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13.4　課題學(xué)習(xí)　最短路徑問(wèn)題 基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)　最短路徑問(wèn)題 1．如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，G，H分別是AF和CD的中點(diǎn)，P是GH上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，則AP＋BP的值最小時(shí)，BP與HG的夾角(銳角)度數(shù)為________． 2．已知，如圖，在直線l的同側(cè)有兩點(diǎn)A，B. (1)在圖1的直線上找一點(diǎn)P使PA＋PB最短； (2)在圖2的直線上找一點(diǎn)P，使PA－PB最長(zhǎng)． 3．如圖均是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格圖，點(diǎn)A、B、C、D均落在格點(diǎn)上．請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺在格線CD上確定一點(diǎn)Q，使QA與QB的長(zhǎng)度之和最小． 4．如圖，村莊A，B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a，b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問(wèn)橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？ 中檔題 5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N點(diǎn)是AB上的一定點(diǎn)，M是AD上一動(dòng)點(diǎn)，要使MB＋MN最小，請(qǐng)找點(diǎn)M的位置． 6．如圖，在△ABC的一邊AB上有一點(diǎn)P. (1)能否在另外兩邊AC和BC上各找一點(diǎn)M、N，使得△PMN的周長(zhǎng)最短？若能，請(qǐng)畫出點(diǎn)M、N的位置，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)若∠ACB＝52，在(1)的條件下，求出∠MPN的度數(shù)． 7．如圖，已知∠AOB，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)． (1)要使得△PEF的周長(zhǎng)最小，試在圖上確定點(diǎn)E、F的位置． (2)若OP＝4，要使得△PEF的周長(zhǎng)的最小值為4，則∠AOB＝________． 8．(蘭州中考改編)如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120，∠B＝∠D＝90，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使△周長(zhǎng)最小，求∠AMN＋∠ANM的度數(shù)． 綜合題 9．已知：如圖，在∠POQ內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N，∠MOP＝∠NOQ. (1)畫圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法：在射線OP上取一點(diǎn)A，使點(diǎn)A到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離和最?。辉谏渚€OQ上取一點(diǎn)B，使點(diǎn)B到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離和最?。? (2)直接寫出AM＋AN與BM＋BN的大小關(guān)系． 參考答案 1．60　2.(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC交直線l于點(diǎn)P，連接BP.點(diǎn)P即為所求．圖略．(2)連接AB并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P.圖略．　3.作B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交格線CD于Q，此時(shí)QA＋QB＝QA＋QB′＝AB′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得此時(shí)QA＋QB最小．　4.①過(guò)點(diǎn)A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′的長(zhǎng)等于河的寬度；②連接A′B交b于點(diǎn)D；③過(guò)點(diǎn)D作DE∥AA′交a于點(diǎn)C；④連接AC.則CD即為橋的位置．圖略．　5.連接NC與AD的交點(diǎn)為M點(diǎn)．點(diǎn)M即為所求．圖略．　6.(1)①作出點(diǎn)P關(guān)于AC、BC的對(duì)稱點(diǎn)D、G.②連接DG交AC、BC于點(diǎn)M、N.點(diǎn)M、N即為所求．(2)設(shè)PD交AC于E，PG交BC于F，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90.∴∠C＋∠EPF＝180.∵∠C＝52，∴∠EPF＝128.∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180，∴∠D＋∠G＝52.由對(duì)稱可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN＋∠DPM＝52.∴∠MPN＝128－52＝76.　7.(1)圖略，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F.此時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最?。?2)30　8.作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，連接AM，AN，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．作DA延長(zhǎng)線AH.∵∠DAB＝120，∴∠HAA′＝60.∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60.∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝260＝120.　9.(1)圖略，點(diǎn)A，B即為所求．畫法：①作點(diǎn)M關(guān)于射線OP的對(duì)稱點(diǎn)M′；②連接M′N交OP于點(diǎn)A；③作點(diǎn)N關(guān)于射線OQ的對(duì)稱點(diǎn)N′；④連接N′M交OQ于點(diǎn)B.(2)AM＋AN＝BM＋BN.