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第 1 頁 第二講 三角形 綜合 拔高 一 知識回顧 1 與三角形有關(guān)的線段 角 2 三邊關(guān)系 3 多邊形內(nèi)角和 外角和 2 解講與練習(xí) 1 如圖 ABC 的外角 ACD 的平分線 CP 與內(nèi)角 ABC 平分線 BP 交于點 P 若 BPC 36 則 CAP 2 如圖 A B C D E 3 如圖 在 ABC 中 ABC 的平分線與 ACB 的外角平分線交于點 E EC 延長線交 ABC 的外角平分線于點 D 若 D 比 E 大 10 則 A 的度數(shù)是 4 如圖 已知 DO 平分 ADC BO 平分 ABC 且 A 27 O 33 則 C 的大小是 度 5 下列說法 平分三角形內(nèi)角的射線是三角形的角平分線 三角形的中線 角平分 線 高都是線段 一個三角形有三條角平分線和三條中線 直角三角形只有一條高 三角形的中線 角平分線 高都在三角形的內(nèi)部 其中正確的有 填序號 6 如圖 ABC 中 AD 為中線 DE AB 于 E DF AC 于 F AB 3 AC 4 DF 1 5 則 DE 7 若一個多邊形截去一個角后 變成六邊形 則原來多邊形的邊數(shù)可能是 8 一個邊形的內(nèi)角和等于 1080 則這個多邊形的對角線有 條 9 已知 a b c 是三角形的三條邊 化簡 a b c b a c a b c 第 2 頁 10 已知一個三角形有兩邊長均為 3 x 第三邊長 為 2x 若該三角形的邊長都為整數(shù) 試判斷此三 角形的形狀 11 如圖所示 在 ABC 中 AD 是 BAC 的平 分線 CE 是邊 AB 上的高 若 CDA 45 求 BED 的度數(shù) 12 已知 BD 是 ABC 的中線 AC 長為 5cm ABD 與 BDC 的周長差為 3cm AB 長 為 13cm 求 BC 的長 13 如圖 AD CE 是 ABC 的兩條高 已知 AD 10 CE 9 AB 12 1 求 ABC 的面積 2 求 BC 的長 14 如圖 在 ABC 中 AB AC BC P 為三角形內(nèi)任意一點 連接 AP 并延長交 BC 于 D 求證 1 AB AC AD BC 2 AB AC AP BP CP 15 如圖所示 1 如圖甲 一個五角形 ABCDE 則 A B C D E 2 如圖乙 如果點 B 向右移動到 AC 上時 則 A EBD C D E 3 如圖丙 點 B 向右移動到 AC 的另一側(cè)時 1 的結(jié)論成立嗎 為什么 4 如圖丁 點 B E 移動到 CAD 的內(nèi)部時 結(jié)論又如何 說明理由 第 3 頁 16 如圖所示 BE CD 交于 A 點 C 和 E 的平分線相交于 F 1 試求 F 與 B D 有何等量關(guān)系 2 當(dāng) B D F 2 4 x 時 x 為多少 17 已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為 1080 求這個多邊形的邊數(shù) 18 一個多邊形除去一個內(nèi)角外 其余各角之和為 2 750 求這個多邊形的邊數(shù)及去掉的角的度數(shù) 19 如圖是一個星形角度的求和問題 試利用你所學(xué)的多邊形內(nèi)角和定理計算圖中 A B C D E F G H I 的和 20 如圖 求 A B C D E F G 的度數(shù) 三 作業(yè) 1 如圖 A B C D E F 2 如圖 在 ABC 中 點 D 在 AC 上 點 E 在 BD 上 若 A 75 ABD 20 DCE 30 則 BEC 第 4 頁 3 若三角形的三邊長分別為 2 5 x x 1 則 x 的取值范圍是 4 一個多邊形少算一個內(nèi)角 其余內(nèi)角和為 3480 則少算的這個內(nèi)角的度數(shù)為 5 如圖 在長方形網(wǎng)格中 每個小長方形的長為 2 寬為 1 A B 兩點在網(wǎng)格格點上 若點 C 也在網(wǎng)格格點上 