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21 控制工程基礎習題解答 第一章 1-5．圖1-10為張力控制系統(tǒng)。當送料速度在短時間內(nèi)突然變化時，試說明該控制系統(tǒng)的作用情況。畫出該控制系統(tǒng)的框圖。 測量 元件 > 電動機 角位移 給定值 電動機 圖1-10 題1-5圖 由圖可知，通過張緊輪將張力轉為角位移，通過測量角位移即可獲得當前張力的大小。 當送料速度發(fā)生變化時，使系統(tǒng)張力發(fā)生改變，角位移相應變化，通過測量元件獲得當前實際的角位移，和標準張力時角位移的給定值進行比較，得到它們的偏差。根據(jù)偏差的大小調(diào)節(jié)電動機的轉速，使偏差減小達到張力控制的目的。 框圖如圖所示。 題1-5 框圖 電動機 給定值 角位移誤差 張力 - 轉速 位移 張緊輪 滾輪 輸送帶 轉速 測量輪 測量元件 角位移 角位移 （電壓等） 放大 電壓 1-8．圖1-13為自動防空火力隨動控制系統(tǒng)示意圖及原理圖。試說明該控制系統(tǒng)的作用情況。 圖1-13 題1-8圖 敏感 元件 定位伺服機構 （方位和仰角） 計算機指揮儀 目標 方向 跟蹤環(huán)路 跟蹤 誤差 瞄準環(huán)路 火炮方向 火炮瞄準命令 - - 視線 瞄準 誤差 伺服機構（控制繞垂直軸轉動） 伺服機構（控制仰角） 視線 敏感元件 計算機 指揮儀 該系統(tǒng)由兩個自動控制系統(tǒng)串聯(lián)而成：跟蹤控制系統(tǒng)和瞄準控制系統(tǒng)，由跟蹤控制系統(tǒng)獲得目標的方位角和仰角，經(jīng)過計算機進行彈道計算后給出火炮瞄準命令作為瞄準系統(tǒng)的給定值，瞄準系統(tǒng)控制火炮的水平旋轉和垂直旋轉實現(xiàn)瞄準。 跟蹤控制系統(tǒng)根據(jù)敏感元件的輸出獲得對目標的跟蹤誤差，由此調(diào)整視線方向，保持敏感元件的最大輸出，使視線始終對準目標，實現(xiàn)自動跟蹤的功能。 瞄準系統(tǒng)分別由仰角伺服控制系統(tǒng)和方向角伺服控制系統(tǒng)并聯(lián)組成，根據(jù)計算機給出的火炮瞄準命令，和仰角測量裝置或水平方向角測量裝置獲得的火炮實際方位角比較，獲得瞄準誤差，通過定位伺服機構調(diào)整火炮瞄準的角度，實現(xiàn)火炮自動瞄準的功能。 控制工程基礎習題解答 第二章 2-2．試求下列函數(shù)的拉氏變換，假定當t<0時，f(t)=0。 (3). 解： (5). 解： 2-6．試求下列函數(shù)的拉氏反變換。 (4). 解： (8). 解： i(t) C1 R1 R2 ui(t) uo(t) b) C2 圖2-28 題2-13圖 2-13試求圖2-28所示無源網(wǎng)絡傳遞函數(shù)。 解： b). 用等效阻抗法做： 拉氏變換得： 傳遞函數(shù)為： I1 I2 I3 圖2-30 題2-16圖 b) 2-16試求圖2-30所示有源網(wǎng)絡傳遞函數(shù)。 解： 2-17．組合機車動力滑臺銑平面時，當切削力Fi（t）變化時，滑臺可能產(chǎn)生振動，從而降低被加工工件的切削表面質(zhì)量?？蓪恿_連同銑刀抽象成如圖所示的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的力學模型。其中m為受控質(zhì)量，k1，k2分別為銑刀系統(tǒng)，x0（t）為輸出位移。試建立數(shù)學模型。 f m Fi(t) k1 k2 x0(t) 圖2-31 題2-17圖 x1(t) 解：微分方程為： 拉氏變換得： 傳遞函數(shù)為： J1 J2 θ0(t) k2 f a) k1 θ1(t) + - θi(s) k1 T1(s) + - + - k2 θ0(s) T2(s) b) 圖2-39 題2-25圖 2-25．試求圖2-39a所示機械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，畫出其函數(shù)框圖，與圖2-39b進行比較。 解1：微分方程為： 拉氏變換得： 傳遞函數(shù)為： 解2：畫出框圖如圖所示，通過框圖簡化可得傳遞函數(shù)為： J1 J2 θ0(t) k2 f k1 θi(t) + - θi(s) k1 T1(s) + - + - k2 θ0(s) T2(s) θ1(t) + - + - k1 T1(s) + - + - k2 θ0(s) T2(s) θi(s) + - k1 T1(s) + - + - k2 θ0(s) T2(s) θi(s) + - k1 T1(s) + - θ0(s) T2(s) θi(s) + - k1 T1(s) + - T2(s) θi(s) θ0(s) + - T2(s) θi(s) θ0(s) θi(s) θ0(s) θi(s) 2-28．