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北京五中2010/2011學(xué)年度上學(xué)期期中考試試卷 高三數(shù)學(xué)(文科) 一． 選擇題（每題5分，共40分，請把答案填在第3頁表中） 1．設(shè)集合，則滿足的集合B的個數(shù)是( ) 1 3 4 8 2．給出下列命題 ：①；②； ③； ④“”的充要條件是“,或”, 其中正確命題的個數(shù)是 （ ） 0 1 2 3 3. 設(shè)非零向量滿足，則與的夾角為（ ） 30 60 90 120 4.已知等差數(shù)列的前20項的和為100，那么的最大值為( ) 25 50 100 不存在 5．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，向上平移1個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是( ) 6．若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點，則的取值范圍是( ) 7．函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則與的大小關(guān)系為（ ） 不能確定 8．一根竹竿長2米，豎直放在廣場的水平地面上，在時刻測得它的影長為4米，在時刻的影長為1米．這個廣場上有一個球形物體，它在地面上的影子是橢圓，問在、這兩個時刻該球形物體在地面上的兩個橢圓影子的離心率之比為（ ） 1：1 ：1 ：1 2：1 二． 填空題（每題5分，共30分，請把答案填在第3頁表中） 2 側(cè)視圖 2 正視圖 9．與垂直的單位向量為______________ 10．如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體 的體積為 1 俯視圖 11．已知函數(shù),當(dāng) 時,都有成立,則實數(shù)的取值范圍為 12．已知當(dāng)時，，且恒成立，則當(dāng)時，＝ 13．已知點在曲線上，如果該曲線在點處切線的斜率為，那么 ，此時函數(shù)，的值域為 14．定義運算符號：“”，這個符號表示若干個數(shù)相乘，例如：可將123…n記作，，其中為數(shù)列中的第項. ①若，則= 　 ； ②若 　 　 三． 解答題（共80分） 15．在中，、、為角、、的對邊，已知、為銳角，且， （1）求的值; （2）若，求、、的值 16．設(shè)關(guān)于的二次函數(shù) （I）設(shè)集合P={1，2， 4}和Q={-1，1，2}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為函數(shù)中和的值，求函數(shù)有且只有一個零點的概率； （II）設(shè)點（，）是隨機取自平面區(qū)域內(nèi)的點，求函數(shù)上是減函數(shù)的概率. 17．如圖, 在直三棱柱中，，,，點是 的中點， （1） 求證：； （2） 求證：． 18．已知函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時，求的極值; （Ⅱ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間. 19．已知的頂點在橢圓上，在直線上，且． （Ⅰ）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點時，求的長及的面積； （Ⅱ）當(dāng)，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程． 20．已知數(shù)列的前項和和通項滿足（是常數(shù)且）。 (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式； (Ⅱ) 當(dāng)時，試證明； (Ⅲ)設(shè)函數(shù)，，是否存在正整數(shù)，使對都成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 北京五中2010/2011學(xué)年度上學(xué)期期中考試試卷 高三數(shù)學(xué)(文科)答案 四． 選擇題（每題5分，共40分，請把答案填在第3頁表中） 1．設(shè)集合，則滿足的集合B的個數(shù)是( C ) 1 3 4 8 2．給出下列命題 ：①；②； ③； ④“”的充要條件是“,或”, 其中正確命題的個數(shù)是 （ C ） 0 1 2 3 3. 設(shè)非零向量滿足，則與的夾角為（ D ） 30 60 90 120 4.已知等差數(shù)列的前20項的和為100，那么的最大值為( A ) 25 50 100 不存在 5．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，向上平移1個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是( A ) 6．若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點，則的取值范圍是( A ) 7．函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則與的大小關(guān)系為（ C ） 不能確定 8．一根竹竿長2米，豎直放在廣場的水平地面上，在時刻測得它的影長為4米，在時刻的影長為1米．這個廣場上有一個球形物體，它在地面上的影子是橢圓，問在、這兩個時刻該球形物體在地面上的兩個橢圓影子的離心率之比為（ A ） 1：1 ：1 ：1 2：1 五． 