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專(zhuān)題三　幾何多解題 類(lèi)型一 圖形的折疊與剪拼 (2017安徽)在三角形紙片ABC中，∠A＝90，∠C＝30，AC＝30 cm.將該紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處，折痕記為BD(如圖1)，剪去△CDE后得到雙層△BDE(如圖2)，再沿著過(guò)△BDE某頂點(diǎn)的直線(xiàn)將雙層三角形剪開(kāi)，使得展開(kāi)后的平面圖形中有一個(gè)是平行四邊形，則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______cm. 【分析】 由軸對(duì)稱(chēng)得△ADB≌△EDB，由已知可求AD，AB，BD，考慮到三角形BDE中∠DEB＝90，∠DBE＝30，∠EDB＝60，故沿BD上的中線(xiàn)或∠EDB的平分線(xiàn)剪開(kāi)可得平行四邊形，且都為菱形，求出周長(zhǎng)即可． 【自主解答】 【方法點(diǎn)撥】動(dòng)手操作這類(lèi)題常見(jiàn)的方法是學(xué)會(huì)自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀(guān)察、分析、抽象、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如本題所給的直角三角形比較特殊，其次，一般選擇角平分線(xiàn)、中線(xiàn)等常見(jiàn)的考查對(duì)象入手． 【難點(diǎn)突破】抓住△BDE是直角三角形，且∠B＝30，∠D＝60，從而想到沿BD上的中線(xiàn)或∠EDB的平分線(xiàn)這兩種特殊情況剪開(kāi)才會(huì)有一個(gè)四邊形是平行四邊形． 1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝30，AC＝2，E為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線(xiàn)BC上，連接AP，PE，將△AEP沿著邊PE折疊，折疊后得到△EPA′，當(dāng)折疊后△EPA′與△BEP重疊部分的面積恰好為△ABP面積的四分之一時(shí)，BP的長(zhǎng)為_(kāi)_________． 2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，點(diǎn)E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABE折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在∠ADC的平分線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)B′到BC的距離為_(kāi)_________． 3．(2019安慶一模)如圖，△ABC是一張等腰三角形紙片，且AB＝AC＝6，BC＝4，將△ABC沿著某條過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，打開(kāi)后再沿著所得到的折痕剪開(kāi)，若剪開(kāi)后的兩個(gè)三角形能夠拼成一個(gè)與原△ABC不全等的新三角形，則折痕的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 4．如圖，把一張矩形紙片對(duì)折兩次(折痕互相垂直且交點(diǎn)為O)，然后剪下一個(gè)角，為了得到一個(gè)銳角為50的菱形，剪口與折痕所成角α的度數(shù)為_(kāi)_________________． 5．(2019宿州泗縣一模)已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，沿著過(guò)矩形頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)將∠B折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形的邊上，則折痕長(zhǎng)為_(kāi)_______． 6．(2019合肥長(zhǎng)豐縣二模)如圖，矩形ABCD中，AD＝9，AB＝15.點(diǎn)E為射線(xiàn)DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿著AE折疊，當(dāng)△AD′B為直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 7．(2019河南)如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝a.連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為_(kāi)_______． 8．(2019黑龍江)一張直角三角形紙片ABC，∠ACB＝90，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)D為BC邊上任一點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 9．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝45，AB＝4，點(diǎn)P為線(xiàn)段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交直線(xiàn)AD于點(diǎn)E，沿PE將∠A折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，連接EF，DF，CF.當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，AP＝________． 10．(2019合肥瑤海區(qū)一模)如圖，有一張面積為12的銳角三角形紙片，其中一邊BC為4，把它剪兩刀拼成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形，且矩形的一邊與BC平行，則矩形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______． 11．(2019合肥廬陽(yáng)區(qū)一模)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE＝3，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B，C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處．若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 類(lèi)型二 圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 1．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，E為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接DE，將線(xiàn)段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到DG，當(dāng)點(diǎn)B，D，G在一條直線(xiàn)上時(shí)，若DG＝2，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______________． 