化簡圖2-42所示各系統(tǒng)框圖求傳遞函數(shù)。 c). G1 + + Xi H1 + - X0 G2 + - G3 H2 G4 - c) 圖2-42 題2-28圖 G1 + + Xi + - X0 + H2 G4 - G1 + + Xi + - X0 G4 Xi + - X0 G4 Xi X0 第三章 3-2．假設溫度計可用1/（Ts+1）傳遞函數(shù)描述其特性?，F(xiàn)用該溫度計測量某容器中的水溫，發(fā)現(xiàn)經(jīng)1min后才能指示出實際水溫的96%，問： （1）. 該溫度計的指示從實際水溫的10%變化到90%所需的時間是多少？ （2）. 如果給該容器加熱，使容器內(nèi)水溫以0.1℃/s的速度均勻上升，當定義誤差e(t)=r(t)-c(t)時，溫度計的穩(wěn)態(tài)指示誤差有多大？ 1． 沒有考慮溫度計原來的環(huán)境溫度。 解： （1）. 設實際水溫為Tr，溫度計原來處于0度，當溫度計放入水中時，相當于輸入一階躍值為Tr的階躍函數(shù)，溫度計的時間響應函數(shù)為：， 根據(jù)題意可得： 即可得：T=18.64(s)， 10%所需的時間為，。 90%所需的時間為，。 所以可得該溫度計的指示從實際水溫的10%變化到90%所需的時間（上升時間）是 （2）. 由題可知系統(tǒng)為一階系統(tǒng)，故系統(tǒng)穩(wěn)定采用頻域方法計算（終值定理）時，必須進行穩(wěn)定性判定，采用時域方法則不必。 ，為求當r(t)=0.1t時的穩(wěn)態(tài)誤差，由一階系統(tǒng)的時間響應分析可知，單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差為T，所以穩(wěn)態(tài)指示誤差： + - R(s) C(s) E(s) 題3-2（2）圖 （將1/（Ts+1）轉化為開環(huán)傳遞函數(shù)為1/（Ts）時的單位反饋系統(tǒng)，則可見此時系統(tǒng)的誤差為e(t)=r(t)-c(t)。根據(jù)系統(tǒng)為I型，可得穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為Kv=K=1/T，得當輸入信號為r(t)=0.1t假定開始溫度計和水溫相同（系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)），也可假定在加溫時，溫度計突然放入，此時除有速度信號外還有階躍信號，但對一型系統(tǒng)，它的穩(wěn)態(tài)誤差為0. 時的穩(wěn)態(tài)誤差為） + - R(s) C(s) E(s) 圖3-24 題3-5圖 3-5．某控制系統(tǒng)如圖3-24所示，已知K=125，試求： （1）. 系統(tǒng)階次，類型。類型 （2）. 開環(huán)傳遞函數(shù)，開環(huán)放大倍數(shù)。 1. 開環(huán)傳遞函數(shù)概念 2. 標準形式 3. 開環(huán)放大倍數(shù)概念 （3）. 閉環(huán)傳遞函數(shù)，閉環(huán)零點、極點。 1. 標準形式 2. 沒有零點應予以說明 （4）. 自然振蕩頻率ωn，阻尼比ζ，阻尼振蕩頻率ωd。 （5）. 調(diào)整時間ts(△=2%)，最大超調(diào)量σp%。 （6）. 輸入信號r(t)=5時，系統(tǒng)的輸出終值c(∞)、輸出最大值cmax。 1. 應用終值定理時應說明極限存在的依據(jù) 2. 閉環(huán)增益不為1及輸入不是單位階躍時的響應 （7）. 系統(tǒng)的單位脈沖響應。 （8）. 系統(tǒng)的單位斜坡響應。 1. 可以采用拉氏反變換，也可采用線性系統(tǒng)的重要特征求 2. 進行積分時應注意積分常數(shù) （9）. 靜態(tài)誤差系數(shù)Kp、Kv、Ka。 （10）. 系統(tǒng)對輸入為r(t)=5+2t+t2時的穩(wěn)態(tài)誤差。 1. 穩(wěn)定性判斷或極限存在說明； 2. 單位加速度信號的系數(shù)； 3. 誤差可以采用誤差系數(shù)計算，也可采用誤差定義計算，但一般在已經(jīng)求得誤差系數(shù)時采用誤差系數(shù)計算； 4. 誤差無窮大時并不說明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的只能說明系統(tǒng)跟蹤能力很差，無法跟隨輸入信號的變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定時則不存在誤差或在任何輸入信號作用下誤差均為無窮大。 解： （1）. 