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習(xí)題精解 9-1.在氣墊導(dǎo)軌上質(zhì)量為m的物體由兩個輕彈簧分別固定在氣墊導(dǎo)軌的兩端，如圖9-1所示，試證明物體m的左右運(yùn)動為簡諧振動，并求其振動周期。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k1和k2. 解：取物體在平衡位置為坐標(biāo)原點，則物體在任意位置時受的力為 根據(jù)牛頓第二定律有 化簡得 令則所以物體做簡諧振動，其周期 9-2 如圖9.2所示在電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場中，放置一電偶極矩P=ql的電偶極子，+q和-q相距l(xiāng)，且l不變。若有一外界擾動使這對電荷偏過一微小角度，擾動消息后，這對電荷會以垂直與電場并通過l的中心點o的直線為軸來回擺動。試證明這種擺動是近似的簡諧振動，并求其振動周期。設(shè)電荷的質(zhì)量皆為m，重力忽略不計。 解 取逆時針的力矩方向為正方向，當(dāng)電偶極子在如圖9.2所示位置時，電偶極子所受力矩為 電偶極子對中心O點的轉(zhuǎn)動慣量為 由轉(zhuǎn)動定律知 化簡得 當(dāng)角度很小時有，若令，則上式變?yōu)? 所以電偶極子的微小擺動是簡諧振動。而且其周期為 9-3 汽車的質(zhì)量一般支承在固定與軸承的若干根彈簧上，成為一倒置的彈簧振子。汽車為開動時，上下為自由振動的頻率應(yīng)保持在 附近，與人的步行頻率接近，才能使乘客沒有不適之感。問汽車正常載重時，每根彈簧松弛狀態(tài)下壓縮了多少長度？ 解 汽車正常載重時的質(zhì)量為m，振子總勁度系數(shù)為k，則振動的周期為，頻率為　 正常載重時彈簧的壓縮量為 9-4 一根質(zhì)量為m，長為l的均勻細(xì)棒，一端懸掛在水平軸O點，如圖9.3所示。開始棒在平衡位置OO，處于平衡狀態(tài)。將棒拉開微小角度后放手，棒將在重力矩作用下，繞O點在豎直平面內(nèi)來回擺動。此裝置時最簡單的物理擺。 若不計棒與軸的摩擦力和空氣的阻力，棒將擺動不止。試證明擺角很小的情況下，細(xì)棒的擺動為簡諧振動，并求其振動周期。 解 設(shè)在某一時刻，細(xì)棒偏離鉛直線的角位移為，并規(guī)定細(xì)棒在平衡位置向右時為正，在向左時為負(fù)，則力矩為 負(fù)號表示力矩方向與角位移方向相反，細(xì)棒對O點轉(zhuǎn)動慣量為,根據(jù)轉(zhuǎn)動定律有 化簡得 當(dāng)很小時有，若令則上式變?yōu)? 所以細(xì)棒的擺動為簡諧振動，其周期為 9-5 一放置在水平光滑桌面上的彈簧振子，振幅，周期，當(dāng)t=0時， （1）物體在正方向的端點； （2）物體在負(fù)方向的端點； (3) 物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動; (4）物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動; (5)物體在處向負(fù)方向運(yùn)動 (6)物體在處向正方向運(yùn)動。求以上各種情況的振動方程。 解 由題意知 （1）由初始條件得初想為是,所以振動方程為 （2）由初始條件得初想為是，所以振動方程為 （3）由初始條件得初想為是，所以振動方程為 （4）由初始條件得初想為是，所以振動方程為 （5）因為，所以，?。ㄒ驗樗俣刃∮诹悖哉駝臃匠虨? （6），所以，?。ㄒ驗樗俣却笥诹悖哉駝臃匠虨? 9-6一質(zhì)點沿x軸做簡諧振動，振幅為0.12m，周期為2s，當(dāng)t=0時，質(zhì)點的位置在0.06m處，且向x軸正方向運(yùn)動，求； （1）質(zhì)點振動的運(yùn)動方程； （2）t=0.5s時，質(zhì)點的位置、速度、加速度； （3）質(zhì)點x=-0.06m處，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動，在回到平衡位置所需最短的時間。 解 （1）由題意可知：可求得（初速度為零），所以質(zhì)點的運(yùn)動方程為 （2） 任意時刻的速度為 所以 任意時刻的加速度為 所以 （3）根據(jù)題意畫旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖9.4所示。 由圖可知，質(zhì)點在x=-0.06m處，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動，再回到平衡位置相位的變化為 所以 9-7 一彈簧懸掛0.01kg砝碼時伸長8cm，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛0.025kg的物體，使它作自由振動。請建立坐標(biāo)系，分析對下述3種情況列出初始條件，求出振幅和初相位，最后建立振動方程。 （1）開始時，使物體從平衡位置向下移動4cm后松手； （2）開始時，物體在平衡位置，給以向上的初速度，使其振動； （3）把物體從平衡位置向下拉動4cm后，又給以向上的初速度，同時開始計時。 解 （1）取物體處在平衡位置為坐標(biāo)原點，向下為x軸正方向，建立如圖9.5所示坐標(biāo)系。 