2．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，AB＝BC，斜邊AC上的一點(diǎn)D滿(mǎn)足AD＝AB.將線(xiàn)段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<α<360)，得到線(xiàn)段AC′，連接DC′，當(dāng)DC′∥BC時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度α的值為_(kāi)___________________． 3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，∠BAC＝20，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，將OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<α<180)時(shí)得到OP，當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，α的值為_(kāi)_______． 4．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，且AC＝4，BC＝2，將線(xiàn)段AB向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到A′B′.若△A′B′C為等腰三角形，則m的值為_(kāi)_______． 5．如圖，將邊長(zhǎng)為12的正方形ABCD沿其對(duì)角線(xiàn)AC剪開(kāi)，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分(陰影部分)的面積為32時(shí)，它移動(dòng)的距離AA′等于__________． 類(lèi)型三 特定條件 (2018安徽)矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)E在邊BC上，滿(mǎn)足△PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形，則PE的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 【分析】 根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，分PD＝PA，PD＝DA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算． 【自主解答】 1．(2019蕪湖二十九中一模)在△ABC中，AB＝6 cm，點(diǎn)P在A(yíng)B上，且∠ACP＝∠B.若點(diǎn)P是AB的三等分點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是______________________． 2．(2019蕪湖一模)如圖所示，已知AD∥BC，∠ABC＝90，AB＝8，AD＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)．若△PAD與△PBC相似，則AP＝________． 3．(2019成都)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)B在x軸的上方，△OAB的面積為，則△OAB內(nèi)部(不含邊界)的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 4．(2019哈爾濱)在△ABC中，∠A＝50，∠B＝30，點(diǎn)D在A(yíng)B邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為_(kāi)_______度． 5．(2019蚌埠二模)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，沿EF所在的直線(xiàn)折疊∠C，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，若△EFC和△ABC相似，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 6．(2020原創(chuàng))如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且EC＝2AD.當(dāng)以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____________． 7．(2020原創(chuàng))如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝12，BC＝6，射線(xiàn)AD⊥AC，點(diǎn)P，Q分別在A(yíng)C，AD上，當(dāng)△ABC和△QPA全等時(shí)，AP的長(zhǎng)為_(kāi)___________． 8．(2019六安霍邱三校二模)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，P，Q分別為邊BC，AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則AQ＝________． 9．(2019安徽模擬)如圖，已知等邊三角形ABC中，AB＝2，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到△ADB，點(diǎn)E是△ABC某邊的一點(diǎn)，當(dāng)△ABE為直角三角形時(shí)，連接DE，作BF⊥DE于F，那么BF的長(zhǎng)度是________． 參考答案 【專(zhuān)題類(lèi)型突破】 類(lèi)型一 【例1】 由已知可知△ADB≌△EDB，又∵∠A＝90，∠C＝30，∴∠ABD＝∠EBD＝∠C＝30，則CD＝BD，設(shè)AD＝DE＝x，則CD＝30－x.在Rt△ABD中，sin 30＝＝＝，解得x＝10.∴BD＝20，AB＝10.①取BD的中點(diǎn)F，連接EF，沿EF剪開(kāi)所得平行四邊形是菱形，其邊長(zhǎng)為10，故周長(zhǎng)為40 cm；②作∠EDB的平分線(xiàn)DM，沿DM剪開(kāi)所得平行四邊形是菱形，邊長(zhǎng)DM＝＝＝，故周長(zhǎng)為4＝ (cm)，故答案為40或. 跟蹤訓(xùn)練 1．2或2　2.2或1 3.或4　 【解析】 解圖1 ①如解圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，沿AD剪開(kāi)后的兩個(gè)三角形能夠拼成一個(gè)與原△ABC不全等的新三角形， ∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝2.∴AD＝＝4.