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：，可見系統(tǒng)階次為二階，類型為I型。 （2）. 開環(huán)傳遞函數(shù)，開環(huán)放大倍數(shù)為1.5625 （3）. 閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ，閉環(huán)沒有閉環(huán)零點，閉環(huán)極點為： （4）. ，， （5）. ， （6）. 因為標準型二階系統(tǒng)單位階躍信號的穩(wěn)態(tài)輸出為1，最大值為1+Mp=1+σp%=1.015，由于線性系統(tǒng)符合疊加原理，所以可得：*5=25，cmax=5*5*1.015=25.375 （7）. 由于標準型欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為： 所以系統(tǒng)單位階躍響應為： 利用線性系統(tǒng)的重要特征即可得單位脈沖響應： （8）. 同理可得單位斜坡響應： 積分常數(shù)C由初始狀態(tài)為零的條件而得，即 可得C=-3.2，所以單位斜坡響應為： （9）. 由于系統(tǒng)為I型，所以其靜態(tài)誤差系數(shù)分別為： Kp=∞ Kv=1. 5625 Ka=0 （10）. 系統(tǒng)對輸入為r(t)=5+2t+t2時的穩(wěn)態(tài)誤差為： 系統(tǒng)是二階系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)中的系數(shù)均大于零（或由閉環(huán)傳遞函數(shù)中可知極點的實部小于零），所以系統(tǒng)穩(wěn)定 3-16．已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下（K>0），試，用羅斯判據(jù)判別其閉環(huán)穩(wěn)定性，并說明系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)及虛根數(shù)。 （1）. （6）. 1. 特征方程應從閉環(huán)傳遞函數(shù)獲得； 2. 特征方程中有系數(shù)項為0，并不一定系統(tǒng)不穩(wěn)定，也可能是臨界穩(wěn)定，此時數(shù)學上的定義是穩(wěn)定的； 3. 只有第一列上出現(xiàn)0時，才采用設無窮小正數(shù)ε的方法； 4. 左平面的復數(shù)根并不是虛數(shù)根。 解： （1）. 特征方程為 當K>0時，則第一列的符號全部大于零，所以閉環(huán)穩(wěn)定，系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)及虛根數(shù)均為0。 （6）. 特征方程為 當K>0時，第一列有一個數(shù)小于零，所以閉環(huán)不穩(wěn)定；第一列符號變化了兩次，系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)為2；第一列沒有等于0的數(shù)，虛根數(shù)為0。 3-19．單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求： （1）. 系統(tǒng)穩(wěn)定的a值； （2）. 系統(tǒng)所有特征根的實部均小于-1之a(chǎn)值。 （3）. 有根在（-1，0）時之a(chǎn)值。 1. （2）采用方程代數(shù)分析方法時需注意s是復數(shù)域內(nèi)的，需要按復變函數(shù)的概念進行 解： 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）. 用羅斯判據(jù)可得： 系統(tǒng)穩(wěn)定，則應：，即a值應為： （2）. 令，即，此時當時，則。對閉環(huán)傳遞函數(shù)進行變換得： 系統(tǒng)穩(wěn)定，則應：，此時，。即a值應為： （3）. 由（1）和（2）可得，此時a應在（0，1.2）和(3,8)之間。 3-27．已知系統(tǒng)的結構如圖3-34所示。 (1). 要求系統(tǒng)動態(tài)性能指標σp%=16.3%，ts=1s，試確定參數(shù)K1、K2的值。 (2). 在上述K1、K2之值下計算系統(tǒng)在r(t)=t作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 1. 調(diào)整時間缺少誤差范圍 2. 計算誤差時，注意開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù) 3. 