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函數(shù)產(chǎn)生的歷史背景和發(fā)展過程 歷史表明 重要數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的 函數(shù)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響 可以說是貫穿古今 曠日持久 作用非凡 回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展 看一看函數(shù)概念不斷被 精煉 深化 豐富的歷史過程 是一件十分有益的事情 它不僅有助于我們提高對(duì)函數(shù)概念來 龍去脈認(rèn)識(shí)的清晰度 而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用 一 馬克思曾經(jīng)認(rèn)為 函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究 由于羅馬時(shí)代的丟番圖對(duì)不定 方程已有相當(dāng)研究 所以函數(shù)概念至少在那時(shí)已經(jīng)萌芽 自哥白尼的天文學(xué)革命以后 運(yùn)動(dòng)就成了文藝復(fù)興時(shí)期科學(xué)家共同感興趣的問題 人們?cè)谒?索 既然地球不是宇宙中心 它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn) 那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還 要垂直下落到地球上 行星運(yùn)行的軌道是橢圓 原理是什么 還有 研究在地球表面上拋射物體 的路線 射程和所能達(dá)到的高度 以及炮彈速度對(duì)于高度和射程的影響等問題 既是科學(xué)家的 力圖解決的問題 也是軍事家要求解決的問題 函數(shù)概念就是從運(yùn)動(dòng)的研究中引申出的一個(gè)數(shù) 學(xué)概念 這是函數(shù)概念的力學(xué)來源 二 早在函數(shù)概念尚未明確提出以前 數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù) 比如對(duì)數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 雙曲函數(shù)等等 1673 年前后笛卡兒在他的解析幾何中 已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對(duì)于 另一個(gè)變量的依賴關(guān)系 但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉一般的函數(shù)概念 因此直到 17 世紀(jì) 后期牛頓 萊布尼茲建立微積分的時(shí)候 數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義 1673 年 萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示 冪 后來他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo) 縱 坐標(biāo) 切線長(zhǎng)等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量 由此可以看出 函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當(dāng)廣泛 而較為模糊的 幾乎與此同時(shí) 牛頓在微積分的討論中 使用另一名詞 流量 來表示變量間的 關(guān)系 直到 1689 年 瑞士數(shù)學(xué)家約翰 貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上 對(duì)函數(shù)概念進(jìn) 行了明確定義 貝努里把變量 x 和常量按任何方式構(gòu)成的量叫 x 的函數(shù) 表示為 yx 當(dāng)時(shí) 由于連接變數(shù)與常數(shù)的運(yùn)算主要是算術(shù)運(yùn)算 三角運(yùn)算 指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算 所以 后來歐拉就索性把用這些運(yùn)算連接變數(shù) x 和常數(shù) c 而成的式子 取名為解析函數(shù) 還將它分成 了 代數(shù)函數(shù) 與 超越函數(shù) 18 世紀(jì)中葉 由于研究弦振動(dòng)問題 達(dá)朗貝爾與歐拉先后引出了 任意的函數(shù) 的說法 在 解釋 任意的函數(shù) 概念的時(shí)候 達(dá)朗貝爾說是指 任意的解析式 而歐拉則認(rèn)為是 任意畫出的 一條曲線 現(xiàn)在看來這都是函數(shù)的表達(dá)方式 是函數(shù)概念的外延 三 函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義 引起了理論與實(shí)踐的尖銳矛盾 例如 偏微分方程在工程技術(shù)中 有廣泛應(yīng)用 但由于沒有函數(shù)的科學(xué)定義 就極大地限制了偏微分方程理論的建立 1833 年至 1834 年 高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué) 他在和 W 威伯爾合作發(fā)明電報(bào)的過程中 做了許多 關(guān)于磁的實(shí)驗(yàn)工作 提出了 力與距離的平方成反比例 這個(gè)重要的理論 使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的 一個(gè)獨(dú)立分支而出現(xiàn)了 實(shí)際的需要促使人們對(duì)函數(shù)的定義進(jìn)一步研究 后來 人們又給出了這樣的定義 如果一個(gè)量依賴著另一個(gè)量 當(dāng)后一量變化時(shí)前一量也隨 著變化 那么第一個(gè)量稱為第二個(gè)量的函數(shù) 這個(gè)定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì) 但卻把變 化 運(yùn)動(dòng)注入到函數(shù)定義中去 是可喜的進(jìn)步 在函數(shù)概念發(fā)展史上 法國(guó)數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大 富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì) 主張函數(shù)不必局限于解析表達(dá)式 1822 年 他在名著 熱的解析理論 中說 通常 函數(shù)表 示相接的一組值或縱坐標(biāo) 它們中的每一個(gè)都是任意的 我們不假定這些縱坐標(biāo)服從一個(gè) 共同的規(guī)律 他們以任何方式一個(gè)挨一個(gè) 在該書中 他用一個(gè)三角級(jí)數(shù)和的形式表達(dá)了一個(gè) 由不連續(xù)的 線 所給出的函數(shù) 更確切地說就是 任意一個(gè)以 2 為周期函數(shù) 在 區(qū)間內(nèi) 可以由 表示出 其中 富里埃的研究 從根本上動(dòng)搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想 