17這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明． 　　　　　　 　　【答案】 　　圖16，延長EA到O，使得OA=CF，連結(jié)OB，易證△ABO≌△CBF，OB=BF，進(jìn)而證明△BEF≌△BEO，即可得到EF=AE+CF． 　　圖17中，在AE中取一點(diǎn)O，使得OA=CF，連結(jié)OB，易證△ABO≌△CBF ，OB=BF，進(jìn)而證明△BEF≌△BEO，即可得到EF=AE-CF． 　　【變式2】已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點(diǎn)．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖18），易證． 　?。?）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖19），線段和之間有怎樣的數(shù)量 　 　　　關(guān)系？寫出猜想，并加以證明． 　?。?）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖20的位置時(shí)，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想． 　　　　　 　　【答案】此題與第1題方法相同． 　?。?）BM+DN=MN；（2）DN-BM=MN． 21．如圖1，點(diǎn)O是邊長為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，設(shè)∠AOB=，∠BOC= （1）將△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得△ADC，連結(jié)OD,如圖2所示. 求證：OD=OC。 （2）在（1）的基礎(chǔ)上，將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得△EAC，連結(jié)DE，如圖3所示. 求證：OA=DE （3）在（2）的基礎(chǔ)上， 當(dāng)、滿足什么關(guān)系時(shí)，點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上。并直接寫出AO+BO+CO的最小值。 27．已知：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連結(jié)與相交于點(diǎn)． （1）求證：； （2）求證：； （3）與的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論． 21、（8分） 已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)． （1）直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖①），求證：AE=CG； （2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點(diǎn) H，交CD的延長線于點(diǎn)M（如圖②），找出圖中與BE相等的線段，并證明． 25.(1)如圖(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90,AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE. (2) 如圖(2)，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由. (3) 拓展與應(yīng)用：如圖(3)，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合）,點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn),且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF 的形狀并說明理由。 21．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE． （1）求證：AF=DE； （2）若∠BAD=45，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長． 考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。 專題： 探究型。 分析： （1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可； （2）如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長． 解答： （1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD， ∴∠BAD=∠CDA， 而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中， AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60， ∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA， ∴△AED≌△DFA（SAS）， ∴AF=DE； （2）解：如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，則有BC=HK， ∵∠BAD=45， ∴∠HAB=∠KDC=45， ∴AB=BH=AH， 同理：CD=CK=KD， ∵S梯形ABCD=，AB=a， ∴S梯形ABCD==， 而S△ABE=S△DCF=a2， ∴=2a2， ∴BC=a． 點(diǎn)評： 本題綜合性的考查了等腰梯形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)以及等于直角三角形的性質(zhì)和梯形、三角形的面積公式，屬于中檔題目． 15．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠CEF的度數(shù)是　50?。? 考點(diǎn)： 翻折變換(折疊問題)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)。 分析： 利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出∠OBC＝40，以及∠OBC＝∠OCB＝40，再利用翻折變換的性質(zhì)得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，進(jìn)而求出即可． 解答： 解：連接BO， ∵∠BAC＝50，∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O， ∴∠OAB＝∠ABO＝25， ∵等腰△ABC中， AB＝AC，∠BAC＝50， ∴∠ABC＝∠ACB＝65， ∴∠OBC＝65－25＝40， ∵， ∴△ABO≌△ACO， ∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB＝40， ∵點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合， ∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO， ∴∠CEF＝∠FEO＝＝50， 故答案為：50． 點(diǎn)評： 此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識，利用翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵． 　　　　 【9. 2012泰安】 26．如圖，在△ABC中，∠ABC=45，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G，H，∠ABE=∠CBE． （1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由； （2）求證：BG2﹣GE2=EA2． 考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理。 解答：證明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90，∠ABC=45， ∴∠BCD=45=∠ABC，∠A+∠DCA=90，∠A+∠ABE=90， ∴DB=DC，∠ABE=∠DCA， ∵在△DBH和△DCA中 ∵∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD， ∴△DBH≌△DCA， ∴BH=AC． （2）連接CG， ∵F為BC的中點(diǎn)，DB=DC， ∴DF垂直平分BC， ∴BG=CG， ∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC， ∴∠AEB=∠CEB， 在△ABE和△CBE中 ∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE， ∴△ABE≌△CBE， ∴EC=EA， 在Rt△CGE中，由勾股定理得：BG2﹣GE2=EA2． 26．（12分）在?ABCD中，∠ADC的平分線交直線BC于點(diǎn)E、交AB的延長線于點(diǎn)F，連接AC． （1）如圖1，若∠ADC=90，G是EF的中點(diǎn)，連接AG、CG． ①求證：BE=BF． ②請判斷△AGC的形狀，并說明理由； （2）如圖2，若∠ADC=60，將線段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至FG，連接AG、CG．那么△AGC又是怎樣的形狀．（直接寫出結(jié)論不必證明） 考點(diǎn)： 平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；等腰直角三角形． 專題： 壓軸題． 分析： （1）①先判定四邊形ABCD是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ABC=90，AB∥DC，AD∥BC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根據(jù)DF是∠ADC的平分線，利用角平分線的定義得到∠ADF=∠FDC，從而得到∠F=∠BEF，然后根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)即可證明； ②連接BG，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠F=∠BEF=45，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BG=FG，∠F=∠CBG=45，然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90，然后求出∠AGC=90，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判斷即可； （2）連接BG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BFG是等邊三角形，再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求出AF=AD，平行四邊形的對角相等求出∠ABC=∠ADC=60，然后求出∠CBG=60，從而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=CG，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120，再求出∠AGC=60，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法判定即可． 解答： （1）證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90， ∴四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90，AB∥DC，AD∥BC， ∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF， ∵DF是∠ADC的平分線， ∴∠ADF=∠FDC， ∴∠F=∠BEF， ∴BF=BE； ②△AGC是等腰直角三角形． 理由如下：連接BG， 由①知，BF=BE，∠FBC=90， ∴∠F=∠BEF=45， ∵G是EF的中點(diǎn)， ∴BG=FG，∠F=∠CBG=45， ∵∠FAD=90， ∴AF=AD， 又∵AD=BC， ∴AF=BC， 在△AFG和△CBG中，， ∴△AFG≌△CBG（SAS）， ∴AG=CG， ∴∠FAG=∠BCG， 又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90， ∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90， 即∠GAC+∠ACG=90， ∴∠AGC=90， ∴△AGC是等腰直角三角形； （2）連接BG，∵FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至FG， ∴△BFG是等邊三角形， ∴FG=BG，∠FBG=60， 又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=60， ∴∠ABC=∠ADC=60 ∴∠CBG=180﹣∠FBG﹣∠ABC=180﹣60﹣60=60， ∴∠AFG=∠CBG， ∵DF是∠ADC的平分線， ∴∠ADF=∠FDC， ∵AB∥DC， ∴∠AFD=∠FDC， ∴∠AFD=∠ADF， ∴AF=AD， 在△AFG和△CBG中，， ∴△AFG≌△CBG（SAS）， ∴AG=CG，∠FAG=∠BCG， 在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180﹣60=120， ∴∠AGC=180﹣（∠GAC+∠ACG）=180﹣120=60， ∴△AGC是等邊三角形． 點(diǎn)評： 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，難度較大，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．