系統(tǒng)振動的圓頻率為 根據(jù)題意，初始條件為 振幅，初相位 振動方程為 （2）根據(jù)題意，初始條件為 振幅，初相位 振動方程為 （3）根據(jù)題意，初始條件為 振幅，，得 振動方程為 9-8 質(zhì)量為0.1kg的物體，以振幅做簡諧振動，其最大加速度為，求：（1）振動周期；（2）通過平衡位置時的動能；（3）總能量。 解 （1）簡諧振動的物體的最大加速度為 ，所以周期為。 （2）做簡諧振動的物體通過平衡位置時具有最大速度 所以動能為 （3）總能量為 9-9 彈簧振子在光滑的水平上面上做振幅為的簡諧振動，如圖9.6所示，物體的質(zhì)量為M，彈簧的勁度系數(shù)為k，當(dāng)物體到達(dá)平衡位置且向負(fù)方向運(yùn)動時，一質(zhì)量為m的小泥團(tuán)以速度從右打來，并粘附于物體之上，若以此時刻作為起始時刻，求： （1）系統(tǒng)振動的圓頻率； （2）按圖示坐標(biāo)列出初始條件； （3）寫出振動方程； 解 （1）小泥團(tuán)粘附于物體之后與物體一起做簡諧振動，總質(zhì)量為M+m，彈簧的勁度系數(shù)為k，所以系統(tǒng)振動的圓頻率為 （2）小泥團(tuán)粘附于物體之上后動量守恒，所以有 按圖9.6所示坐標(biāo)初始條件為 （3）根據(jù)初始條件，系統(tǒng)振動的初相位為；假設(shè)，系統(tǒng)的振動振幅為A，根據(jù)能量守恒，有 其中 故得 振動方程為 9-10 有一個彈簧振子，振幅，周期T=1s，初相位，（1）寫出它的振動方程；（2）利用旋轉(zhuǎn)矢量圖，作x-t圖。 解 （1）由題意可知，，所以彈簧振子的振動方程為 （2）利用旋轉(zhuǎn)矢量圖做x-t圖如圖9.7所示 9-11 一物體做簡諧振動，（1）當(dāng)它的位置在振幅一半處時，試?yán)眯D(zhuǎn)矢量計算它的相位可能為哪幾個值？做出這些旋轉(zhuǎn)矢量；（2）諧振子在這些位置時，其動能。勢能各占總能量的百分比是多少？ 解 （1）根據(jù)題意做旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.8所示。 由圖9.8可知，當(dāng)它的位置在振幅的一半時，它的可能相位是 （2）物體做簡諧振動時的總能量為，在任意位置時的時能為，所以當(dāng)它的位置在振幅的一半時的勢能為，勢能占總能量的百分比為25%，動能占總能量的百分比為75%。 9-12 手持一塊平板，平板上放以質(zhì)量為0.5kg的砝碼，現(xiàn)使平板在豎直方向上下振動，設(shè)該振動是簡諧振動，頻率為2Hz，振幅是0.04m,問： （1） 位移最大時，砝碼對平板的正壓力多大？ （2）以多大的振幅振動時，會使砝碼脫離平板？ (3) 如果振動頻率加快一倍則砝碼隨板保持一起振動的振幅上限是多大？ 解 （1）由題意可知，。因為物體在作簡諧振動，物體在最大位移時加速度大小 根據(jù)牛頓第二定律有 解得（最低位置）， (最高位置) （2）當(dāng)，即時 會使砝碼脫離平板。 （3）頻率增大一倍，把代入得 9-13 有兩個完全相同的彈簧振子A和B，并排地放在光滑的水平面上，測得它們的周期都是2s?，F(xiàn)將兩個物體從平衡位置向右拉開5cm，然后先釋放A振子，經(jīng)過0.5s后，再釋放B振子，如圖9.9所示，若以B振子釋放的瞬間作為時間的起點， （1）分別寫出兩個物體的振動方程； （2）它們的相位差為多少？分別畫出它們的x-t圖。 解 （1）由題可知，兩物體做簡諧振動的圓頻率為，若以B振子釋放的瞬時作為時間的起點，則B物體振動的初相位是，振動方程應(yīng)為 由于A物體先釋放0.5s時的時間，所以相位超前B物體，所以A物體振動的初相位是，振動方程應(yīng)為 （2）它們的相位差為 作A,B兩物體的振動曲線如圖9.10所示。 9-14 一質(zhì)點同時參與兩個方向、同頻率的簡諧振動，它們的振動方程分別為 試 用旋轉(zhuǎn)矢量求出合振動方程。 解 作旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.11所示。 由平面幾何關(guān)系可知 合振動的初相位是 所以合振動的振動方程為 9-15 有兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為0.2，合振動的相位于第一個振動的相位之差為，若第一個振動的振幅為0.173m，求第二個振動的振幅，第一、第二兩振動的相位差。 解 做旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.12所示。 由平面幾何關(guān)系可知 假設(shè)和的夾角為，則由平面幾何可知 把已知數(shù)代入解得， 9-16 質(zhì)量為0.4kg的質(zhì)點同時參與互相垂直的兩個振動： 式中x,y以m計，t以s計。 （1） 求運(yùn)動軌跡方程； （2） 質(zhì)點在任一位置所受的力。 解 （1）由振動方程消去時間因子得軌跡方程為 （2） 質(zhì)點在任意時刻的加速度為 質(zhì)點在任一位置所受的力為 9-17 質(zhì)點參與兩個方向互相垂直的、同相位、同頻率的簡諧振動； （1）證明質(zhì)點的合振動時簡諧振動； （2）求合振動的振幅和頻率。 解 （1）根據(jù)題意，假設(shè)兩個分振動的振動方程分別為 合成的軌跡是直線，在任意時刻質(zhì)點離開平衡位置的距離為 所以質(zhì)點的合振動是簡諧振動。 （3） 合振動的振幅為，圓頻率為. 10