穩(wěn)定性判斷 + - R(s) C(s) + - E(s) 圖3-34 題3-27圖 解： 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： （1）. 得： 5%時： 得：，則：，由系統(tǒng)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定K1應大于零，所以 此時： 2%時： 得：，則：，由系統(tǒng)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定K1應大于零，所以。此時： （2）. 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)是二階系統(tǒng)，閉環(huán)（或開環(huán)）傳遞函數(shù)中的系數(shù)均大于零（或由閉環(huán)傳遞函數(shù)中可知極點的實部小于零），所以系統(tǒng)穩(wěn)定 系統(tǒng)為I型 當，時，開環(huán)放大增益為： 當，時，開環(huán)放大增益為： 4-2．設開環(huán)系統(tǒng)的零點、極點在s平面上的分布如圖4-15所示，試繪制根軌跡草圖。 0 σ 0 σ 0 σ 0 σ jω jω jω jω 0 σ jω 0 σ jω 0 σ jω 0 σ jω 圖4-15 題4-2圖 解： 0 σ 0 σ 0 σ 0 σ jω jω jω jω 0 σ jω 0 σ jω 0 σ jω 0 σ jω 4-3．已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制當增益K1變化時系統(tǒng)的根軌跡圖。 （1）. （2）. 解： （1）. 開環(huán)極點為 無有限開環(huán)零點。示如圖 0 σ jω -2 -5 j3.16 -0.88 -2.33 -j3.16 法則2：有三條趨向無窮的根軌跡。 法則3：實軸上的根軌跡：0～-2，-5～-∞。 法則4：漸近線相角： 法則5：漸近線交點：，得漸近線如圖示。 法則6：分離點： 得：， 其中為實際分離點，如圖示。 法則8：虛軸交點：令代入特征方程，得： 綜上所述，根軌跡如圖紅線所示。 （2）. 0 σ jω -1+j3 -2 -1-j3 -5.16 開環(huán)極點為 開環(huán)零點為。示如圖 法則2：有1條趨向無窮的根軌跡。 法則3：實軸上的根軌跡： -2～-∞。 法則6：分離點： 得：， 其中為實際分離點，如圖示。 法則7：出射角： 得 法則1：對稱性可得： 綜上所述，根軌跡如圖紅線所示。 4-9 已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （1） 系統(tǒng)無超調(diào)的K1值范圍。 （2） 確定使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K1值，并求此時的振蕩頻率 解： 開環(huán)極點為 漸近線相角： 漸近線交點：。 （1） 分離點： 得：， 其中為實際分離點， 此時。 （2） 虛軸交點：令代入特征方程，得： 0 σ jω -5 -4.67 -9 -2.06 -j6.7 j6.7 畫系統(tǒng)的根軌跡，如圖示。 由根軌跡圖可得： （1） 系統(tǒng)無超調(diào)的K1值范圍為保持所有根軌跡在負實軸時（分離點之前的部分），即。 （2） 確定使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K1值為與虛軸交點時，即。此時的振蕩頻率為無阻尼自然頻率，即閉環(huán)極點的虛部：。 4-10 設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （1） 試繪制根軌跡的大致圖形，并對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析。 （2） 若增加一個零點z=-1，試問根軌跡圖有何變化，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有何影響。 解： （1） 畫系統(tǒng)的根軌跡，如圖紅線所示。 0 σ jω -1 -0.67 其中：漸近線相角： 漸近線交點：。 可見系統(tǒng)除在K1=0時處于臨界穩(wěn)定之外，系統(tǒng)均處于不穩(wěn)定狀態(tài)。 （2） 增加一個零點z=-1后的根軌跡如圖藍線所示。 其中：漸近線相角： 漸近線交點：。 使根軌跡向左移動進入左半平面，由根軌跡圖可知此時除在K1=0時處于臨界穩(wěn)定之外，系統(tǒng)均處于穩(wěn)定狀態(tài)。即系統(tǒng)增加的零點使系統(tǒng)的穩(wěn)定性獲得了改善，由原不穩(wěn)定系統(tǒng)變?yōu)榱朔€(wěn)定系統(tǒng)。