②如解圖2，作AC邊上的中線(xiàn)BE，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，沿BE剪開(kāi)后的兩個(gè)三角形能夠拼成一個(gè)與原△ABC不全等的新三角形，設(shè)CH＝x，則AH＝6－x， 解圖2 由勾股定理得，BC2－CH2＝AB2－AH2，∴42－x2＝62－(6－x)2.解得：x＝.∴BH＝＝.∴EH＝3－CH＝.∴BE＝＝.∴折痕的長(zhǎng)為或4.故答案為或4. 4．25或65　5.6或 解圖1 6．3或27　 【解析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段DC上時(shí)，如解圖1所示，∠BD′A＝90，在Rt△BD′A中，BD′＝＝12.∵∠ED′A＝90，∴E、D′、B三點(diǎn)共線(xiàn)．設(shè)DE＝x，則EC＝15－x，BE＝12＋x，在Rt△BEC中，利用勾股定理可得(12＋x)2＝(15－x)2＋92，解得x＝3，即DE＝3.②當(dāng)E點(diǎn)在DC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如解圖2所示，∠AD′B＝90， 解圖2 根據(jù)折疊的對(duì)稱(chēng)性可知∠AD′E＝90，∴E、B、D′三點(diǎn)共線(xiàn)．在Rt△BD′A中，BD′＝＝12.設(shè)DE＝x，則CE＝x－15，BE＝x－12，在Rt△BCE中，利用勾股定理可得(x－12)2＝(x－15)2＋92，解得x＝27，即DE＝27.故答案為3或27. 7.或　　【解析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B′落在A(yíng)D邊上時(shí)，如解圖1，∵四邊形ABCD是矩形， 解圖1 ∴∠BAD＝∠B＝90.∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在A(yíng)D邊上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45，∴AB＝BE.∴a＝1，∴a＝. 解圖2 ②當(dāng)點(diǎn)B′落在CD邊上時(shí)，如解圖2，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90，AD＝BC＝a.∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在CD邊上，∴∠AB′E＝∠B＝90，AB′＝AB＝1，EB′＝EB＝a.∴DB′＝＝，EC＝BC－BE＝a－a＝a.在△ADB′與△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE.∴＝，即＝.解得a1＝，a2＝0(舍去)．綜上，所求a的值為或，故答案為或. 第8題解圖1 8．3或　【解析】分兩種情況：①如解圖1，若∠DEB＝90，則∠AED＝90＝∠C，連接AD，則Rt△ACD≌Rt△AED，∴CD＝ED，AE＝AC＝6，BE＝10－6＝4.設(shè)CD＝DE＝x，則BD＝8－x，∵在Rt△BDE中，DE2＋BE2＝BD2，∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴CD＝3.②如解圖2，若∠BDE＝90，則∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90，CD＝DE，∴四邊形CDEF是正方形． 第8題解圖2 ∴∠AFE＝∠EDB＝90，∠AEF＝∠B.∴△AEF∽△EBD.∴＝.設(shè)CD＝x，則EF＝DE＝x，AF＝6－x，BD＝8－x，∴＝，解得x＝.∴CD＝.綜上所述，CD的長(zhǎng)為3或，故答案為3或. 9．2或＋1或2　10.14或16　11.16或4 類(lèi)型二 1．2或2　2.15或255 3．40或70或100　4.2或3或2－2　5.4或8 類(lèi)型三 【例2】 分兩種情況討論：①如解圖1，邊AD的垂直平分線(xiàn)與BD，BC分別交于點(diǎn)P，E，則△APD為等腰三角形，且PE∥CD，∴△PBE∽△DBC.易知PE是△DBC的中位線(xiàn)，∴PE＝CD＝3.②如解圖2，以點(diǎn)D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，則△APD是等腰三角形．由勾股定理，得BD＝＝10，則BP＝BD－DP＝10－8＝2.由PE∥CD可知△PBE∽△DBC，則＝，即＝，解得PE＝.綜上所述，PE的長(zhǎng)為3或. 圖1 圖2 跟蹤訓(xùn)練 1．2 cm或2 cm　2.或2或6 3．4或5或6　【解析】設(shè)B(m，n)，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，∴OA＝5.∵△OAB的面積＝5n＝，∴n＝3.可知：當(dāng)2＜m＜3時(shí)，有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)；當(dāng)3＜m＜時(shí)，有5個(gè)整數(shù)點(diǎn)；當(dāng)m＝3時(shí)，有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，可知有6個(gè)或5個(gè)或4個(gè)整數(shù)點(diǎn)．故答案為4或5或6. 4．60度或10　【解析】分兩種情況：①如解圖1，當(dāng)∠ADC＝90時(shí)，∵∠B＝30，∴∠BCD＝90－30＝60；②如解圖2，當(dāng)∠ACD＝90時(shí)，∵∠A＝50，∠B＝30，∴∠ACB＝180－30－50＝100.∴∠BCD＝100－90＝10.綜上，∠BCD的度數(shù)為60或10.故答案為：60度或10. 解圖1 解圖2 5.或　【解析】若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CF∶CE＝3∶4，連接CD，如解圖1，∵CF∶CE＝AC∶BC，∴EF∥AB.由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時(shí)CD為AB邊上的高．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5.∴cos A＝＝.∴AD＝ACcos A＝3＝. 解圖1 解圖2 ②若CE∶CF＝3∶4，∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF＝∠A.連接CD，如解圖2所示，由折疊性質(zhì)可知，∠CEF＋∠ECD＝90，又∵∠A＋∠B＝90，∴∠B＝∠ECD.∴BD＝CD.同理可得：∠A＝∠FCD，∴CD＝AD，∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．∴AD＝AB＝.故答案為或. 6．3或4.8　7.6或12　8.或 9.或　【解析】分兩種情況： ①點(diǎn)E在BC上，如解圖1，E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝1，AE＝.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知DA∥BC，∠DAE＝90，∴△DBE的面積＝△ABE的面積，∴DEBF＝BEAE.∵DE＝＝，∴BF＝. 解圖1 解圖2 ②點(diǎn)E在A(yíng)C上，如解圖2，E是AC的中點(diǎn)，可求出DE＝，∵∠DBE＝90，∴△DBE的面積為BFDE＝BDBE.∴BFDE＝，可得BF＝.故答案為或.