在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了很大 的震動(dòng) 原來 在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝 級(jí)數(shù)把解析式和曲線溝通了 那種視函數(shù)為解析式的觀點(diǎn)終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙 通過一場(chǎng)爭(zhēng)論 產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義 1834 年 俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義 x 的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù) 它對(duì)于每 個(gè) x 都有確定的值 并且隨著 x 一起變化 函數(shù)值可以由解析式給出 也可以由一個(gè)條件給出 這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法 函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在 但仍然是未知 的 這個(gè)定義建立了變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 是對(duì)函數(shù)概念的一個(gè)重大發(fā)展 因?yàn)?對(duì)應(yīng) 是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分 1837 年 德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克萊 Dirichlet 認(rèn)為怎樣去建立 x 與 y 之間的關(guān)系無關(guān)緊要 所以他的定義是 如果對(duì)于 x 的每一值 y 總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng) 則 y 是 x 的函數(shù) 根據(jù)這個(gè)定義 即使像如下表述的 它仍然被說成是函數(shù) 狄里克萊函數(shù) f x 1 x 為有理數(shù) 0 x 為無理數(shù) 在這個(gè)函數(shù)中 如果 x 由 0 逐漸增大地取值 則 f x 忽 0 忽 1 在無論怎樣小的區(qū)間里 f x 無限止地忽 0 忽 1 因此 它難用一個(gè)或幾個(gè)式子來加以表示 甚至究竟能否找出表達(dá) 式也是一個(gè)問題 但是不管其能否用表達(dá)式表示 在狄里克萊的定義下 這個(gè) f x 仍是一個(gè) 函數(shù) 狄里克萊的函數(shù)定義 出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述 以完全清 晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受 至此 我們已可以說 函數(shù)概念 函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng) 形成 這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義 四 生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步發(fā)展 又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾 本世紀(jì) 20 年代 人類 開始研究微觀物理現(xiàn)象 1930 年量子力學(xué)問世了 在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù) 函數(shù) 即 x 0 x 0 x 0 且 函數(shù)的出現(xiàn) 引起了人們的激烈爭(zhēng)論 按照函數(shù)原來的定義 只允許數(shù)與數(shù)之間建立對(duì)應(yīng) 關(guān)系 而沒有把 作為數(shù) 另外 對(duì)于自變量只有一個(gè)點(diǎn)不為零的函數(shù) 其積分值卻不等于 零 這也是不可想象的 然而 函數(shù)確實(shí)是實(shí)際模型的抽象 例如 當(dāng)汽車 火車通過橋梁 時(shí) 自然對(duì)橋梁產(chǎn)生壓力 從理論上講 車輛的輪子和橋面的接觸點(diǎn)只有一個(gè) 設(shè)車輛對(duì)軌道 橋面的壓力為一單位 這時(shí)在接觸點(diǎn) x 0 處的壓強(qiáng)是 P 0 壓力 接觸面 1 0 其余點(diǎn) x 0 處 因無壓力 故無壓強(qiáng) 即 P x 0 另外 我們知道壓強(qiáng)函數(shù)的積分等于 壓力 即 函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動(dòng)地向前發(fā)展 產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義 若對(duì)集合 M 的 任意元素 x 總有集合 N 確定的元素 y 與之對(duì)應(yīng) 則稱在集合 M 上定義一個(gè)函數(shù) 記為 y f x 元素 x 稱為自變?cè)?元素 y 稱為因變?cè)?函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個(gè)字 但卻是概念上的重大發(fā)展 是數(shù) 學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折 近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標(biāo)志 它研究的是一般集合上 的函數(shù)關(guān)系 函數(shù)概念的定義經(jīng)過二百多年來的錘煉 變革 形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義 應(yīng)該說已經(jīng)相當(dāng)完 善了 不過數(shù)學(xué)的發(fā)展是無止境的 函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié) 近二十年來 數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念 關(guān)系 設(shè)集合 X Y 我們定義 X 與 Y 的積集 X Y 為 X Y x y x X y Y 積集 X Y 中的一子集 R 稱為 X 與 Y 的一個(gè)關(guān)系 若 x y R 則稱 x 與 y 有關(guān)系 R 記為 xRy 若 x y R 則稱 x 與 y 無關(guān)系 現(xiàn)設(shè) f 是 X 與 Y 的關(guān)系 即 fX Y 如果 x y x z f 必有 y z 那么稱 f 為 X 到 Y 的函數(shù) 在此定義中 已在形式上回避了 對(duì)應(yīng) 的術(shù)語 全部使用集合論的語言了 從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過程中 我們體會(huì)到 聯(lián)系實(shí)際 聯(lián)系大量數(shù)學(xué)素材 研究 發(fā)掘 拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要