以 A B C 為頂點的三角形面積為 2 則滿足條件的點 C 個數(shù) 是 6 已知 如圖 ABC 中 點 D E F 分別在三邊上 E 是 AC 的中點 AD BE CF 交 于一點 G BD 2DC S BGD 8 S AGE 3 則 ABC 的面積是 7 一個三角形有兩條邊相等 周長為 20cm 三角形的一邊長 6cm 求其他兩邊長 8 如圖 ABC 中 AD 是高 AE BF 是角平分線 它們相交于點 O CAB 50 C 60 求 DAE 和 BOA 的度數(shù) 9 1 在 ABC 中 ABC 的角平分線和 ACB 的角平分線交于點 P 如圖 1 試猜想 P 與 A 的關(guān)系 并予以證明 2 在 ABC 中 一個外角 ACE 的角平分線和一個內(nèi)角 ABC 的角平分線交于點 P 如圖 2 試猜想 P 與 A 的關(guān)系 并予以證明 3 在 ABC 中 兩個外角 EBC 的角平分線和 FCB 的角平分線交于點 P 如圖 3 試猜想 P 與 A 的關(guān)系 并予以證明 10 如圖所示 已知 1 2 3 4 C 32 D 28 求 P 的度數(shù) 第 5 頁 11 小明在求一個多邊形的內(nèi)角和時 由于疏忽 把一個內(nèi)角加了兩遍 而求出的結(jié)果為 2004 請問這個內(nèi)角是多少度 這個多邊形是幾邊形 12 四邊形是大家最熟悉的圖形之一 我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì) 只要善于觀察 樂 于探索 我們還會發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論 1 四邊形一條對角線上任意一點與另外兩個頂點的連線 將四邊形分成四個三角形 如 圖 其中相對的兩對三角形的面積之積相等 你能證明這個結(jié)論嗎 試試看 已知 在四邊形 ABCD 中 O 是對角線 BD 上任意一點 如圖 求證 S OBC S OAD S OAB S OCD 2 在三角形中 如圖 你能否歸納出類似的結(jié)論 若能 寫出你猜想的結(jié)論 并證 明 若不能 說明理由 第 6 頁 參考答案與試題解析 1 54 2 180 3 80 4 39 度 5 2 3 6 2 7 5 6 7 8 20 條 9 解 a b c 是三角形的三邊長 a b c 0 a b c 0 b a c 0 原式 a b c b a c a b c a b c 10 解 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系 得 3 x 3 x 2x 3 x 3 x 0 2x 6 2x 0 x 因為 2x 是正整數(shù) 所以 x 1 所以三角形的三邊長分別是 2 2 2 因此 該三角形是等邊三角形 11 解 作 DF AB 于 F DG EC 于 G DH AC 交 AC 的延長線于 H AD 是 BAC 的平分線 DF AB DH AC DF DH DCH 45 DAC DCG 90 B 90 ADC BAD 45 BAD AD 是 BAC 的平分線 DAC BAD DCH DCG DCG DCH DH DG 又 DF DH DF DG ED 平分 BEC 又 CE 是邊 AB 上的高 BED 45 12 解 BD 是 ABC 的中線 AD CD ABD 和 BCD 的周長的差是 AB BD AD BC BD CD AB BC 3cm 又 AB 13cm BC 10cm 13 解 1 CE 9 AB 12 ABC 的面積 12 9 54 14 2 ABC 的面積 BC AD 54 即 BC 10 54 解得 BC 14 證明 1 AB AC ABC ACB ACB ADB ABC ADB AB AD AC BC AB AC AD BC 2 如圖 過點 P 作 BC 的平行線交 AB AC 于點 E F 得到 AEF 由 1 中結(jié)論可得 AE AF AP EP PF 在 BEP 中 BE EP PB 在 PCF 中 PF FC PC 由 得 AB AC AP BP CP 