填空題（每題5分，共30分，請把答案填在第3頁表中） 2 側(cè)視圖 2 正視圖 9．與垂直的單位向量為_, _ 10．如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體 的體積為 1 俯視圖 11．已知函數(shù),當(dāng) 時,都有成立,則實數(shù)的取值范圍為 12．已知當(dāng)時，，且恒成立，則當(dāng)時，＝ 13．已知點在曲線上，如果該曲線在點處切線的斜率為，那么 -3 ；函數(shù)，的值域為 [-2,18] 14．定義運算符號：“”，這個符號表示若干個數(shù)相乘，例如：可將123…n記作，，其中ai為數(shù)列中的第項. ①若，則T4= 280 ； ②若 . 選擇題答案 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 填空題答案 9. 10. 11. 12. 13. 14. 六． 解答題（共80分） 15．在中，、、為角、、的對邊，已知、為銳角，且， （1）求的值; （2）若，求、、的值 解：（Ⅰ）、為銳角，， 又， ，， …………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,. 由正弦定理得 ，即， w.w.w. .c.o.m ， ， 16．設(shè)關(guān)于的一元二次函數(shù) （I）設(shè)集合P={1，2， 4}和Q={-1，1，2}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為函數(shù)中和的值，求函數(shù)有且只有一個零點的概率； （II）設(shè)點（，）是隨機取自平面區(qū)域內(nèi)的點，求函數(shù)上是減函數(shù)的概率. 解：（I）要使函數(shù)有且只有一個零點，當(dāng)且僅當(dāng) ……………………………2分 分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為和，可以是共9個基本事件，其中滿足的事件有共2個， ∴所求事件的概率為 . ……………………………6分 （II）函數(shù)的圖象的對稱軸為 由函數(shù)上是減函數(shù)，得且>0，....8分 依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為，即三角形區(qū)域.且 .......................................10分 構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形區(qū)域（如圖）. 由 ……………………………12分 ∴所求事件的概率為 …………………　13分 17．如圖, 在直三棱柱中，，,，點是 的中點， （3） 求證：； （4） 求證：． 證明：（１）可證 （２）設(shè)，交于 可證 所以 18．已知函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時，求的極值; （Ⅱ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間. 解： ……………………1分 令　　　　　　　則 …2分 ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ……………………4分 當(dāng)時，……………………5分 當(dāng)時，……………………6分 （Ⅱ） …………7分 ① 當(dāng)時， 令 得或 ……8分 令 得 ……9分 的單調(diào)增區(qū)間為，，減區(qū)間為 .　　10分 ②當(dāng)時， 令得或 11分 令得 ……12分 的單調(diào)增區(qū)間為，.減區(qū)間為 .　13分 綜上可知，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為 . 19．已知的頂點在橢圓上，在直線上，且． （Ⅰ）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點時，求的長及的面積； （Ⅱ）當(dāng)，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程． 解：（Ⅰ）因為，且邊通過點，所以所在直線的方程為． 設(shè)兩點坐標(biāo)分別為． 由 得． 所以． 又因為邊上的高等于原點到直線的距離． 所以，． （Ⅱ）設(shè)所在直線的方程為， 由得． 因為在橢圓上，所以． 設(shè)兩點坐標(biāo)分別為，則，， 所以． 又因為的長等于點到直線的距離，即． 所以． 所以當(dāng)時，邊最長，（這時） 此時所在直線的方程為． 20.已知數(shù)列的前項和和通項滿足（是常數(shù)且）。 (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式； (Ⅱ) 當(dāng)時，試證明； (Ⅲ)設(shè)函數(shù)，，是否存在正整數(shù)，使對都成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 解: (Ⅰ)由題意，，得∴ …………1分 當(dāng)時， ， ∴ ………………3分 ∴數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，∴ ………4分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知當(dāng)時， …………………5分 ∵，∴ …………………………………………………6分 即 …………………………………………………………………………7分