第 7 頁 15 解 1 如圖甲 A C 1 B E 2 又 1 2 D 180 A C B E D 180 2 如圖乙 A C 1 DBE E 2 又 1 2 D 180 A C DBE E D 180 3 成立 如圖丙 A C 1 B D 2 又 1 2 E 180 A C B E D 180 4 1 的結(jié)論仍然成立 如圖丁 延長 BE 交 AD 于 F 又 EFD D EGD 180 A C B E D 180 16 解 1 由圖可得 D 1 3 F 2 F B 4 又 1 2 3 4 得 B D 2 F 2 設(shè) F xk 則 B 2k D 4k B D F 2k 4k xk 2 4 x B D 2 F x 3 17 解 根據(jù)題意 得 n 2 180 1080 360 解得 n 10 故這個多邊形的邊數(shù)是十 18 解 設(shè)這個內(nèi)角度數(shù)為 x 邊數(shù)為 n 則 n 2 180 x 2750 180 n 2930 x n 為正整數(shù) n 18 去掉角度數(shù) 為 180 18 2 2750 130 19 解 540 20 解 如圖 A E 1 G D 2 C F 3 1 2 3 B 180 A B C D E F G 180 作業(yè) 1 360 2 125 3 2 x 4 4 120 5 4 6 30 7 解 1 當(dāng) 6 是腰時 底邊 20 6 2 8cm 即其它兩邊 是 6cm 8cm 此時 6 6 12 能構(gòu)成三角形 2 當(dāng) 6 是底邊時 腰 20 6 2 7cm 此時能構(gòu)成三 角形 所以其它兩邊是 7cm 7cm 因此其它兩邊長 分別為 7cm 7cm 綜上所述兩邊長分別為 6cm 8cm 或 7cm 7cm 第 8 頁 8 解 A 50 C 60 ABC 180 50 60 70 又 AD 是高 ADC 90 DAC 180 90 C 30 AE BF 是角平分線 CBF ABF 35 EAF 25 DAE DAC EAF 5 AFB C CBF 60 35 95 BOA EAF AFB 25 95 120 DAC 30 BOA 120 故 DAE 5 BOA 120 7 解 1 P 180 90 A 90 A 2 P A 3 P 180 A 90 90 A 10 解 設(shè) AP 與 BC 交于 K 在 ACK 與 BPK 中 AKC PKB 對頂角相等 P 3 1 C 即 P 1 3 C 設(shè) AD 與 BP 交于 F 同理有 P 4 2 D 由于 1 2 3 4 則 得 2 P C D 32 28 60 P 30 故答案為 30 11 解 依題意有 x 2 180 2004 解得 x 13 因而多邊形的邊數(shù)是 13 該多邊形為十三邊形 內(nèi)角和是 13 2 180 1980 度 因而這個內(nèi)角是 2004 1980 24 度 12 證明 1 分別過點 A C 做 AE DB 交 DB 的延長線于 E CF BD 于 F 則有 S AOB BO AE S COD DO CF S AOD DO AE S BOC BO CF S AOB S COD BO DO AE CF S AOD S BOC BO DO CF AE S AOB S COD S AOD S BOC 2 能 從三角形的一個頂點與對邊上任意一點的連線上任取一點 與三角形的另外兩個頂點連線 將三角形分成四個小三角形 其中相對的兩對三角形的面積之積相等 第 9 頁 或 S AOD S BOC S AOB S DOC 已知 在 ABC 中 D 為 AC 上一點 O 為 BD 上一點 求證 S AOD S BOC S AOB S DOC 證明 分別過點 A C 作 AE BD 交 BD 的延長 線于 E 作 CF BD 于 F 則有 S AOD DO AE S BOC BO CF S OAB OB AE S DOC OD CF S AOD S BOC OB OD AE CF S OAB S DOC BO OD AE CF S AOD S BOC S OAB S DOC